贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题

高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第五章。 塑 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 恕 1.已知函数f(x)=x2+ln2,则1imf）-f t-1 到 A.1 B C.3 n3h3+号 2,函数fx)=3江的图象在点（一1，∫(-1）》处的切线方程是 长 x A.x-y+1=0 B.x-y+5=0 C.x+y-3=0 D.x-y-1=0 空 3.已知抛物线x2=8y上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为 A.22 B.4② C.2 D.4 4.在等差数列{am}中，若as=5,a4a。=16,则该数列的公差为 A.-1 B司 C.3 D.士3 名 5.已知函数f(x)=alnx一x2一1在[1,2]上单调递增，则a的取值范围是 A.[8,+o∞) B.[2,+∞) C.(8,+∞) D.(2,+∞) 的 v.则V 6.吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的关系式为r()=√ =2L时气球的瞬时膨胀率大约是V一16L时气球的瞬时膨胀率的 A.2倍 B.4倍 c号 D号 7.在平面直角坐标系xOy中，一道光线沿直线11：kx一y一4k+2=0经x轴反射，反射光线l: 与圆C:x+(y一4)2=4恰有一个公共点，则k= A.2±3 B2±3 3 C6±2g 3 D.-6±23 3 亦 8.已知a=log,e,b=1.1,c=e,则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 【高二数学第1页（共4页）】 .B1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在三棱雏P-ABC中，P(1,1,0)A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0),则 A.IPB=√3 B向量C与馆夹角的余弦值为号 C.向量n=(1,1,一2)是平而ABC的一个法向量 DPB与平面ABC所成角的正弦值为号 10.若函数y=∫(.x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x。(a≤xo≤b),使得f(x）= fb）二@)，则称函数y=f(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，江。是它的平均值点.若 b-a 函数y= e 一m在.x∈[0,3]上有两个不同的平均值点，则m的取值可能是 BS c D. 11.已知函数f(x)=2sinx-|x一a的最大值为0，则a的值可能为 A8-受 B5-智 cg号 D,-5+号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12.已知f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=lnx-f'(1)x2,则f'(1)= 13.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方 盒.若该方盒的容积最大为432，则a=▲ 14.如图，在Rt△A1OB1中，A1O⊥OB1,OA1=7,OB,=1点A2满A 足AA:=5AB1,以A:B,为直角边向△A,OB1的外部作 A: R△ABB,其中B,B2=A1A点A,满足AA=AB,以 A As A AB2为直角边向△A2B1B2的外部作Rt△A3B2B1,其中B2B =A2A.依此方法一直继续下去，设Rt△A,OB1的面积为S1, Rt△A2BB:的面积为S2,Rt△A,B2B,的面积为S3,…, Rt△AB。-Bn(n≥2)的面积为Sn.设数列{Sn}的前n项和为 B T.,则Ss=▲；若对任意n∈N“,T,≤一6t恒成立，则t的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.(13分) 已知函数f(x)=e'十ax十b在x=0处取得极值1. (1)求f(x)的解析式； (2)若曲线y=∫(x)的一条切线1恰好经过坐标原点，求切线l的方程 【高二数学第2页（共4页）】 ·B1· 16.(15分) 已知5，是数列a,的前n项和，且2+号+g+…+2=2-1 (1)求{an}的通项公式； (2)若b.=1og2an·log2am 一，求数列{b}的前n项和Tn… 17.(15分) 已知函数f(x)=xe“(a∈R) (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a>0,且f(x)在[-l,0]上的最小值为-e立，求a的值. 【高二数学第3页（共4页）】 -·B1· 18.(17分) 已知P为双曲线C:a-y=1(a>0)的左顶点，F为双曲线C的右焦点，PF=2+5., (1)求双曲线C的方程 (2)已知直线l:x=my一1与双曲线C交于A,B两点. (「)求m的取值范围 (i)设直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,试问k1k2是否为定值？若是，求出 该定值；若不是，请说明理由， 努 $ 分 19.(17分)》 定义：若函数f(x)与g(x)在公共定义域内存在xo,使得f(x。)十g(x。)=0,则称f(x)与 洲 g(x)为“契合函数”，x。为“契合点” (1)若函数f(x)=ae十a和g(x)=x一xe为“契合函数”，求a的取值范围 烟 (2)已知函数)-和g)-学为灯契合高数”且有两个哭合点1 x 够 ①求b的取值范围： ②若x>ez1,证明：x,十x,> e-1 閻 【高二数学第4页（共4页）】 .B1. 高二联考数学参考答案 1.C因为f'(x)=3.x2,所以1im f0-fD=f'1)=3. t一1 2.B因为x)=3x1,所以f(-1D=4,所以切点为(-1,40，又f(x)=3=（3-D 1 ,所以由导数的几何意义知切线斜率k=∫(-1)=1，故f(x)的图象在点(-1，f(-1D) 处的切线方程是y一4=x+1,即x-y+5=0. 3.B设M(xo,y),点M与焦点F的距离为6，所以yo十2=6，解得yo=4,又因为x=8yo, 所以xo=4V2,即M到y轴的距离为4V2. 4.D记等差数列{an}的公差为d.a4a6=(a,一d)(as十d)=a-d=16,解得d=士3. 5.A由题可知f(x)--2ax>≥0在1,2]上恒成立，所以a>2x,故a≥8，即a的取值范围 是[8，十∞). 6.B因为r=√4元 ,所以=（径）×V.则V=2L时气球的瞬时膨张率大约是V 2 16L时气球的瞬时膨胀率 16子4倍 7.C易知直线11过定点P(4,2),取点P(4,2)关于x轴的对称点P'(4,一2)， 过P'(4,一2)作圆C的切线，此即为反射光线1：（图略），显然直线2的斜率存在 设直线l2的方程为y+2=k'(x-4),即kx一y一4k'一2=0. 因为直线4与圆C相切，所以圆心C到直线2的距离d=14+6 =2,解得k'= k+1 -6±2W 3 ,所以k=一-6±23 3 8.A易知a=loge<1,构造函数f(.x)=e一(x+1),则f'(x)=e一1，易知当x≥0时， f'(x)=e-1≥0，f(.x)单调递增，所以f(0.1)=e1-(0.1+1)>f(0)=0,所以c>b>1, 所以a<b<c. 9.ACD由题可知PB=(-1,1,1),故PB1=√3，A正确：CA=(2,0,1),CB=(0,2,1), cos(CA,CB)= =1 5X5 ,B错误：设平面ABC的法向量为n=(x,y,之)，则 n·C=0,即2十：=0令=1，得a=11,-2).C正确：设PB与平面ABC所成的角 即 n.C3=0,2y+z=0, 为0，则sin0=leo,P馆=n·P官 -石X5=号，所以PB与平面ABC所成角的 nPB 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 B1· 正弦值为号D正疏故话ACD 10.BC 因为函数y-号-m是[03]止的平均值函数，且有两个不同的平均值点、 (9-m)+m 所以关于x的方程号 3 3-0 有两个不同的根， e 即关于x的方程m= 3 e 有两个不同的根.令g)-号-3，其中x∈0.3. 则g'(x)=2卫），当0<<2时，gx)>0,当2x<3时，g'()<0, 所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减， 所以g)=g(2)=3.因为g0)= >80.所以me[90). e3g(3)= 因为4e一3∈(7,8)，所以B,C选项符合. 11.ABD因为f(x)=2sinx-|x一a的最大值为0，所以y=|x-a的图象与y=2sinx的 图象的上方相切.第一种情况，直线y=x一a与y=2sinx在(2k元，+2kx)上的图象相 切，设切点为（y)y=2c0sx,所以2c0sxo=1.解得x。=号+2kx,k∈乙，y=2sim(号 +2k)=3,又y。=x0一a,所以a=一3+5+2kx,k∈Z 第二种情祝，直线y=一(x一a)与y=2sinx在（十2k元，元+2kx)上的图象相切，设切点 为xwy/=2c0sx,所以20s工，=-1，解得x。-行+2kx,k∈Z=2sm(行+2kx) =3,又。=-十a,所以a=5+号+2k,k∈Z放选ABD, 12.号依题意得fx)士-2rx,故f)=1-2f= 13.18因为铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，所以无盖方盒的底面积为(a一 2x)2,高为x.设该方盒的容积为V(x),则V(x)=4r3-4ar2+a2x(0<c<号).令V(x) =12x2-8ax十a2=(2x-a)(6x-a)=0,得x=8或x=号（舍去）.所以当x=8时，该方 盒的容积最大.由V(号)-%=432，得a=18 14写(-，-2]U[8.+oo）设AB.=a则a=42,a:=√（后a)+(写a,)} 68 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 B1· 70-(g)a.-()a=42.(g）.设BB-6则6 0=2,6=…6.=.=4wE(）-2()则5=×1 X7=s-06=4,5=26:-…8.=61-4E(g）. .(）=4(3)(m≥2.当n≥2时，T.=号+4 1() 1 =16-25. 2 (爱)<16：当n=1时，S,=7<16,所以2-6≥16，解得1≤-2或≥8 15.解：(1)因为f'(x)=e十a,所以f'(0)=1十a=0,解得a=一1.…2分 又因为f(0)=1十b=1,所以b=0,…4分 所以f(x)的解析式为f(x)=e一x,…6分 (2)设切点为(x0,e一xn),则f(x)=e9一1，…7分 切线方程为y一e0十xo=(e0一1)(x一xo),…9分 因为切线经过坐标原点，所以一e0十x。=一xo(e一1)，得xo=1,…11分 故切线方程为y一e+1=(e一1)(x一1)，即过原点的切线方程为y=(e-1)x.…13分 16.解：1)当n=1时，2=1，所以a1=2 …2分 当≥2时，由号+学+g十…+会=”-1， 可得7十04十8叶2号=21，…4分 两式相减，得g=2"一2-1=2-，即a。=2 …6分 因为a1=2符合an=221,所以{an}的通项公式为an=2w-. …8分 2油题可知6一ga,h8a2-i2n十-2） …11分 所以工，1-)+（兮）+信)++) =1-2)= …15分 17.解：(1)由题意可得当a=0时，f(x)=x在R上单调递增.…2分 当u≠0时，f'(x)=e+axe"=e(1+ar),令f(x)=0,解得r=-1 …3分 若a>0,则当x∈(-∞，-)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(-+)时， 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·B1· f'(x)>0,f(x)单调递增；… 5分 若a<0,则当x∈(-，-）时了(x)>0,fx)单调递增，当x∈(-寻，十)时， f'(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述，当a=0时，f(x)在R上单调递增： 当u>0时，fx)在(-∞，-一）上单调递减，在(-，+o)上单调递增： 当a<0时，f(x)在(-©，-）上单调递增，在(-。，+o∞)上单调递减. …7分 (2)由(1)可知，当>0时，fx)在(-∞，-。）上单调递减，在(-。，+∞)上单调递增， 当0<a≤1时，f(x)在[一1,0]上单调递增， …9分 所以f(x)m=f(-1)=一e4=-e,解得a=2； …11分 当u>1时，fx)在[-1，-门]上单调递减，在(-，0]上单调递增，…12分 所以fx)m=f(-）=-e1=-e,解得a=e<1,舍去. …14分 综上，a= …15分 18.解：(1)根据题意可得a十c=a十√a2+1=2十5，…2分 解得a=2. 3分 故双曲线C的方程为-y°=1. …4分 x=my一1， (2)(1)由x 得(m2-4)y2一2my-3=0,…6分 m2-4≠0， 所以 8分 △=47m2+12(m2-4)>0, 得m2>3且m2≠4， 所以m的取值范围为（一∞，一2）U(一2，一√3)U(w3,2)U(2,十o∞).…10分 (i)k1k2是定值.…11分 设A1y,B(y),所以y十=2 -3 n2-4'y1y2= m2-4 …12分 21十2k2= 因为P为双曲线C的左顶点，所以P(一2,0)，k,= 2+2…13分 yIy2 yiy2 yiy2 所以k:k:=(x1+2)x,+2)-(my1-1+2)(my2-1+2)myy2+my1+y2)+1 …14分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 B1· -3 m2-4 3 …16分 m2. -3 2m m2-4 十m· +1 m2-4 故：是定值，该定值为子 *4…】7 19.解：(1)因为函数f(x)=ae十a与g(x)=x-xe为“契合函数”， 所以存在，使得f)十g)=ae十a十。一，c=0,即a=c有解， e'o+1 …1分 令h(x)=C',则直线y=a与函数h(x)的图象有交点。 e+1 因为Ax)的定义域为R.h(一x)=二re十=二士xe=hc,所以A(r为偶函数 e+1 1十e …2分 e+1,所以h'(x)=色+2xe-1 因为h(x)=xe一x (e+1)2 令u(.x)=e2r十2xe一1，则u'(x)=2e(e十x十1).…3分 当x≥0时，e+x+1>0,e>0, 所以u'(x)>0,所以u(x)在[0，十o∞)上单调递增，所以u(.x)≥u(0)=e°一1=0. 因为h'(x)≥0，所以h(x)在[0，十0∞)上单调递增，…4分 又h(x)为偶函数，所以h(x)在（一∞，0]上单调递减，所以h(x)m=h(0)=0, 所以☑≥0，即a∈[0，十0∞).…5分 (2)因为f(x)=t-ln.x- 和g(x)= x为“契合函数”， 所以存在，使得f(x)十g(x)=。一n。一b+e =0, To x 所以6=e -十x。-lnx。在x0∈(0，十o)上有解， 即b+1=eomo+1+(x。-lnx十1)在x∈(0，十o∞)上有解. …7分 ①令1(x)=x-lnx+1,则t(x)=二 当x∈(0,1)时，t'(x)<0:当x∈(1，+∞)时，t'(x)>0. 所以t(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以t(x)m=t(1)=2,即t(x)∈ [2,十⊙○）.…9分 令t=x-lnx+1,则b十1=e-o1+(x。-lnx+1)=e+t. 令o(t)=e十t,t∈[2，十o∞)，则o'(t)=e+1>0,所以o(t)在[2，十o∞)上单调递增， 所以b十1=e+1最多只有一个解. 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 B1· 要使方程b+1=e。ot+(x。一lnx。十1)有两个不同的解， 则t=x一lnx十1有两个不同的解， 所以t>2,所以b十1>e2十2，故b∈(e2十1，十o∞).…11分 ②证明：设C=u>e因为x1,x2是关于x的方程1=x-nx十1的两个不同的解， 所以x1-nx1+1=x2-lnx2+1=ux1-nu-nx1+1, 得二lnu,x2=1,所以x1十x二nW u-1 13分 令Fau)=u+Dlnu(u>e,则F'(u=“ -2In u u-1 (u-1)2 令w(u)=u- -2nu,>1,则m'(u)=（u-1) 42>0, 所以ω(4)在(1，十0∞)上单调递增，ω()>w(1)=0.…15分 因为F'(u)>0,所以F(u)在(e,十o∞)上单调递增， 所以F(u)>F(e)=e+, ，e,即x,十x2一1成立···...。 …17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 B1·