精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

三明一中2024-2025学年下学期高二3月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 20 2. 对任意的，有，则函数的解析式可以为（ ） A. B. C D. 3. 已知机器中有7个娃娃，机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从，机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 45种 D. 56种 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 若，则以下不等式正确是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲､乙､丙､丁､戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B. 如果甲､乙必须相邻，则不同的排法有48种 C. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D. 五个人去三个城市游览，每人只能去一个城市，则有125种不同游览方法 11. 定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数极值点为，则实数__________. 13. 方程且的解为__________．（结果用数字作答） 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 已知定义在上的函数. （1）若，判断是否存在极小值点，并说明理由； （2）若存在两个零点，求的取值范围. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 18. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）当时，求的极值； （3）当时，若，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调减区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三明一中2024-2025学年下学期高二3月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A 9 B. 10 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的计算即可得解． 【详解】， 故选：D． 2. 对任意，有，则函数的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的计算及函数值逐项判断即可. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，，错误； 故选：B 3. 已知机器中有7个娃娃，机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从，机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 45种 D. 56种 【答案】D 【解析】 【分析】运用分步乘法计数原理计算得到总的不同情况数. 【详解】已知机器中有个娃娃，那么从机器中抓取个娃娃，就有种不同的情况.  已知机器中有个娃娃，那么从机器中抓取个娃娃，就有种不同的情况.  根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为（种）.  故选：D 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断； 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算公式逐级求导，发现周期现象后，即可得解. 【详解】,,,, 由此可知，正弦函数的导数是周期为4的循环函数. 故 . 故选：. 6. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知在上有解，整理可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得， 所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是. 故选：C． 7. 若，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数判断出最小，再依据函数单调性去比较的大小即可解决. 【详解】令，则， 由，得，由，得， 即当时单调递减，当时单调递增， 即当时取得最小值， 则有，，即，， 又， 综上的大小关系为. 故选：A 8. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对，，三种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】设，则对有，对有. 所以在上递增，在上递减，这表明，且等号成立当且仅当. ①当时，对有，故至多有一个零点，不满足条件； ②当时，取充分小的正数，使得，，； 再取充分大的正数，使得，，，则，且 ，，， . 从而根据零点存在定理，可知有个零点，满足条件； ③当时，由于当时，单调递减，故在的范围内至多有一个零点. 而当时，有，且若，则必有，即. 所以在的范围内至多有一个零点. 二者结合，可知至多有两个零点，不满足条件. 综合①②③，可知的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的运算法则逐一求解，即得答案. 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，选项B中缺少系数2，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，为常数，常数的导数为0，选项D错误. 故选：AC. 10. 甲､乙､丙､丁､戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B. 如果甲､乙必须相邻，则不同的排法有48种 C. 如果甲乙丙按从左到右顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D. 五个人去三个城市游览，每人只能去一个城市，则有125种不同游览方法 【答案】BC 【解析】 【分析】利用插空法求出A选项中结果，利用捆绑法求出B选项结果，利用由排列组合求出C选项结果，由分步计算原理求出D选项结果． 【详解】A．如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故A错误； B．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故B正确； C．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故C正确； D．五个人去三个城市游览，每人只能去一个城市，则有种不同游览方法，故D正确． 故选：BC． 11. 定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极值点为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数，利用极值条件求得的值. 【详解】，，得， 此时. 当时，在上单调递减； 时，，在上单调递增. 所以在处取得极小值，符合题意. 故答案为：. 13. 方程且的解为__________．（结果用数字作答） 【答案】2或4 【解析】 【分析】结合排列数与组合数运算即可得． 【详解】由题意，可知，则，所以或． 故答案为：2或4． 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为18，最小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导，确定单调性即可求解. 【小问1详解】 解：，所以， 所以切线的斜率， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即. 【小问2详解】 因为， 所以或， 0 + 0 - 0 + 单调递增 2 单调递减 单调递增 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 因为， 所以， 所以函数在区间上的最大值为18，最小值为. 16. 已知定义在上的函数. （1）若，判断是否存在极小值点，并说明理由； （2）若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）没有极小值点，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数说明函数的单调性，即可得解； （2）令，可得，依题意与在上恰有两个交点，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 依题意可得， ，故， 因为，所以恒成立， 所以在上单调递增，没有极小值点； 【小问2详解】 因为，， 令，可得， 所以与在上恰有两个交点， 设，，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，；当时，， 所以， 的取值范围是. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】（1）504 （2）360 （3）1140种 【解析】 【分析】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【小问1详解】 依题得，共有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 18. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）当时，求的极值； （3）当时，若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）极小值为，没有极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明满足，再得到结论； （2）利用导数确定的单调性，再得到相应极值； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到答案. 【小问1详解】 设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 当时，由 , 即知结论成立. 【小问2详解】 当时，有， 故对有， 对有. 从而在上递减，在上递增， 故有极小值，没有极大值. 【小问3详解】 ①若，则，不满足条件； ②若，则 ，满足条件. 综合①②两方面，即知的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调减区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解，即可得解； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的， 当；当， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立， 此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、. 【小问3详解】 ， 因为函数有两个零点，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$