西南（云南 四川 贵州）名校联盟2024-2025学年高三“3+3+3”高考备考诊断联考（二）数学试题

西南名校联盟2025届"3+3+3"高考备考诊断性联考（二）数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，分别为两个实根，则(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 3.设在中，点D为BC边上一点，且，点E为AC边上的中点.若，，则(    ) A. B. C. D. 4.某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有(    ) A. 42种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 5.已知“”是“与表示的曲线有两个不同交点”的条件. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为(    ) A. 0 B. C. D. 7.莫比乌斯环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现.就是把一根纸条扭转后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端粘合两端重叠部分忽略不计，形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是(    ) A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm才能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开如图白色线的部分，曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开如图白色线的部分，最终得到图形的周长为120cm D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 8.函数且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是(    ) A. 一组样本数据，，，的平均数等于，，，的平均数 B. 样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10.函数满足，且，，下列说法正确的有(    ) A. 为的一个周期 B. 为奇函数 C. D. 11.设函数，则(    ) A. 若，则为的唯一的极小值点 B. 函数不一定有最小值 C. 若方程恰有3个实数根，则 D. 若在恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线的左、右焦点分别为，点A，点B是双曲线上两点，点C是y轴上一点，O为坐标原点.若四边形AOBC是正方形，且，则双曲线的离心率e为          . 13.数列的前n项和为，满足，，则          . 14.，，则a的取值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有 求角 若的面积为，，求的周长. 16.本小题15分 已知函数 当时，求证：最大值小于 若有两个零点，求实数k的取值范围. 17.本小题15分 中心O在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点不与顶点重合，满足当时，P到左焦点的距离为 求椭圆的标准方程; 当的最大值小于5时，过点P作椭圆的切线，与x轴交于Q，与y轴交于R，求的最小值. 18.本小题17分 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为，留在该房间的概率为若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为， 求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率; 求证：，均为等比数列; 在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大? 19.本小题17分 如图，半径为2的半球面O底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上.且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记， 求证：平面 点P在圆S上，设，且，Q在平面上. ⅰ用表示PQ的长; ⅱ当DQ与平面ABC所成角最大时，求 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解： ， 故选 2.【答案】C  【解析】解：由于，是方程的两个根， 所以， 所以 故选： 3.【答案】D  【解析】解：，且易得， 则， 故选 4.【答案】B  【解析】解：因为甲同学不能参加物理和化学知识竞答，所以分两种情况讨论. 情况一：甲不参加，种安排方法. 情况二：甲参加，甲只能参加数学竞赛，种安排方法. 所以总的安排方法有种， 故选 5.【答案】A  【解析】化简为， 表示的曲线为x轴上方的半个圆， 结合图象发现相切时，过点时，， 所以与表示的曲线有两个不同交点时， ，故选 6.【答案】B  【解析】解：设底面ABCD的中心为O， 根据对称性不难知，都在线段PO上. 如图，易知， 故， 设，则， 在中，有，解得 设AD和BC的中点分别为E，F， 则易知为等边三角形，恰好为的中心， 故， 因此， 故选 7.【答案】C  【解析】解：一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走完中间白色线一圈才能回到原处， 白色线的长为矩形条长的2倍，所以 A不正确， D不正确; 若沿着中线剪开如图白色线的部分，曲面变成一个更大的莫比乌斯环，且周长为原来的2倍，原来的周长为60厘米， 所以C对， B错误，故选 8.【答案】B  【解析】解：因为，且在上单调， ，因此， 故在上单调，因此，即 在上的第一个零点为， 故第2个零点为， 第3个零点为， 结合题意可知解得， 又因为，因此的取值范围是， 故选 9.【答案】BCD  【解析】解：设样本数据，，，的平均数为，则，，，的平均数等于，故A选项错误; 样本数据1，1，1，0，2的均值为，故其方差为，标准差为，故B选项正确; 二项分布的方差计算公式为，故，C选项正确; 根据正态分布图象的对称性，因此，故D选项正确， 故选 10.【答案】ABC  【解析】解：由， 所以的周期为，故A正确； ，所以为奇函数，故B正确； 所以，故C正确； 如果有意义， 则，矛盾，故D错误. 故选 11.【答案】AC  【解析】解：对于A，当时，，那么在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，故A选项正确; 对于B，可知函数为偶函数， ， 当时，当，，当，， 在上单调递减，在上单调递增， 且与时，均有，则在处有最小值. 而当时，令，解得，， 当或时，，当或时，， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且与时，均有，则在处有最小值，故B选项错误; 对于C，方程恰有3个实数根，等价于直线的图象与的图象有3个交点， 显然此时，由前面讨论结合偶函数图象可知，此时，因此C选项正确; 对于D，注意到是偶函数，故只需时，恒成立. ①当时，在上单调递增，要使得， 只需显然不存在这样的b， ②当时，在上单调递减，要使得， 只需显然也不存在这样的b， ③当时，在上单调递减，在上单调递增，要使得， 只需，即， 于是有，解②式得， 解①式得，因此， 从而得，于是， 所以存在唯一的一组b，c，即使得时，恒成立，且，故D选项错误， 故选 12.【答案】  【解析】解：不妨设点C在y轴正半轴上，， 所以点B为通径端点，则 13.【答案】10100  【解析】解： 相减得到或， 又，， 所以时， 所以数列为首项，公差为2的等差数列 14.【答案】1  【解析】解：由题意得，， 当时，，则， 令，则， 令，则，则在单调递增，在单调递减， 又，则不恒成立，则不恒成立， 故，则有且，或且， 函数在单调递增，且， 结合在单调递增，且， 则， 故答案为 15.【答案】解：在中，由正弦定理，有， 也即，， 因此有，从而，解得 由余弦定理，得， 又，所以 所以的周长为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：当时，， 易知在上单调递减， 在，，， 存在唯一的点使得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 其中满足，则， 所以， “=”成立的条件为，事实上， 所以 ， 易知在上单调递减， 当时，，时，， 所以存在唯一的使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由于时，，时，， 因为有两个零点，则必须有， 即，其中， 所以， 令， 易知在上单调递增， 且， 又，当时， 即实数k的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：，， 则，，解得或 当时， 当时， 当的最大值小于5时，椭圆的方程为，设， 则在的切线方程为，记， 则切线方程为， 则联立与， 得到， 由 因为，， 代入上式得到， 所以切线方程为， 所以，， 所以， 在，取得等号. 所以的最小值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间. 设为第1分钟时，猫在i号房间，老鼠在j号房间的概率，则，，， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则，所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率为 证明：易知，，且由得， 当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含2种情形： ①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为， ②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 则由全概率公式，，进而， 结合，故是首项为，公比为的等比数列，即，注意到当时也满足题意， 因此 老鼠第n分钟在0号房间包含3种情形： ①上一分钟描和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， ②上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， ③上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠转移到0号房间的概率为 故由全概率公式，，即 要证为等比数列，即证为等比数列， 而， 故，结合， 故为首项，公比为的等比数列，即，注意到时也满足题意， 因此 解：由，， 显然不是其最大值，设， ①当n为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为 ②当n为偶数且时，，当时，，故最大值为， 因此的最大值为，即在第2分钟时，老鼠在0号房间概率最大.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】证明：且， 记W为弧ADB的中点且平面平面， 又平面，为平面与的夹角为， 所以，又平面平面，平面ABC，所以平面； 解：由题意，平面 如图2，作于点E，于点F，交SF于点G，交PQ于点H， 则，， 故，， 由可知，为平面与平面所成角的平面角，即，延长 SP， GH交于点I，连接 CI，则有，，如图 因此，则， 又因为， 有，即，因此故 以O为坐标原点，AB为x轴，过O平行于l的直线为y轴，OD为z轴建立坐标系，如图5， 则，，，，，，，， 过Q作于N，则 DQ与平面ABC所成角为，， 则， 令，利用导数，当此时时，最大，所以此时由，得到  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$