精品解析： 浙江省台州市仙居县2024--2025学年上学期期末质量监测九年级数学试卷

仙居县2024学年第一学期教学质量监测试题卷 九年级数学 亲爱的考生：欢迎参加检测，请认真审题！答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分． 1. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念逐一进行分析即可得. 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底 B. 测量三角形的三个内角，其和等于 C. 随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 D. 对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据事件发生的可能性大小进行判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底是必然事件，此选项不符合题意； 、测量三角形的三个内角，其和等于是不可能事件，此选项不符合题意； 、随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量是随机事件，此选项符合题意； 、对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量是必然事件，此选项不符合题意； 故选：． 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——直接开平方法，根据直接开平方法进行解方程即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： ， ∴，， 故选：． 4. 如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴与不一定相等，符合题意； 故选：． 5. 小张从《山海经》、《昆虫记》、《艾青诗集》3本书中随机拿两本书，恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率、根据概率公式计算概率，根据题意画出树状图，找出恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：如图，画出树状图， ∴共有6种等可能的结果，其中恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的结果数为2种， ∴恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率． 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值大于0，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 7. 如图，菱形的顶点，，在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算及菱形的性质，连接和交于点，根据菱形及直角三角形的性质先求出的长及的度数，然后求出菱形及扇形的面积，则由得出答案即可． 【详解】解：如图，连接和交于点， ∵，菱形的顶点，，在上， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 8. 如图，，，三点在同一直线上，和都是等腰直角三角形，连接．把绕点逆时针旋转一个角度，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质；根据题意得出垂直平分，进而根据三线合一得出 【详解】解：如图所示， 当时，垂直平分， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是，则抛物线与轴的另一个交点是，当时，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴当时，， ∴， 故选：． 10. 如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 先变大后变小，最后不变 B. 先变小后变大，最后不变 C. 当时，先变小后变大，最后不变 D. 当时，先变大后变小，最后不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、勾股定理，利用二次函数的性质求解是解答的关键．设，，运动时间为t，速度为1，分点D在线段上和点D在射线上两种情况，结合勾股定理和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，，运动时间为t，速度为1， 当点D在线段上时，，此时，， 则， 当时，， ∴当时，随t的增大，先变小再变大， 即当时，随t的增大，先变小再变大； 当时，， ∴当时，随t的增大而增大， 即当时，随t的增大而增大； 当点D在射线上时，，此时，， ∴，即的值不变， 综上，选项C说法正确，符合题意，选项A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．在答题卷的相应位置直接填写答案．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为和， ∴， 故答案为：． 13. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键在于理解频率稳定性定理，分析实验数据的变化趋势，并据此做出合理的概率估计；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；据此判断即可. 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率大约是． 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，圆心角，是上的点，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，先根据已知求得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象及性质是解题关键．根据题意得抛物线顶点的纵坐标是1，则，根据抛物线的对称性得到，将点A坐标代入中可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线只有一个交点， ∴抛物线顶点的纵坐标是1， ∴， ∵抛物线过点，， ∴点A、B关于直线对称， ∴，则， ∴， 将代入中， 得， 故答案为：33． 16. 如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明，根据性质得，过作交于点，设与交于点，再证明，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过作交于点， ∴， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，满分72分，第17~21题每题8分，第 22~23题每题10分，第24题12分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （）将原方程整理为，利用因式分解法求解即可； （）将原方程整理为一般形式，然后利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 投掷两枚相同的质地均匀的骰子，骰子六个面上的点数分别为，，，，，．求两枚骰子朝上一面的点数之和为的倍数的概率． 【答案】两枚骰子朝上一面的点数之和为的倍数的概率． 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到点数之和为的倍数的结果数除以总的结果数即可得到答案，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中点数之和为的倍数的结果数有种， ∴两枚骰子朝上一面的点数之和为的倍数的概率． 19. 某药品经过两次连续降价后，其单价下降了，问：该药品平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】该药品平均每次降价的百分率是． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．设某药品原价为元，该药品平均每次降价的百分率是，根据题意列出一元二次方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设某药品原价为元，该药品平均每次降价的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该药品平均每次降价的百分率是． 20. 如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，． （1）求证：是的切线； （2）如图，若是的直径，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，然后由垂径定理推论得，又，则，从而求证； （）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，，则，即，故，从而有，然后由圆周角定理得，由直角三角形性质得性质，通过勾股定理求得，最后由平行线的性质和等角对等边即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行线的性质，等角对等边，直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 我们可以用新的观点理解和探究旋转及其性质．如图1，平面内的每一个点都绕着这个平面上的某一个固定点旋转相同的角度，这种平面的运动叫平面的旋转，点叫旋转中心，角度叫旋转角．一个点与其运动后的点叫对应点；平面上两点所确定的直线与其对应点所确定的直线叫对应直线；两点所连线段与其对应点所连线段叫对应线段；以一点为端点经过另一点的射线与其对应点所确定的射线叫对应射线；两条射线所成的角与其对应射线所成的角叫对应角．平面旋转的对应点有如下性质：对应点到旋转中心的距离相等，如图1中． （1）如图2，已知平面上的线段，用圆规和没有刻度的直尺在图上作出线段关于平面旋转后的对应线段（保留作图痕迹，不要求写作法），并依据对应点的性质证明对应线段． （2）如图3，若关于平面旋转后的对应角为，依据对应点和对应线段的性质证明．． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，理解题意、熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）使用尺规作图，作，根据题意“对应点到旋转中心的距离相等”，得出，，推出，利用证明，得出即可； （2）连接、，由和是对应角，得出点和点，点和点，点和点，是三组对应点，由（1）得对应线段相等，则，，，利用证明，得出即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求， ∵点和点，点和点，是两组对应点， ∴，， ∵旋转角度相同， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接、， ∵和是对应角， ∴点和点，点和点，点和点，是三组对应点， ∵由（1）得对应线段相等， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴． 22. 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 【答案】（1） （2）和 （3）16 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的左边特征，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入（1）中求得的解析式中，然后解方程即可求解； （3）先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入中，得， 即， 解得，， ∴这个函数不动点的坐标为和； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线, ∴当时，y有最小值， 当时，y有最大值5， ∴的最大值与最小值的差为． 23. 如图1，，是上点，连接，，分别过，两点作，的平行线，交于点，点，分别过，作的切线交于点，连接，． （1）求证：． （2）如果的半径为． ①若，，在同一直线上，求的长． ②如图2，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质、在同圆中圆心角和弦之间的关系、弧长公式、平行线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握知识点推理、数形结合是解题的关键． （1）根据圆的性质，得出，根据等边对等角得出，，根据“两直线平行，内错角相等”得出，，推出，结合三角形的内角和定理，推出，根据“在同圆中相等圆心角所对的弦相等”，即可得出； （2）①由（1）得，设，则，根据，，在同一直线上，则，得出方程，求解得出，根据弧长公式计算的长即可； ②延长、相交于点，连接，根据切线的性质，得出，，由（1）得，推出，，结合勾股定理计算，求出，推出四边形是梯形，推出，，得出，则代入输入计算，得出答案即可． 【小问1详解】 证明：∵分别过，两点作，的平行线，交于点，点，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得， 设， ∴， ∵，，在同一直线上， ∴， ， 解得：， ∴， ∵的半径为， ∴； ②如图，延长、相交于点，连接， ∵分别过，作的切线交于点， ∴，，， ∴， ∵，的半径为，由（1）得， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，四边形是梯形， ∵， ∴，， ∴， ∴． 24. 综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 【答案】任务：；任务：所用时间是；任务：篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 【解析】 【分析】任务：由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，再利用待定系数法求解析式即可； 任务：当时和时，求出的值即可； 任务：根据规律求出第次反弹到最高点的时间和第次反弹到最高点的时间即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次根式的运算，找规律，掌握函数的性质及应用是解题的关键． 【详解】解：任务：设下落高度为，反弹高度为， 由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系， 设， 当，；，时， ， 得， ∴函数解析式为； 任务：当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴所用时间是； 任务：由， 则反弹次， 最开始从最高点到落地的时间， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间， ∴篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙居县2024学年第一学期教学质量监测试题卷 九年级数学 亲爱的考生：欢迎参加检测，请认真审题！答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分． 1. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底 B. 测量三角形的三个内角，其和等于 C. 随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 D. 对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 小张从《山海经》、《昆虫记》、《艾青诗集》3本书中随机拿两本书，恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的顶点，，在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，三点在同一直线上，和都是等腰直角三角形，连接．把绕点逆时针旋转一个角度，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 10. 如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 先变大后变小，最后不变 B. 先变小后变大，最后不变 C. 当时，先变小后变大，最后不变 D. 当时，先变大后变小，最后不变 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．在答题卷的相应位置直接填写答案．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值为______． 13. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 14. 如图，在扇形中，圆心角，是上的点，，则的度数为________． 15. 抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于________． 16. 如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是______． 三、解答题（本题有8小题，满分72分，第17~21题每题8分，第 22~23题每题10分，第24题12分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 投掷两枚相同的质地均匀的骰子，骰子六个面上的点数分别为，，，，，．求两枚骰子朝上一面的点数之和为的倍数的概率． 19. 某药品经过两次连续降价后，其单价下降了，问：该药品平均每次降价的百分率是多少？ 20. 如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，． （1）求证：是的切线； （2）如图，若是的直径，，，求的长． 21. 我们可以用新的观点理解和探究旋转及其性质．如图1，平面内的每一个点都绕着这个平面上的某一个固定点旋转相同的角度，这种平面的运动叫平面的旋转，点叫旋转中心，角度叫旋转角．一个点与其运动后的点叫对应点；平面上两点所确定的直线与其对应点所确定的直线叫对应直线；两点所连线段与其对应点所连线段叫对应线段；以一点为端点经过另一点的射线与其对应点所确定的射线叫对应射线；两条射线所成的角与其对应射线所成的角叫对应角．平面旋转的对应点有如下性质：对应点到旋转中心的距离相等，如图1中． （1）如图2，已知平面上的线段，用圆规和没有刻度的直尺在图上作出线段关于平面旋转后的对应线段（保留作图痕迹，不要求写作法），并依据对应点的性质证明对应线段． （2）如图3，若关于平面旋转后的对应角为，依据对应点和对应线段的性质证明．． 22. 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 23. 如图1，，是上点，连接，，分别过，两点作，的平行线，交于点，点，分别过，作的切线交于点，连接，． （1）求证：． （2）如果的半径为． ①若，，在同一直线上，求的长． ②如图2，若，求阴影部分的面积． 24. 综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $