精品解析：北京市海淀区十一学校2024--2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

常规初三数学综合练习（3.20） 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（共16分，每小题2分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球约320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，．若平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A. |a|＞4 B. b+d＜0 C. ac＞0 D. a﹣c＞0 5. 若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 7. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同3张卡片，分别标有数字1、2、3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：______． 11. 方程的解为___________. 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，则点B的坐标为______． 13. 如图，在 中，直径 与弦的交点为E，．若，则______． 14. 某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵． 15. 如图，在正方形 中．点E，F，G分别在边 ， ， 上，．若，，则的度数为______（用含 的式子表示）． 16. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“ 节”．某校今年“ 节”策划了五个活动，规则见图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“ 币”数量的所有可能取值为______． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组并把解集在数轴上表示： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，点E在 的对角线的延长线上，，于点F，交 的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形是面积． 21. 为了加力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴；购置二级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴．每位消费者每类产品可补贴 件，每件补贴金额不超过元．活动期间，小刘购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元，已知电视机的售价比冰箱售价的 倍还多元．求电视机和冰箱的售价各是多少元? 22. 在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求m的取值范围． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这 周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这 周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 24. 如图， 中，，以 为直径的⊙分别交边于点D，E，过点A作⊙的切线交 的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 25. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； （3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． （1）当，时，求抛物线的对称轴； （2）已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 27. 如图，在 中，，，P为线段 上的动点（不与点C重合），将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ． （1）如图1，当P是 中点时，连接 ，求证：； （2）如图2，过点Q作直线，交直线 于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段 的等量关系并证明； （3）如图3，若，，O为 的中点，M为线段 上的动点，N为线段 上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值． 28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为2，对于 的弦 和不在直线 上的点C，给出如下定义：若点C关于直线 的对称点在 上或其内部，且，则称点C是弦 的“ 关联点”． （1）如图，点，． ①在点，，中，点______是弦 的“ 关联点”； ②若点D是弦 的“ 关联点”，则点D的横坐标的取值范围为______； （2）已知P是直线上一点，且存在 的弦，使得点P是弦的“ 关联点”．记点P的横坐标为t，求t的取值范围． （提示：先画出任意一条弦的“ 关联点”轨迹，然后再画出所有符合条件的“ 关联点”的轨迹．要求画图，写出关键解题步骤．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常规初三数学综合练习（3.20） 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（共16分，每小题2分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球约320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：320000000用科学记数法表示为：， 故选择B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，，．若平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．求出的度数，再利用角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∵平分， ∴ 故选：A． 4. 若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A. |a|＞4 B. b+d＜0 C. ac＞0 D. a﹣c＞0 【答案】A 【解析】 【分析】根据a,b,c,d在数轴上的位置判断大小，同时运用有理数运算法则的符号规则可得. 【详解】解：A、∵a＜﹣4， ∴|a|＞4，结论A正确； B、∵b＜﹣1，d＝4， ∴b+d＞0，结论B错误； C、∵a＜﹣4，c＞0， ∴ac＜0，结论C错误； D、∵a＜﹣4，c＞0， ∴a﹣c＜0结论D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 5. 若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是 除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：多边形的外角的个数是． 所以多边形的边数是8． 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 7. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同3张卡片，分别标有数字1、2、3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意和树状图，列出所有等可能情况，找出两次摸出的数字之和为奇数的情况，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有9个等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为奇数的有4个情况， ∴两次抽得的数字之和为奇数的概率为， 故选：A． 8. 如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，根据图1和图2可设，，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：由图1可知，y是x的一次函数，则可设， 由图2可知，z是y的正比例函数，则可设， ∴， ∵， ∴符合题意的图象只有C中的函数图象， 故选：C． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件“被开方数是非负数”和分式有意义的条件“分母不等于0”是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，解得： ． 故答案为： ． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合运用提取公因式和平方差公式因式分解，熟练掌握综合运用提取公因式和平方差公式因式分解是关键．观察表达式，先提取公因式，再应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定最简公分母为，然后方程两边同时乘以进行去分母，把分式方程化为整式方程，然后解这个整式方程，最后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原分式方程的根． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，正确找到最简公分母、掌握解分式方程的步骤和进行检验是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两个函数的解析式是解题的关键．先把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A坐标代入正比例函数解析式求出正比例函数解析式，再联立两解析式即可求出点B的坐标． 【详解】解：把代入反比例函数中得，即：， ∴， 把代入正比例函数可得：，解得：， ∴正比例函数解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在 中，直径 与弦的交点为E，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质．正确运用所学的性质是解题的关键．连接，由可得，则，根据条件可求出的度数，由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 是的直径， ∴ ， ∴． 故答案为：40． 14. 某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵． 【答案】940 【解析】 【分析】本题主要考查了根据样本所占百分比估计总体频数，用2000乘以样本中高度不低于的树苗的百分比，即可求出结果． 【详解】解：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有： （棵）， 故答案为：940． 15. 如图，在正方形 中．点E，F，G分别在边 ， ，上，．若，，则的度数为______（用含 的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，根据三角形外角的性质，即可求出结果． 【详解】解：过点G作于点H，如图所示： ∵四边形 为正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“ 节”．某校今年“ 节”策划了五个活动，规则见图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“ 币”数量的所有可能取值为______． 【答案】 ①. 鲁班锁 ②. 1或2或3 【解析】 【分析】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论． （1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动； （2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能． 【详解】解：（1）∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚， 故答案为：1或2或3． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数的混合运算、负整数次幂、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组并把解集在数轴上表示： 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集进而求出不等式组的解集是解题的关键．先分别求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： ， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知得，再代入分式计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 20. 如图，点E在 的对角线 的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形是面积． 【答案】（1）见解析 （2）128 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线 、 的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ，即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 21. 为了加力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴；购置二级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴．每位消费者每类产品可补贴 件，每件补贴金额不超过元．活动期间，小刘购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元，已知电视机的售价比冰箱售价的 倍还多元．求电视机和冰箱的售价各是多少元? 【答案】电视机的售价为元，冰箱的售价为元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设冰箱的售价为 元，则电视机的售价为 元，根据购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元列方程求解即可。 【详解】解：设冰箱的售价为 元，则电视机的售价为 元， 根据题意，得 ， 解方程，得． 元． 答：电视机的售价为元，冰箱的售价为元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； 【小问2详解】 解：由（1）得：一次函数的解析式， 当 时，， ∵当 时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把 代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时， ，此时函数的值大于一次函数的值， ∴． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这 周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这 周新售价的方差为，则________；（填“”“ ”或“”）． 【答案】（1）， （2），四 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可； （2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可； （3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，成本从小到大依次排序为； ∴甲商品这五周成本的平均数为， 中位数为第3个位置的数即中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为， ∴第二周售价的涨跌幅为， 解得，； 同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为， 解得，； 第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为， 解得，； ∵， ∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高， 故答案为：，四； 【小问3详解】 解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”， ∵， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键． 24. 如图， 中，，以为直径的⊙ 分别交边于点D，E，过点A作⊙ 的切线交 的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） ∵ ， ∴ ， ∵ 是⊙ 的切线， ∴ ， ∴， ∴，, ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，以及三角形相似等知识点，进行边与边的转化，找到相似三角形是解题的关键． （1）由可得，由切线的性质可得，从而得到，，推出，即可得证． （2）连接，由（1）可得，，，即可求出，得到，由勾股定理可得，得到，由圆周角定理可得，证明，得到，求出，，同理可得，，证明，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ， 由（1）得，， ∴， ∴10 ∴ ， ∴ ∵是 ⊙ 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 同理可得： ， ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ，即， ∴． 25. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； （3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 【答案】（1） 如图所示： （2）5.5；66.0 （3）> 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答． （2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可． （3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象 ∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）； 故答案为：5.5；66.0． 【小问3详解】 解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近， ∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则 故答案为：>． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． （1）当，时，求抛物线的对称轴； （2）已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 【答案】（1）对称轴 （2）①见解析；②存在，如 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式可得到a与b的关系，再根据对称轴公式即可求解； （2）利用二次函数的图象和性质，以及不等式的基本性质，即可证明；结合抛物线的对称性和增减性，抛物线上的点离对称轴的距离越近，所对应的函数值越小，分情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵点在抛物线上，且，， ∴， ∴， ∴对称轴为； 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴； ②存在a，b，使得当时，都有． 由①知，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离抛物线对称轴的距离越近，所对应的函数值越小， ∵，，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴当时， ，且P离对称轴的距离更近， ∴，符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意． ∴，即， ∴存在a，b，使得当时，都有，a与b之间的数量关系为． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，不等式的性质等，熟练掌握抛物线的对称轴，不等式的性质等相关知识点是解题的关键． 27. 如图，在 中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段． （1）如图1，当P是中点时，连接 ，求证：； （2）如图2，过点Q作直线，交直线于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段 的等量关系并证明； （3）如图3，若，，O为的中点，M为线段上的动点，N为线段上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值． 【答案】（1） 证明：由旋转可知：， ∵，点P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由： 解：由题意可得如图： 连接 ，作，交于点D， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据 可证，然后问题可求证； （2）按题意画出图形，连接 ，作，交于点D，证明得，，证明得，从而，再证明，进而可求出； （3）连接，先求出，，．确定点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，由可知最短时，线段值的最小．证明得，从而可知点Q在与成角的射线 上运动，当时， 的值最小，即线段取得的最小值，求出，即可求出线段的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，， O为的中点， ∴，， ∴． ∵，D为线段的中点， ∴， ∴点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动． ∵， ∴最短时，线段值的最小． 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在与成角的射线 上运动， ∴当时， 的值最小，即线段取得的最小值． ∵， ∴线段取得的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，圆的性质，垂线段最短，确定点Q的轨迹是解（3）的关键． 28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为2，对于 的弦 和不在直线 上的点C，给出如下定义：若点C关于直线 的对称点在 上或其内部，且，则称点C是弦 的“ 关联点”． （1）如图，点，． ①在点，，中，点______是弦 的“ 关联点”； ②若点D是弦 的“ 关联点”，则点D的横坐标的取值范围为______； （2）已知P是直线上一点，且存在 的弦，使得点P是弦的“关联点”．记点P的横坐标为t，求t的取值范围． （提示：先画出任意一条弦的“关联点”轨迹，然后再画出所有符合条件的“关联点”的轨迹．要求画图，写出关键解题步骤．） 【答案】（1）①，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）由相对运动理解，作出 关于 的对称圆，若点 关于直线 的对称点在 上或其内部，且，则称点 是弦 的“ 关联点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可；②取 中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的 上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴且点D在y轴右侧时，点D横坐标最大，可求，故点的横坐标的最大值为，即可解答； （2）反过来思考，根据由相对运动理解，作出 关于 的对称圆，故点P需要在的圆内或圆上，作出关于的对称，的外接，连接，则点P在以为圆心，为半径的优弧上运动（不包括端点M、N），可求，随着的增大，会越来越靠近 ，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，由，故当最大，时，此时为等边三角形，此时，的最大值为 ，设，则，解得：，可求直线与 交于点 ， ，即可解答． 【小问1详解】 解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出 关于 的对称圆， ∵若点 关于直线 的对称点在 上或其内部，且，则称点 是弦 的“ 关联点”， ∴点C应在的圆内或圆上， ∵点，， ∴，， ∴, 由对称得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴的半径为2， 则,故在外，不符合题意； ，故在上，符合题意； ，故在内，符合题意， ∴点，是弦 的“ 关联点”； ②取 中点为H，连接， ∵ ， ∴， ∴点D在以H为圆心，为半径的 上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当轴且点D在y轴右侧时，点D横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点的横坐标的最大值为， ∴点D的横坐标的取值范围为； 【小问2详解】 解：反过来思考，由相对运动理解，作出 关于 的对称圆， ∵若点 关于直线 的对称点在 上或其内部，且，则称点 是弦 的“ 关联点”， ∴点C应在的圆内或圆上，故点P需要在的圆内或圆上， 如图，作出关于的对称，的外接，连接， ∴点P在以为圆心，为半径的优弧上运动（不包括端点M、N）， ∵点P是弦的“关联点”， ∴， ∵， ∴， 由对称得点在的垂直平分线上， ∵的外接圆为， ∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q， ∴， ∴， 随着的增大，会越来越靠近 ，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，， 连接， ∵， ∴当最大，时，此时为等边三角形， 由上述过程知 ∴， ∴当，有最大值， 此时，， ∴的最大值为， 设，则， 解得：， 记直线与 交于，与x轴交于点G，与y轴交于点K，过点T作轴， 设， 则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴ 点横坐标为， 同理： 点横坐标为， ∴t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $