第18章 勾股定理（12大重难点题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

第18章 勾股定理（12大重难点题型） 题型一 用勾股定理解三角形 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在直角三角形中，若两条直角边长分别是和，则斜边长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，平分，交于点D， （1）的面积为 ； （2）若P，Q分别是，上的动点，则的最小值是 ． 题型二 勾股定理的证明方法 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）操作与探究 (1)图1是由有5个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号； (2)如图，如果设（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理． 题型三 利用勾股定理证明线段平方关系 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 2．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______； (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______； (3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律． 3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为2，3，则正方形A的面积是（    ） A． B． C．5 D．3 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形、然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…依此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑨的边长为（    ）． A． B． C．4 D．2 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为．如果 ，则阴影部分的面积为 ． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 ． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，于点D．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为 ． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 题型五 勾股定理与网格问题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）图，图均为正方形网格，每个小正方形的面积均为．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．请在下面的网格中按要求画图，使得每个图形的顶点均在格点上． (1)在图中，画一个边长为整数的矩形，面积等于，周长等于； (2)在图中，画一个有一个角是钝角的等腰三角形，且面积等于． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，方格中小正方形的边长为1， (1)请以为直角边作一个格点直角三角形； (2)求 的面积； 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．每个小方格的顶点叫格点． (1)求值：① ， (2)仅用无刻度直尺，作出的中线（注意标上字母），并保留作图痕迹． 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)画格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），使，，； (2)的面积为______． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在5×5的网格中，网格线的交点称作格点． (1)作出一个面积为10，顶点都在格点的正方形； (2)在的网格中，任意两个格点间不同长度的线段有 条． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）“在中，，，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积为______； (2)若中有两边的长分别为、，且的面积为3，运用构图法在图2的每个小正方形的边长为1的网格中画出一个符合题意的，此时它的第三条边长为______． 7．（2024八年级下·安徽·专题练习）已知在中，，，． (1)分别化简，的值． (2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知线段（A、B为格点），请在网格格点处取点C，使，． (1)请你在图中画出满足条件的； (2)请用没有刻度的直尺，画出边上的高． 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，作一个三个顶点都在格点上的，使，边上的高，并直接写出的长． 题型六 勾股定理与折叠问题 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为 ． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为 （注：） 7．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 题型七 已知两点坐标求两点距离 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数． （1）无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ； （2）当k变化时，原点到一次函数的图象的最大距离为 ． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是 ． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 题型八 勾股树（数）问题 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．5，3，4 C．4，6，7 D．7，1，7 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 题型九 以弦图为背景的计算题 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都在矩形的边上，则矩形的面积为（    ）    A．100 B．110 C．121 D．144 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．    3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为 ． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 题型十 用勾股定理构造图形解决问题 1．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长（    ）尺． A．10 B．8 C．10或2 D．8或2 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背 景 素 材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢” 操 作 步 骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 任务一 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 若想要风筝沿射线方向再上升12米，请问能否成功？ 3．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 4．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到厘米） 题型十一 勾股定理的应用 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 4．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图（1），一根长为的木棒斜靠在竖直的墙上，为，如果木棒的顶端A沿墙下滑，底端B向外移动，下滑后的木棒记为，则x与y满足的等式，即y关于x的函数解析式为，如图（2），小明利用画图软件画出了该函数图象， （1）请写出图象上点P的坐标（1， ）． （2）根据图象，当的周长大于的周长时，x的取值范围是 ． 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    7．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 8．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 9．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    10．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 11．（20-21八年级下·安徽·期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1．732，结果精确到1米）？ 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 题型十二 勾股定理逆定理及其应用 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知四个三角形分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和；    ②三个内角度数之比为； ③三边长分别为3，4，5；④三边长的比为．其中直角三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，四边形的顶点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)使三角形的三边长分别为，，（在图甲中画一个即可）； (2)使三角形为直角三角形，且面积为，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理（12大重难点题型） 题型一 用勾股定理解三角形 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在直角三角形中，若两条直角边长分别是和，则斜边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，已知直角三角形中，两条直角边长分别是和，利用勾股定理可得斜边的长为． 【详解】解：直角三角形中，两条直角边长分别是和， 则斜边长为． 故选：C ． 3．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，平分，交于点D， （1）的面积为 ； （2）若P，Q分别是，上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称—最短路线，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 过点D作于E，角平分线的性质得到，再利用面积公式进行计算即可． 过点C作于E，交于，过点作于，角平分线的性质得到，进而得到，此时的值最小，即为的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点D作于E， ，，， ， 平分，， 的面积， 故答案为：； 过点C作于E，交于，过点作于， 平分， ， ，此时的值最小，即为的长， ， ∴， 的最小值为 故答案为： 题型二 勾股定理的证明方法 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方式的应用： （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：大正方形的面积为，一个直角三角形的面积为，小正方形的面积为， ； （2）解：正方形面积为49，正方形的面积为25， ，， 一个直角三角形的面积为：， ， ， ． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 【答案】(1)验证见解析 (2)， (3) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，构造一元二次方程求解． （1）利用大正方形的面积的两种表达方式，列式计算即可求解； （2）由题意得，求得，，利用根与系数的关系构造一元二次方程，解方程即可求解； （3）作于点，在和中，利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴ ∴； （2）解：由题意得， ∴， ， ∴， ∴，是方程的两根， 解得， ∵， ∴，； （3）解：作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ∴ ． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）操作与探究 (1)图1是由有5个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号； (2)如图，如果设（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形）、勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了利用网格拼图与勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积的关系证明勾股定理是解答此题的关键． （1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图； （2）利用大正方形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理得到勾股定理． 【详解】（1）解：如图即为拼接成的大正方形； （2）解：大正方形的面积， 又因为大正方形的面积， 所以； 题型三 利用勾股定理证明线段平方关系 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 2．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______； (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______； (3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律． 【答案】(1)60，61 (2)， (3)，， 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、勾股树（数）问题、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将11代入第一个数即可； （2）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将代入第一个数即可； （3）根据勾股定理来验证即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2， 第二个数是，第三个数是． 故答案为60，61； （2）由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2， 第二个数是，第三个数是． 故答案为，； （3）由题意可得，， 勾股数的规律是，，． 【点睛】本题是规律性问题，考查了勾股数之间的关系和勾股定理，能够根据条件分析数字规律以及熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【知识点】全等三角形综合问题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的判定和性质、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为2，3，则正方形A的面积是（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由正方形的面积得，，，再由勾股定理得，即可得出结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵正方形，的面积分别为2，3， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积， 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形、然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…依此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑨的边长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律问题和勾股定理，并应用发现的规律解决问题． 【详解】根据题意：第一个正方形的边长为； 第二个正方形的边长为：cm； 第三个正方形的边长为：， …， 此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的， 所以第9个正方形的边长为， 故选C． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为．如果 ，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了正方形和直角三角形，熟练掌握勾股定理，正方形面积公式，是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据，得出，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：由正方形面积得：， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】64 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再由勾股定理得到，据此结合正方形面积公式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴阴影部分的面积之和为64， 故答案为：64． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，于点D．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为 ． 【答案】7 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ， 三个正方形的面积分别为， ， 在及中，由勾股定理可得： ，， ， ， 即最小的正方形面积为7， 故答案为：7． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 题型五 勾股定理与网格问题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）图，图均为正方形网格，每个小正方形的面积均为．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．请在下面的网格中按要求画图，使得每个图形的顶点均在格点上． (1)在图中，画一个边长为整数的矩形，面积等于，周长等于； (2)在图中，画一个有一个角是钝角的等腰三角形，且面积等于． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据长方形的面积、周长公式，画一个长和宽为和的长方形即可； （）根据勾股定理确定出三角形的腰长，再由钝角三角形的性质画出图形即可． 【详解】（1）设该长方形的长为，宽为，则，， 显然是关于的一元二次方程的两个根， 解方程得到，， 即，， ∴该矩形的长为，宽为，如图所示的矩形； （2）如图所示， ，， ， ∴即为所求． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，方格中小正方形的边长为1， (1)请以为直角边作一个格点直角三角形； (2)求 的面积； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据题意作出，可得，，，得出，推出，得出直角三角形即可； （2）根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）根据勾股定理知，，， 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．每个小方格的顶点叫格点． (1)求值：① ， (2)仅用无刻度直尺，作出的中线（注意标上字母），并保留作图痕迹． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积、无刻度直尺作图 【分析】本题考查勾股定理，网格中求三角形面积，中线作图等． （1）根据题意利用勾股定理即可求出的长，根据网格求边长，利用三角形面积公式即可求出的面积； （2）取线段和线段交点即为中心，利用矩形对角线平分性质即可找到中点，连接即可． 【详解】（1）解：∵边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：如图，取格点为，连接，即和交点即为边中点，连接，即为的中线， ． 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)画格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），使，，； (2)的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、勾股定理与无理数、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数，解题的关键是： （1）根据各边长度结合勾股定理画出图形即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在5×5的网格中，网格线的交点称作格点． (1)作出一个面积为10，顶点都在格点的正方形； (2)在的网格中，任意两个格点间不同长度的线段有 条． 【答案】(1)见解析 (2)19 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．关键是分类讨论，不重不漏． （1）正方形面积为10，边长为，格点三角形直角边长为1，3即可． （2）分类①水平或竖直位置任意两格点间的线段．②两格点间的线段作为直角三角形的斜边， 【详解】（1）解：如图，四个格点三角形直角边长为1，3，斜边，作为正方形的边长． （2）分类①水平或竖直位置任意两格点间的线段，2，3，4，5共5种． ②两格点间的线段作为直角三角形的斜边，直角边为：1，1；1，2；1，3；1，4；1，5；2，2；2，3；2，4；2，5；3，3；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5共15种．其中直角边3，4，斜边为5，为重复数据． 所以共有19种不同长度的线段． 故答案为：19． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）“在中，，，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积为______； (2)若中有两边的长分别为、，且的面积为3，运用构图法在图2的每个小正方形的边长为1的网格中画出一个符合题意的，此时它的第三条边长为______． 【答案】(1) (2)画图见解析， 【知识点】利用二次根式的性质化简、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积： （1）利用割补法求解即可； （2）根据题意，画出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 图中：，， 的面积为， 故即为所求， 第三条边， 故答案为：． 7．（2024八年级下·安徽·专题练习）已知在中，，，． (1)分别化简，的值． (2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长． （1）根据二次根式的化简方法进行化简； （2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中表示、的长． 【详解】（1）解：，； （2）解：如图所示：，，， ． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知线段（A、B为格点），请在网格格点处取点C，使，． (1)请你在图中画出满足条件的； (2)请用没有刻度的直尺，画出边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、勾股定理与网格问题、格点作图题 【分析】题目主要考查利用网格作图，勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键 （1）利用网格作图即可； （2）如图，取格点E，连接交于点D，根据长方形的性质及网格的特点即可判断． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）如图所示：即为所求． 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，作一个三个顶点都在格点上的，使，边上的高，并直接写出的长． 【答案】图见解析，或2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】题目主要考查利用网格作三角形及勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【详解】解：如图所示：，， 由图得：或2． 题型六 勾股定理与折叠问题 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力． 【详解】 解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理．利用勾股定理列出方程求解是解题关键．由勾股定理可求出．由折叠可知当是直角时，点E和F重合，且，，从而可求出．设，则．再根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：由折叠可知当是直角时，点E和F重合，如图， ∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． 设，则． ∵是直角， ∴，即， 解得：， ∴． 故选B． 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，时，是直角三角形，可得是等边三角形；如图所示，，是直角三角形，，；由等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在，，，，， ∴，， ∴， 如图所示，时，是直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或 ． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 【答案】或或2或6 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】由题意知，，则，由勾股定理得，，，由折叠的性质可知，，，由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当，在左侧时，，如图1，则，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得， ，进而可求；当，在右侧时，，如图2， 则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；当，在左侧，如图3，连接，作的延长线于，证明，则，，由勾股定理得，，可求，设，则，，由勾股定理得，，即，可求，进而可得的值；当，在右侧，重合，如图4，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1，        图1 ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当，在右侧时，，如图2，           图2 ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在左侧时，如图3，连接，作的延长线于，            图3 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在右侧，重合，如图4，           图4 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； 综上所述，的值为或或2或6； 故答案为：或或2或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为 ． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为 （注：） 【答案】 或 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，二次根式的混合运算； （1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理，即可求解； （2）分两种情况同理，当，时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）在中，，则， ； 故答案为：． （2）如图1，当时，由折叠可知． 设，由，得， 则， ， ， ． 如图2，当，，则， ， ． 故答案为：或． 7．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得，，，再分当点F靠近点C时，，当点F靠近点O时，则，两种情况利用勾股定理先求出的长，进而得到的长，设出的长，进而得到的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠的性质可得，，， 恰好是边的三等分点， ∴当点F靠近点C时，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 当点F靠近点O时，则， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或， 故答案为：或． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 【答案】的面积为96 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等．利用折叠的性质，得到 是解题的关键． 根据折叠的性质可知，利用三角形周长可求出的值，再根据勾股定理可求出与的长，进而求出三角形的面积即可． 【详解】解：由折叠可知， ， ，， ，即 又， ，， ． 答：的面积为96． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 【答案】操作一：（1）；（2）；操作二： 【知识点】三角形折叠中的角度问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理： 操作一：（1）由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式求解即可； （2）由折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理结合已知条件求解即可； 操作二：由勾股定理得，由折叠的性质可得，利用等面积法求出，进而求出，则． 【详解】解：操作一：（1）由折叠的性质可得， ∴的周长， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 操作二：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 已知两点坐标求两点距离 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 2．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数． （1）无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ； （2）当k变化时，原点到一次函数的图象的最大距离为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查一次函数图象和坐标的性质以及求点到直线的距离．正确找出一次函数过恒定点是解题关键．根据题意可知，一次函数图象过定点A，求出A的坐标，当原点到直线的距离为时，原点到直线的距离为最大，根据A的坐标求出即可． 【详解】解：（1）一次函数， 令，则， 一次函数图象过定点． 故答案为：， （2）∵一次函数图象过定点． ∴当垂直于直线时 此时原点到直线的距离最大 ∴ 为最大距离． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是 ． 【答案】/ 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理等知识，利用勾股定理解得的值是解题关键．首先根据题意可得，，然后利用勾股定理解得的值，进而可得，即可确定点的横坐标． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∵以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点， ∴， ∴， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 【答案】(1)或； (2)； (3)最小值为10． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离、通过对完全平方公式变形求值、数轴上两点之间的距离 【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和； （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【详解】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和， 故答案为或； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和， 故答案为：． （3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，    ∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴，， ∴ ， ∴代数式的最小值为10． 题型八 勾股树（数）问题 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．5，3，4 C．4，6，7 D．7，1，7 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键．根据勾股定理的逆定理和勾股数的概念求解即可． 【详解】解：A、，不属于勾股数，故本选项不符合题意； B、，属于勾股数，故本选项符合题意； C、，不属于勾股数，故本选项不符合题意； D、，不属于勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，熟知勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义进行逐一判断即可：如果三个正整数a、b、c满足，那么a、b、c这一组数叫做勾股数． 【详解】解：A、，2， 这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴这一组数不是勾股数，不符合题意； C、这一组数中的数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴这一组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2025 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故答案为：2025． 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【知识点】运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 题型九 以弦图为背景的计算题 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都在矩形的边上，则矩形的面积为（    ）    A．100 B．110 C．121 D．144 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，延长交于点O，延长交于点P，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点O，延长交于点P，    所以，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 因此，矩形的面积为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．    【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是14， ∴， ∴， ∵小正方形的面积是2， ∴直角三角形的面积为， 又∵直角三角形的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为 ． 【答案】3 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键． 根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， 解得、， 故较长的直角边为3， 故答案为3． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    【答案】9 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，得出，求出的值即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何背景，全等图形，结合图形求得等式是解题的关键． （1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积； 方法②：将阴影部分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．由此得到平方差公式； （2）用表示阴影部分面积，进而能验证平方差公式； （3）大正方形由四个全等的直角三角形的面积加上一个小正方形的面积，进而可以证明：． 【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3）证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 题型十 用勾股定理构造图形解决问题 1．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长（    ）尺． A．10 B．8 C．10或2 D．8或2 【答案】A 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿尺，则图中．    ， ， 又在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得，， 因为且， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，解一元二次方程，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背 景 素 材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢” 操 作 步 骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 任务一 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 若想要风筝沿射线方向再上升12米，请问能否成功？ 【答案】任务一：米；任务二：不能成功 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 任务一：过作交于，由勾股定理得求出即可求解； 任务二：设沿方向向前走了米，风筝沿射线方向再上升12米，由勾股定理得 ，可得判断此方程是否有实根即可求解； 能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：任务一： 如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故风筝离地面的垂直高度为米； 任务二： 不能成功，理由如下： 如图，设沿方向向前走了米，风筝沿射线方向再上升12米， ， ， ， ， ， ， 此方程无实根， 故风筝沿射线方向再上升12米，不能成功． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 4．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【答案】（1）①，；②； （2） 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解． ②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． （2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】和是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到厘米） 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用；设每只油桶底面的直径为，，得到，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】如图，设每只油桶底面的直径为，，则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，遮雨棚的高度起码要有． 题型十一 勾股定理的应用 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选A． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 3．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】2100 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 4．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图（1），一根长为的木棒斜靠在竖直的墙上，为，如果木棒的顶端A沿墙下滑，底端B向外移动，下滑后的木棒记为，则x与y满足的等式，即y关于x的函数解析式为，如图（2），小明利用画图软件画出了该函数图象， （1）请写出图象上点P的坐标（1， ）． （2）根据图象，当的周长大于的周长时，x的取值范围是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）当时，，即可求解； （2）由的周长的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 故点的坐标为， 故答案为：1； （2）由，得：， 由题意得：，， 则的周长，而的周长， 则当的周长的周长时， 即， 由（1）知，当时，，当时，， 则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、， 从图象看，当时，，即的周长大于的周长， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【答案】(1)对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； (2)拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）作于，求出的长即可解决问题． （2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间路程速度计算即可． 【详解】（1）解：作于，   ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【答案】尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得， 解得： 答：折断处离地面的高度是尺． 7．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 8．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．作于点，在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，米， ∴米， ∴米， 答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米． 9．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    【答案】储藏仓库到A站点的距离约为 【分析】根据题意得到，结合勾股定理得到，设，则代入求解即可得到答案； 【详解】两村到储藏仓库的直线距离相等， ∴， ，， ， 在和中， 由勾股定理得：，， ， 设，则， ， 解得：， 答：储藏仓库到站点的距离约为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是得到． 10．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【答案】(1) (2)此车超过的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 11．（20-21八年级下·安徽·期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1．732，结果精确到1米）？ 【答案】另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上 【分析】由∠ABD＝120°可求出，可证∠AED＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BE＝BD，从而求得BE的长度，在Rt△BDE中，根据姑姑定力，即可求得答案． 【详解】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°， ∴∠AED＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°， ∴BE＝BD＝200m， ∴DE＝＝200≈346（m）， 答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 【答案】小明骑车的平均速度为． 【分析】本题考查方位角，勾股定理的应用，正确画出图形，求得是解题的关键． 根据方位角正确画出图形，然后求得，即可由勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴小明的平均速度为， 答：小明骑车的平均速度为． 题型十二 勾股定理逆定理及其应用 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知四个三角形分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和；    ②三个内角度数之比为； ③三边长分别为3，4，5；④三边长的比为．其中直角三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关知识，掌握直角三角形的定义、勾股定理逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键；根据题干所给条件借助未知数，以及三角形内角和定理求出三角形各内角大小，或得出三角形三边满足的等量关系，借助勾股定理逆定理作出判断，即可解题． 【详解】解：①设， ， ， 故①正确； ②设， ， 则，，则， ，则，则，， 故②错误； ③， 该三角形是直角三角形： 故③正确； ④设较短边为，且三边长的比为，则其余两边为，， ， 该三角形是直角三角形． 故④正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 【答案】/52度 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 【详解】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2)边上的高为2 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，四边形的顶点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理逆定理以及利用网格求三角形面积等知识． （1）利用网格与勾股定理求出，，，再根据勾股定理逆定理证明：是直角三角形即可． （2）根据，利用网格求三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，，． ， ， 即是直角三角形． （2）． 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)点A到边的距离为2 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解； （2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：由题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）∵， ∴． 设点A到边的距离为h， ∴，即， ∴，即点A到边的距离为2． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)使三角形的三边长分别为，，（在图甲中画一个即可）； (2)使三角形为直角三角形，且面积为，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理和勾股定理 逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题． （1）利用勾股定理，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造直角边为和的直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∴，即为三边长分别为，，的直角三角形； （2）解：如图乙中，即为所求： ∵， ∴， ∴， 此时． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，再根据角的直角三角形性质求解即可； （2）设，表示出，由，根据勾股定理得到p与m的关系式，化简得：，解得：故，求出直线的表达为为，得出，由两点坐标公式可求，以及，则得出的值． 【详解】（1）解：连接， 点，点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 解得：（舍负）； （2）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或（舍）， ∴， 设，代入得， ， 解得：，， ， 当时，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，一次函数解析式的求解，一次函数与坐标轴的交点，已知两点求距离，角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$