专题12 圆锥曲线-2025年高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化（新高考全国卷)

专题12 圆锥曲线 二轮复习核心考点聚焦与强化 专题12 圆锥曲线 一、关键知识： 1．圆锥曲线的定义 （1）椭圆定义：． （2）双曲线定义：． （3）抛物线定义：． 2．圆锥曲线的标准方程及几何性质 （1）椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图形 几何性质 范围 , , 对称性 对称轴： 轴、 轴 .对称中心：原点 . 焦点 , . , . 顶点 ， ， , . , ， , . 轴 线段，分别是椭圆的长轴和短轴， 长轴长为，短轴长为. 焦距 . 离心率 . ,,的关系 . （2）双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 （a＞0,b＞0） （a＞0,b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c,0），F2（c,0） F1（0,﹣c），F2（0,c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±0 ±0 （3）抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 图形 几何性质 对称轴 轴 轴 顶点 焦点 准线方程 范围 , , , , 离心率 1 焦半径（为抛物线上一点） 3.圆锥曲线中最值与范围的求解方法 几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决. 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路 （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点 . （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 5.求解定值问题的常用方法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 6.求解定线问题的常用方法 定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系. 7.有关证明问题的解题策略 圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明. 8.探索性问题的解题策略 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论. 二、聚焦高考： 考点分析: 新高考在圆锥曲线方面的主要考点： 考点一、圆锥曲线的定义与标准方程：包括椭圆、双曲线、抛物线的定义，以及标准方程的形式和推导。 考点二、圆锥曲线的几何性质：如椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率，双曲线的实轴、虚轴、渐近线、离心率，抛物线的焦点、准线、焦半径等。 考点三、直线与圆锥曲线位置关系与弦长问题：通过联立方程，利用韦达定理或点差法求解。 考点四、圆锥曲线中的定值问题：通过代数运算或几何性质应用联立方程、韦达定理和消参消去变量获得定值。 考点五、圆锥曲线中的过定点问题：将几何条件转化为代数方程中的参数关系，并通过消元、对称性或几何性质确定定点，结合题型特点灵活选择方法，优先考虑特殊位置与对称性分析。 高考真题： 1．（2021全国II）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（2024全国II）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（2021全国II）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 4．（2021全国I）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 5．（2024全国I）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 6．（2023全国I）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 7．（2023全国I）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023全国II）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 9．（2021全国I）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 10．（2022全国II）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________． 11．（2023全国II）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 12．（2024全国II）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 13．（2022全国II）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 14．（2024全国I）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 15．（2022全国I）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 16．（2021全国I）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 三、考点精炼： 考点一：圆锥曲线的定义与标准方程 1．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，则C的方程为 . 2．已知直线经过椭圆（）的右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的左焦点，且，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 7．双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 8．已知直线与抛物线：的准线相交于点A，O为坐标原点，若则抛物线的方程为 . 9．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为 . 10．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点二、圆锥曲线的几何性质 1．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 3．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 . 4．（多选）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若为正方形，则的边长为 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．长方形的面积的最大值为14 5．点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是 . 8．如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 9．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点， ，则椭圆的离心率的取值范围是 . 10．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点三：直线与圆锥曲线位置关系与弦长问题 1．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 4．已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线与直线相交于，两点，且弦长为，则 . 6．已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ． 7．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线（斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线段的中垂线交x轴于一点P，则（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为 . 10．如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为 . 考点四：圆锥曲线中的定值问题 1．P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（    ） A．直线与的斜率之和为定值 B．直线与的斜率之积为定值 C．直线与的斜率之和为定值 D．直线与的斜率之积为定值 2．已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ． 3．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 4．已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值 ． 5．过双曲线的右焦点的直线交双曲线于、两点，交轴于点，若，，规定，则的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为 .   6．已知点和椭圆C：，点，在上，且，，为垂足．存在定点，使得为定值，则定点的坐标为 ． 7．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为 ． 8．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点P是直线上的一点，直线PB交C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为，，则为定值，则的值为 ． 9．已知椭圆的上下顶点分别为，过点的直线交椭圆于两点，记，则为定值，则的值为 ． 10．点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是 ． 考点五：圆锥曲线中的过定点问题 1．设椭圆的上顶点为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 2．已知椭圆上一点，点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，则直线过定点 . 3．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 .  4．已知椭圆，直线过点且与椭圆相交于两点．过点作直线的垂线，垂足为.则直线过轴上的定点坐标为 ． 5．已知点F为椭圆的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 6．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为 ． 7．若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：，已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 . 8．已知双曲线：和椭圆：.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 . 四、强化训练： 题组一：圆锥曲线的定义与标准方程 1．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，若点M满足，则点M的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C的焦点为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若，，则C的方程为 ． 7．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 . 9．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（    ） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 10．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同的两点，线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 题组二、圆锥曲线的几何性质 1．已知点分别为椭圆的左､右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（   ） A．8 B．6 C． D． 3．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 . 9．设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若, 则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 10．已知点在以为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 题组三：直线与圆锥曲线位置关系与弦长问题 1．若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ． 2．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 3．已知抛物线与直线相交于，两点，且弦长为5，则 . 4．经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B．或3 C．或2 D．3 5．已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 6．已知直线l与椭圆在第二象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点（在椭圆外），若，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 7．已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的右焦点为，过F作直线l交椭圆于 A，B两点，若弦AB 中点坐标为 ，则该椭圆的面积为 . 9．已知椭圆的离心率为，过的右焦点的直线与交于两点，与直线交于点，且，则的斜率为 . 10．（多选）如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（    ）   A．的方程为 B．的最大值为 C．直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D．面积的最大值为 题组四：圆锥曲线中的定值问题 1．过抛物线：准线上的点作的两条切线，切点分别为，，则 . 2．已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 3．过点作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，直线交x轴于点Q，连接QA，OB，则直线QA，QB的斜率之和为 ． 4．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点，，设直线的斜率分别为，则 ． 5．已知双曲线的离心率为2，实轴的两个端点为，点为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的斜率之积为 ． 6．双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知是抛物线上的两点，是焦点，直线的倾斜角互补，记的斜率分别为，则 ． 8．已知直线与双曲线相切，且与的两条渐近线分别交于两点，则 . 9．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线：的焦距为，双曲线C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点，则 ． 题组五：圆锥曲线中的过定点问题 1．已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为 ． 2．若椭圆C：的离心率是，一个顶点是，且，是椭圆上异于点的任意两点，，则直线过定点 ． 3．已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l过定点__________． 4．若过椭圆右焦点作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于和，线段的中点为，线段的中点为，则直线过轴上一定点 . 5．已知点F为椭圆的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 6．已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是 ． 7．已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线，，其中，为切点，则直线过定点 ． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$专题12 圆锥曲线 二轮复习核心考点聚焦与强化 专题12 圆锥曲线 一、关键知识： 1．圆锥曲线的定义 （1）椭圆定义：． （2）双曲线定义：． （3）抛物线定义：． 2．圆锥曲线的标准方程及几何性质 （1）椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图形 几何性质 范围 , , 对称性 对称轴： 轴、 轴 .对称中心：原点 . 焦点 , . , . 顶点 ， ， , . , ， , . 轴 线段，分别是椭圆的长轴和短轴， 长轴长为，短轴长为. 焦距 . 离心率 . ,,的关系 . （2）双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 （a＞0,b＞0） （a＞0,b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c,0），F2（c,0） F1（0,﹣c），F2（0,c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±0 ±0 （3）抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 图形 几何性质 对称轴 轴 轴 顶点 焦点 准线方程 范围 , , , , 离心率 1 焦半径（为抛物线上一点） 3.圆锥曲线中最值与范围的求解方法 几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决. 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路 （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点 . （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 5.求解定值问题的常用方法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 6.求解定线问题的常用方法 定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系. 7.有关证明问题的解题策略 圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明. 8.探索性问题的解题策略 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论. 二、聚焦高考： 考点分析: 新高考在圆锥曲线方面的主要考点： 考点一、圆锥曲线的定义与标准方程：包括椭圆、双曲线、抛物线的定义，以及标准方程的形式和推导。 考点二、圆锥曲线的几何性质：如椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率，双曲线的实轴、虚轴、渐近线、离心率，抛物线的焦点、准线、焦半径等。 考点三、直线与圆锥曲线位置关系与弦长问题：通过联立方程，利用韦达定理或点差法求解。 考点四、圆锥曲线中的定值问题：通过代数运算或几何性质应用联立方程、韦达定理和消参消去变量获得定值。 考点五、圆锥曲线中的过定点问题：将几何条件转化为代数方程中的参数关系，并通过消元、对称性或几何性质确定定点，结合题型特点灵活选择方法，优先考虑特殊位置与对称性分析。 高考真题： 1．（2021全国II）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B. 2．（2024全国II）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选A 3．（2021全国II）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 【答案】 【详解】由题可知，离心率，即，又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：. 4．（2021全国I）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【答案】 【详解】抛物线： ()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，，因为，所以, ，所以的准线方程为.故答案为：. 5．（2024全国I）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案为： 6．（2023全国I）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】/ 【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故. 方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：. 7．（2023全国I）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A 8．（2023全国II）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设， 由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC. 9．（2021全国I）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13. 10．（2022全国II）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________． 【答案】 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，因为，所以，设，，则，， 所以，即,所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 11．（2023全国II）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C. 12．（2024全国II）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 13．（2022全国II）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 14．（2024全国I）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且，因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.对于B：又曲线方程为，而，故.当时，，故在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得，取，则，而，故此时，故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，故，故D正确.故选：ABD. 15．（2022全国I）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD 16．（2021全国I）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C． 三、考点精炼： 考点一：圆锥曲线的定义与标准方程 1．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，则C的方程为 . 【答案】 【详解】由题意直线AM的方程为，即.当时，解得，所以，椭圆过点，可得，解得.所以C的方程. 2．已知直线经过椭圆（）的右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的左焦点，且，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线与轴和轴的交点分别为，，所以， 又，所以，从而，所以椭圆方程为，故选：D． 3．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意圆标准方程为，圆心为，半径为6， ∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，∴点轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，∴，，∴其轨迹方程为．故选：A． 4．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知，直线为线段的中垂线，所以有，所以有，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，即，所以椭圆方程为,故选A． 5．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】，故选D. 6．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设所求双曲线方程为且，双曲线的渐近线方程为，所以，即 联立，解得.所以双曲线方程为.故选：B. 7．双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题，设，，因为，所以， 因为，所以，解得，因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为．故答案为：． 8．已知直线与抛物线：的准线相交于点A，O为坐标原点，若则抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】对抛物线：，其准线方程为，又其与直线交于点，故可得点的坐标为，因为，则，解得，则抛物线方程为. 9．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】依题意可得，所以抛物线 的方程为. 10．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.故选：C. 考点二、圆锥曲线的几何性质 1．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，的周长为， 由双曲线定定义可得，又 所以， 所以的周长为12，故选：A 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由椭圆，得，如图，由题意可知， 所以由， ， 由上得，且，所以， 所以，所以，即， 令得，故直线经过点，联立，所以，所以同理可得， 所以.故选：C. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 【答案】 【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，，所以，，又由，知，所以在中，由勾股定理可得，解得或（舍去），又，则，所以，，所以的面积为. 3．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 . 【答案】 【详解】，如图所示，由椭圆定义，，，则，故，要使最大，则，故.故答案为： 4．（多选）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若为正方形，则的边长为 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．长方形的面积的最大值为14 【答案】ACD 【详解】对于A，由椭圆的方程知，则，椭圆的离心率，A正确；对于C，由A知，椭圆对应的蒙日圆方程为，C正确；对于B，由C可知，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，正方形的边长为，B错误；对于D，设长方形的长和宽分别为长方形的对角线长为椭圆对应蒙日圆的直径，长方形的面积（当且仅当时取等号），即长方形的面积的最大值为14，D正确．故选：ACD． 5．点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为正三角形，，不妨设在第一象限，所以，在椭圆上，则，，可得，即得，所以，因为，故解得．故选：A． 6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则. 7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是 . 【答案】 【详解】如图，直线的斜率为. 由，得点为的中点，又，所以是线段的垂直平分线，所以，过点作于点，得，所以，所以，所以，即，所以，又，为的中点，所以，所以，由双曲线的定义可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），又题中直线与的右支有交点，所以，即，所以，即，所以，即，所以的离心率为.故答案为：. 8．如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【详解】  设另一个焦点，连接，设则再根据双曲线的定义可知：由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，所以，化简得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案为. 9．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点， ，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意得,因为,所以 ,又因为 ,所以,所以. 10．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±． 由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又 e＞1，∴1＜e＜1+，故选D． 考点三：直线与圆锥曲线位置关系与弦长问题 1．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设点、，   若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意； 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 因为，即，可得，即， 所以，，可得，，所以，，则， 所以，.故选：C. 2．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由四边形为菱形，如下图示，，，由抛物线性质知：，则，故，又，故，所以.公式，证明如下：令直线（斜率存在）为，代入，则，整理得，若，而，若直线倾斜角为（不为直角），则，所以. 3．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得，故椭圆的方程为，设，线段的中点为，连接，如图， 点在椭圆上，，两式相减得， 则，设直线的方程为，则， 点也为的中点，，，解得， ，，故直线的方程为， 联立，消去整理得，则， 则,故答案为： 4．已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得，则，，由离心率为，可得，所以，所以双曲线．设的中点为，根据，得到．由知直线与双曲线交于两支，不妨设点在左支上，点在右支上，则，所以．设到的距离为，则①，又，所以②，由①②可得．设圆的圆心到直线的距离为，则，所以直线被圆所截得的弦长为．故选：B 5．已知抛物线与直线相交于，两点，且弦长为，则 . 【答案】 【详解】联立得， 恒成立 ， 又设，则，， 所以， 整理得，解得（舍去），所以. 6．已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】取的中点，连接，因为，所以，即， 故，即，即为的中点，设，则，， 直线l与圆O相切于第一象限的点A，故，所以，直线l的方程为，令得，故，故的中点，设，则，两式相减得，化简得，故，即，即，，解得，负值舍去，又，故，负值舍去，所以直线l的方程为，即. 7．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知抛物线焦点到准线的距离为，即，则抛物线方程为，，所以直线方程为，即，设直线与抛物线交点，，联立直线与抛物线，得， 则，，又由抛物线可知，， 所以，故选：A. 8．已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线（斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线段的中垂线交x轴于一点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线方程，焦距，显然，不妨设的方程为：，的中点为Q，则，联立双曲线方程， 所以，则， ，易知， 则，令， 则，所以.故选：D 9．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为 . 【答案】 【详解】过点的斜率为的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求，故可设直  线，代入抛物线方程，消元可得，设，则，，， ， 于是，即，.故答案为：. 10．如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为 . 【答案】 【详解】半圆的圆心为，半径为，半圆的圆心为，半径为，对于椭圆的焦距为，则，可得，所以，椭圆的方程为，如图所示，设直线与椭圆的另一个交点为，由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称，即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，，若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，故当时，取最小值，则的最小值为.故答案为：. 考点四：圆锥曲线中的定值问题 1．P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（    ） A．直线与的斜率之和为定值 B．直线与的斜率之积为定值 C．直线与的斜率之和为定值 D．直线与的斜率之积为定值 【答案】D 【详解】设，则，即： ， ，为定值.故选：D. 2．已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ． 【答案】 【详解】设,则由,得， 则，，点,在双曲线上,，则， 设分别为直线,的斜率,根据题意,可知,即， ，即，在双曲线上,设该双曲线的左、右焦点分别为，由双曲线定义可知||为定值，该定值为.故答案为：. 3．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 【答案】A 【详解】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为， 因此为定值，①真；设，则，且，显然，否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意，则为定值，②真，所以①真②真.故选：A 4．已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值 ． 【答案】 【详解】由题意，，设，则，可得， 直线的方程为：，令，则，可得，直线的方程为，令，可得，即，∴ ，故答案为：． 另解：双曲线方程化为，只是将的替换为，故答案也是只需将中的替换为－即可.故答案为：－. 5．过双曲线的右焦点的直线交双曲线于、两点，交轴于点，若，，规定，则的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为 . 【答案】 【详解】如图，设椭圆的右焦点为，过点的直线为，代入椭圆的方程得，设，，则，，过点分别作轴的垂线，垂足为，则，，所以，将，代入化简得：.故答案为：.    6．已知点和椭圆C：，点，在上，且，，为垂足．存在定点，使得为定值，则定点的坐标为 ． 【答案】 【详解】［方法一］：通性通法 设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得：，所以， 整理化简得，因为不在直线上，所以，故,于是的方程为,所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得，由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点.令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．设，因为则，即．代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 7．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为 ． 【答案】 【详解】设，当直线斜率不存在时，直线与双曲线无交点，不合题意；当直线的斜率存在时，设，，，则，由，可得，则，，所以，要使为定值，则，可得或，当时，点A不在双曲线上，可得，，或，，，故．故答案为：. 8．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点P是直线上的一点，直线PB交C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为，，则为定值，则的值为 ． 【答案】 【详解】，，设，则，直线PB的斜率． 设，则有，由，，所以，所以，故．故答案为： 9．已知椭圆的上下顶点分别为，过点的直线交椭圆于两点，记，则为定值，则的值为 ． 【答案】 【详解】如图，，设，直线斜率为，则直线为，联立，得，则，，设直线：，直线：，联立，得，联立，得，由 得，解得，①由得，解得，②，①②得：， 即，则.故答案为：   10．点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由为定值，即为定值，所以椭圆上任意一点到直线、的距离之和为定值，显然、平行或重合，且，则，即，所以与椭圆无交点，综上，只需保证椭圆在直线、之间即可，如下图， 需直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离即可，联立有，则，即，所以，即或，当时，直线在椭圆右下方，不合要求；当时，直线在椭圆左上方，符合；所以m的取值范围是.故答案为： 考点五：圆锥曲线中的过定点问题 1．设椭圆的上顶点为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 【答案】 【详解】根据题意易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，由可得， ∴，，又，所以∴，解得或．当时，直线AB经过点D，不满足题意，则直线AB的方程为，故直线AB过定点．故答案为：．   2．已知椭圆上一点，点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，则直线过定点 . 【答案】 【详解】由题意若直线的斜率存在，设其方程为，，由消去y得，，则， 于是 ， 化简得，即， 当，即时，直线的方程为，过定点，不满足题意， 当，即时，满足，直线：，过定点， 当直线的斜率不存在时，设其方程为，由得，则，解得（舍）或， 显然直线：过定点，综上，直线过定点.故答案为：.   3．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 【答案】 【详解】由题意可设，，则，由得：，与双曲线有两个交点，，则，；当时，点与点重合，此时直线为轴；当时，将上式点坐标中的换成，可得； ①当直线不垂直于轴时，，则直线，化简得：，直线过定点； ②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点； 综上所述：直线过定点.故答案为：.  4．已知椭圆，直线过点且与椭圆相交于两点．过点作直线的垂线，垂足为.则直线过轴上的定点坐标为 ． 【答案】 【详解】（1）当直线斜率不存在时，直线的方程为，不妨设，则.此时直线的方程为,即，所以直线过点． （2）当直线的斜率存在时，设，直线为，， 由得，所以, 直线：，只需证明直线过点即可，令，得， 所以，即证，即证，可得，所以直线过点．综上所述，直线恒过轴上的定点． 5．已知点F为椭圆的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题可知直线PF的斜率存在,设直线,则,联立直线与椭圆方程得,则,，所以，整理得，又，所以直线QM的方程为，故直线QM过定点．故答案为： 6．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【详解】双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立得，则，所以，直线的斜率为，所以直线的方程为 ，令化简得，，即，则恒成立，所以直线必定经过的定点的坐标为，故答案为： 7．若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：，已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 . 【答案】 【详解】因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②； 由①②可得的方程为，即，即， 所以，解得，故直线恒过定点，故答案为： 8．已知双曲线：和椭圆：.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 . 【答案】 【详解】当直线、的斜率不存在时，不满足题意.故直线的方程设为，直线过点，即.与双曲线方程联立，得. 故，. 设，，有，. 设.. 化简得. 代入韦达定理得：. 将代入其中消去化简得：. 由动直线、互不影响可知，要满足为定值，则为定值，为定值. 因此要满足为定值，则有： ①若，，计算得，.经检验满足，此时. ②若，即，，有无解. 综上，当，.下面只需验证当时，是否为定值. 设直线方程为：，直线过点，即.椭圆方程联立，得.故.设，，有，..化简得.代入韦达定理化简可得：.将代入其中可得：.所以当，，，. 四、强化训练： 题组一：圆锥曲线的定义与标准方程 1．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，若点M满足，则点M的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【详解】解：设点，则，，因为，所以，解得，因为点P在曲线C：上，所以，（），即，（），故选：B 2．长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设、，，则有，，即，，由题意可得，即，即.故选：D. 3．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，则， ∴，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，，椭圆的方程为：故选：A． 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，因在曲线上，故即，故选：A. 5．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，则，由题意可知，即，将点代入，得，即故选：D. 6．已知双曲线C的焦点为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若，，则C的方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线C的方程为：，设，则，，，因为，所以 ，，所以，，因为，所以，所以，即，解得， 可得，所以，所以双曲线C的方程为：.故答案为： 7．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，又因为双曲线过点，可得，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B. 8．已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，则由题意可得，，相减可得，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，由题意可得，，，故点的轨迹方程为．故答案为： 9．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（    ） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【答案】B 【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.故选：B. 10．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同的两点，线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设直线的方程为，设，，,联立，得，则,所以，，由中点坐标公式得：，则由消去得，得点的轨迹方程为.故答案为：. 题组二、圆锥曲线的几何性质 1．已知点分别为椭圆的左､右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆，知，所以.所以，所以过作垂直于轴的直线为，可得，由题知的内切圆的半径相等，且，的内切圆圆心的连线垂直于轴，垂足为.设内切圆的半径为，在中，由等面积法得，，由椭圆的定义可知，，由，所以，解得，在中，因为为的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为，在中，由等面积法得，，由椭圆的定义可知，，所以，解得，所以，所以，所以的周长是.故选：A. 2．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线 ，所以，，所以， 为双曲线上一点，，所以为双曲线上右支上一点，由双曲线的定义得：，，所以，所以，，，所以，所以，故，故选：B 3．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在双曲线中：，所以，根据双曲线的定义，可得，是等边三角形，即，，又，，的面积为．故选：C． 4．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，消可得得，解得， 分别代入，，，，， ，，，， ，把代入式并整理得，两边同除以并整理得，解得． 5．椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为椭圆的半焦距，由题意，由对称性可设,则,因为，所以,所以,即,解得或（舍）.故选:B. 6．已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为经过左焦点，且斜率为，故，为三角形内角，所以，所以，则，设，则，由椭圆的定义可知：，即，解得：， 所以，，由勾股定理得：，故， 解得：，故椭圆离心率.故选：B 7．如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可设，则，由对称性知，由题可知，则，由椭圆的定义知，则，在中，，则，整理得，故的离心率为.故选：D. 8．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，． 9．设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若, 则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得又曲线的渐近线方程为，与交于,两点，联立可得坐标，不妨令，则，又右焦点，故，，在中，，即，由余弦定理，可化为，又，故可得，解得． 10．已知点在以为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图,由题意，设，则，由椭圆定义可得， 在Rt中，由勾股定理可得，即，即，因为点在椭圆内，则， 又因为，所以，令，是一条开口向上的抛物线，对称轴为，所以在上单调递增，若方程在内有实根，则，得，所以，因为点在椭圆内，且，则，即，所以，因此.故选：C. 题组三：直线与圆锥曲线位置关系与弦长问题 1．若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】由消y得．设，则，， 所以．故答案为： 2．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【详解】设点、，抛物线的焦点为，由于直线过点，且该直线的倾斜角为，斜率为1，则直线的方程为，联立方程，消去并整理得，，由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得 故选：C. 3．已知抛物线与直线相交于，两点，且弦长为5，则 . 【答案】 【详解】联立得， ，因为，所以，即，又设，则，，所以，解得. 4．经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B．或3 C．或2 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知直线的方程为，由，可得，解得或，或者.  故选：C. 5．已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】如图，过点作，由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，由，，所以,设直线的直线方程为，联立，得，易知，则，而，得.故选：B 6．已知直线l与椭圆在第二象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点（在椭圆外），若，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设：（，），设，，联立，得，由题意知，所以，，设的中点为，连接，因为，所以，得，又因为，，所以也是的中点，所以的横坐标为，从而得，因为交在第二象限，解得，设直线倾斜角为，得，得，故A正确. 7．已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． 【详解】易知，，，点.不妨设，，直线斜率为，倾斜角为，易知， 且直线的方程为，联立直线与椭圆的方程， 消去可得，.根据韦达定理可得，. 又，所以有，所以，. 又，代入可得， 所以，解得，所以，.故选：B. 8．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的右焦点为，过F作直线l交椭圆于 A，B两点，若弦AB 中点坐标为 ，则该椭圆的面积为 . 【答案】 【详解】因为右焦点为,得出，设点中点为，,所以，,所以，所以， 所以,，所以，所以, 所以,所以该椭圆的面积为.故答案为：. 9．已知椭圆的离心率为，过的右焦点的直线与交于两点，与直线交于点，且，则的斜率为 . 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以的方程为，所以椭圆右焦点为，当直线为时，，，，故不符合题意，当直线斜率不为0时，设，，由题意显然有，联立，得，则，所以.易得，则.由，得，即，所以，即，故的斜率为.故答案为：. 10．（多选）如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（    ）   A．的方程为 B．的最大值为 C．直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D．面积的最大值为 【答案】AC 【详解】由可变形为，则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆.曲线的焦点为，解得，，，则曲线的方程为，故A正确；另椭圆的上焦点，所以可以看成，当点位于的下顶点时，最大，所以，故B错误；当直线与第一象限半圆相切时，，则，由图，可得的取值范围为，故C正确；根据对称性，不妨设，联立，消去并整理得，且，则，，则，所以，设，易得，函数在上单调递增，，所以的最大值为，故D错误.故选：AC 题组四：圆锥曲线中的定值问题 1．过抛物线：准线上的点作的两条切线，切点分别为，，则 . 【答案】 【详解】解：抛物线：，即，准线方程为，设，过点的切线方程为，由得，由，得. 依题意，，为上述方程的两根，则.故答案为： 2．已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 【答案】/ 【详解】如图，设直线，的方程分别为，，则，，， 因为为圆的直径，，所以．联立，消去得，，，同理可得，，，，．故答案为： 3．过点作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，直线交x轴于点Q，连接QA，OB，则直线QA，QB的斜率之和为 ． 【答案】0 【详解】由题意可得直线的方程为,,设,联立，消去可得,即，,则，.所以.故答案为:0. 4．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点，，设直线的斜率分别为，则 ． 【答案】0 【详解】由题意，设其倾斜角为，,故，则，故l的方程为， 与的方程联立得，显然，设，则， 所以， .故答案为:0. 5．已知双曲线的离心率为2，实轴的两个端点为，点为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的斜率之积为 ． 【答案】3 【详解】设点，有，，直线，的斜率之积，又，所以． 6．双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，由双曲线定义得，， 在中，由余弦定理得， 解得，则，，在中，由余弦定理得，解得，则，，设，则，将代入得，则直线与的斜率之积为.故选：D 7．如图所示，已知是抛物线上的两点，是焦点，直线的倾斜角互补，记的斜率分别为，则 ． 【答案】1 【详解】抛物线的焦点，设点， 显然直线不垂直于坐标轴，设直线，因为直线的倾斜角互补，则点关于x轴的对称点在直线上，显然点在抛物线上，由消去x并整理得：，于是得，即，因此，，所以.故答案为：1 8．已知直线与双曲线相切，且与的两条渐近线分别交于两点，则 . 【答案】4 【详解】将代入，得，易得，由，得，双曲线的渐近线方程为，将其统一得，将代入得，（）则.故答案为：4. 9．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为，联立解得，不妨取，同理可得，则，因为四边形是平行四边形，于是，由于点在上，所以，因此，故C正确.故选：C． 10．已知双曲线：的焦距为，双曲线C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以.因为双曲线C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，所以双曲线C的一条渐近线的斜率为：.对双曲线，，所以双曲线C的标准方程为：.如图，M，N为上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点，设直线的方程为：，由，所以.又，用代替，可得.所以.故答案为：. 题组五：圆锥曲线中的过定点问题 1．已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为 ． 【答案】 【详解】由题意，椭圆的左顶点为（-4,0），设，由，则，由,因为，所以，则，所以，于是，化简得：，令，所以直线MN经过轴上的定点.故答案为：. 2．若椭圆C：的离心率是，一个顶点是，且，是椭圆上异于点的任意两点，，则直线过定点 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，解得：，，所以椭圆的方程为：； ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，设，，，，联立，整理可得：，可得，，则，，因为，所以，即，，，所以，代入可得：，整理可得：，解得：或1，且，是椭圆上异于点的任意两点，故， 所以直线的方程为：，恒过定点； ②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则可得，设，，因为，所以，所以，，，即，解得：，所以直线也过.故答案为：． 3．已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l过定点__________． 【答案】 【详解】依题意设直线为，，由 得则， ,，， ，,,则有或，又因为； 当时， 直线与椭圆不一定有两个交点，故不成立；经检验成立，故,所以 故直线l过定点.故答案为： 4．若过椭圆右焦点作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于和，线段的中点为，线段的中点为，则直线过轴上一定点 . 【答案】 【详解】设直线的方程为，其中,设点、,联立,,所以，，故点，由直线的方程为，相当于把换成再计算，所以可得点，所以，所以直线的方程为，即，因此直线过定点.故答案为：. 5．已知点F为椭圆的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题可知直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为：，设，则，联立直线与椭圆方程，消去y并整理得：， 则,，显然， 所以直线QM的方程为：，整理得，又，所以直线QM的方程为，当时，恒成立，故直线QM过定点．故答案为： 6．已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是 ． 【答案】 【详解】设点的坐标是，则切点弦的方程为，化简得，令，可得，故直线过定点． 7．已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线，，其中，为切点，则直线过定点 ． 【答案】 【详解】若过椭圆上任意一点作切线，则其斜率存在，不妨设其为， 联立方程得，则，即，又该方程，因为，则，故可得，故此时过椭圆上一点的切线方程为，即，，即；当时，显然过点的切线方程也满足，综上所述，过椭圆上任意一点的切线方程为； 设，则，，，则切线的方程为，切线的方程为，又点在上，故，可得A、B都在直线上，即，，令，解得，故直线AB过定点．故答案为：． 51 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$