18.1 勾股定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

18.1 勾股定理 主讲： 沪科版八年级数学下册 第18章 勾股定理 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. （重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点） 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等. 情景导入 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图). 很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解. 勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧： 观察图 18－1(1)，并填写： S1＝__________个单位面积； S2＝__________个单位面积； S3＝__________个单位面积. 9 9 18 在行距、列距都是 1 的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以直角三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形. 新知探究 观察图 18－1(2)，并填写： S1＝__________个单位面积； S2＝__________个单位面积； S3＝__________个单位面积. 9 16 25 图18－1(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：_______________________. a2＋b2＝c2 定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 知识归纳 证明：取 4 个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图（2）所示的边长为 a+b 的正方形EFGH. H G E F A1 B1 C1 D1 a a a a b b b b c c c c （2） 已知：如图（1），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 求证：a2 + b2 = c2. H G E F A1 B1 C1 D1 a a a a b b b b c c c c 从图中可见， A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c. 因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°， 而∠A1B1E=∠D1A1H， 因此∠B1A1E+∠D1A1H=90°， ∠D1A1B1=90°. 同理：∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90° 所以四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形. S正方形EFGH – 4S△ABC =S正方形A1B1C1D1, 即（a+b）2 – 4× ab=c2. 化简，得a2+b2=c2. 你还有其他的方法证明吗？ b b a a S=a2+b2 a c b a c b 小正方形的面积= (a-b)2 即c2=a2+b2. =c2-4× ab 13 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边用a,b表示,斜边用c表示,那么勾股定理可以表示为a2+b2=c2. 公式变形： 勾股定理 a b c 知识归纳 例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最多只能伸长到 10 m，消防车高 3 m.救人时云梯伸至最长，在完成从 9 m 高处救人后，还要从 12 m 高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？（精确到 0.1 m） 例题讲解 解：如图，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O. 则OB=9–3=6（m），OD=12–3=9（m）. 根据勾股定理，得AO2=AB2–OB2=102–62=64， 解得 AO=8（m） 例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最多只能伸长到 10 m，消防车高 3 m.救人时云梯伸至最长，在完成从 9 m 高处救人后，还要从 12 m 高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？（精确到 0.1 m） 设AC=x，则OC=8-x， 于是根据勾股定理，得 OC2+OD2=CD2， 即 （8-x）2+92=102， 解得 x≈3.6 答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近约3.6米. （1）若a∶b=1∶2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. 解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得 (2) 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 归纳 【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， 当BC为斜边时，如图， 4 3 A C B 4 3 C A B 图 图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 归纳 例2 已知：如图所示，在Rt△ABC中，两条直角边AC=5，BC=12. 求斜边上的高CD的长. 解 在 Rt△ABC 中， AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 169， AB ＝ ＝ 13 . 又∵ Rt△ABC 的面积 S△ABC ＝ AC·BC ＝ AB·CD， ∴ CD ＝ ＝ ＝ . 例题讲解 1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1) a ＝ 6，b ＝ 8，求c； ∵在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°， BC ＝ a ＝ 6，AC ＝ b ＝ 8， ∴ c ＝ AB ＝＝＝10. 课堂练习 (2) a ＝ 8，c ＝ 17，求b. ∵ 在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°， BC ＝ a ＝ 8，AB ＝ c ＝ 17， ∴ b ＝ AC ＝ ＝＝15. 2. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米?(精确到0.1 m) 由题意知：∠C ＝ 90°，AB ＝ 4m，AC ＝ 2m ∴BC ＝ ＝＝2 (m) ∴ AC ＋ BC ＝ 2 ＋ 2 ≈2 ＋ 2 × 1.732 ≈ 5.5(m) ∴ 地毯的长度至少需要约5.5m. 3.(1) 如图，长3 m的梯子斜靠着墙，梯子 底端离墙底 0.6 m，问梯子顶端离地面多少米? (精确到 0.1m) 有梯子长为3米，梯子底端距墙底为0.6米， 由所在直角三角形另一边 AC＝≈2.9 (m) (2) 题(1)中，若梯子的顶端自墙面下滑了 0.9 m，那么梯子 的底端沿地面向外滑动的距离是否也为 0.9 m? 说明理由. 梯子下滑后梯子顶端距地面为 2.9 － 0.9 ＝ 2米， 由所在直角三角形中梯子底端与墙距离为 ＝ (m)， 所以梯子的底端在水平方向上滑动为 － 0.6≠0.9。 则梯子的底端在水平方向向外滑动的距离不是0.9m. 4. 我国古代数学专著《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是说：有一个水面是边长为 10 尺的正方形水池，中央生长有一根芦苇，它露出水面部分高1尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直而顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长.(尺为当时的计量单位，1尺＝m) 设水池的深度为x尺，由题意得： x2＋52＝ (x＋1)2， 解得： x＝12， 则x＋1＝13. 答：水深12尺，芦苇长13尺 (第1题) 1.［知识初练］如图，在 中， ，， ，则 的长为( ) D A. B. C. D. 分层练习 基础题 【变式题】 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰： 勾股各自乘，并而开方除之，即弦”.即 为勾， 为股， 为弦)，若“勾”为3，“股”为5，则 “弦”是_____. 勾股定理 25 (第2题) 2.如图，在数轴上点 表示的数为2，过 点作，在上取点，使 ， 以原点为圆心， 长为半径作弧，交 数轴正半轴于点，则点 表示的数为 ( ) C A. B.2 C. D.5 26 (第3题) 3.[2024·济南月考] 如图，在 中， ，的平分线交 边于点 ，，，则 ___. 4 4.[2024·重庆模拟] 已知点，则点 到原点的距离是____. 10 27 5. 在中， . (1)若，，则 ____； (2)若，，则 ___； (3)若 ，，则 _____. 17 4 2 28 勾股定理的证明 6.如图，大正方形的面积是_________，另一种 方法计算大正方形的面积是_____________， 两种结果相等，推得的等式是_____________， 这个等式被称为__________. 勾股定理 29 7.下列不能用来证明勾股定理的是( ) D A. B. C. D. 30 图形的面积 (第8题) 8.如图，①②③是三个正方形，②的面 积为56，③的面积为28，则①的面积为 ( ) C A.28 B.56 C.84 D. 31 (变式题) 【变式题】 如图，以一个直角三角形的三 边为直径作3个半圆，若半圆形、半圆形 的面积分别是4、5，则半圆形 的面积是___. 1 32 勾股定理的应用 9.如图，将长为的梯子 斜靠在墙上，使其顶 端距离地面 ，则梯子底端距离墙底端的距离 为( ) A A. B. C. D. 33 10.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖放就比门 高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，则竹竿长为____尺. 10 34 11.［分类讨论思想］[2024·亳州期末] 若直角三角形的两边长 分别为和 ，则第三边长为( ) C A. B. C.或 D.或 综合应用题 35 12.如图，方格纸中小正方形的边长为1， 的三个顶点都在小正方形的顶点处， 则 边上的中线长为( ) A A. B. C.4 D.5 36 13.［方程思想］如图，在 中， ， ，分别以点 ,为圆心，大于 的长为半径作弧， 两弧交于点,，作直线，交 于 点，连接.若，则 的长为 ( ) A A.5 B.4 C.3 D.6 37 14.[2024·杭州月考] 如图，在中，，交 于点，， . (1)若，则___， ____； 8 15 (2)若，求 的长. 解：设，则 ， ， ， ， ， 解得. . 38 15.［推理能力］阅读材料：分析探索 题：细心观察图形(如图),认真分析各式,然后解答问题. , ； , ； , 创新拓展题 39 (1)请用含有( 为正整数)的等式表 示： _____； 2 (2)推算出 ______； 2 (3) 的值为_____. 220 40 【模型归纳】条件：已知 的三边长(如图). 方法：作，垂足为 .结论： . 16.［推理能力］[2024·赣州期中] 台风是一种 自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十 千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力， 此时某台风中心在海域处，在沿海城市 的正 南方向320千米处，其中心风力为13级，每远离台风中心25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千 米/时的速度沿北偏东 方向向 移动，且台风中心的风力 不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响. 42 (1)已知 城市会受到这次台风影响，试分析原因； 解：过点作于点 . 在中， ， 千米， 千米. 城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， 受台风影响范围的半径为 (千米). 千米 千米， 城市会受到这次台风影响． 43 (2)台风影响该城市的持续时间有多长？ 设台风中心移至点 处时，该城市开始受到台 风的影响，台风中心移至点 处时，该城市脱 离台风影响，则 千米， 台风影响该市持续的路程为 (千米)， 台风影响该市的持续时间为 (时)． 44 (3)该城市受到台风影响的最大风力为_____级. 45 【针对练习】 (第1题) 1.如图，在中， ， ，，则 的面积是____. 84 46 (第2题) 2.如图，在中，, , ，则 的面积为____. 24 47 数学天地 长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来.下面介绍一种有趣的方法，你能说出其中的道理吗? 取OA1＝1 ＝，作Rt△OA1A2，使OA1 ⊥ A1A2，A1A2 ＝ OA1 ＝ 1，则OA2 ＝ ，如图18－5； 图18－5 过点 A2，在 Rt△OA1A2外作 A2A3 ⊥ OA2，且取A2A3＝1，连接OA3，则 OA3＝； 如上继续下去，可以作出长度为任一正整数的算术平方根的线段. ······ 1.在△ABC中，∠C ＝90°，填空： (1) 如果AB＝10， BC∶AC＝3∶4，那么 BC ＝_______，AC ＝ ______； (2) 如果 AC ＝1， ∠B ＝ 30°，那么 AB ＝_______，BC ＝ _______； 6 8 2 习题 2. 已知：在△ABC中，AB ＝ AC ＝ 17，BC ＝ 16. 求 △ABC的高AD的长. 如图所示 ∵AB ＝ AC ＝ 17 ∴△ABC是等腰三角形 ∵AD是△ABC的高，BC ＝ 16. ∴BD ＝ CD ＝ BC ＝ × 16 ＝ 8 在Rt△ABD中， ∵∠ADB ＝ 90°，AB ＝ 17，BD ＝ 8 ∴AD ＝ ＝ ＝ 15 即△ABC的高AD的长为15. 3. 已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长. 设三边长分别为 x－1，x ，x＋1 由勾股定理可得 (x－1)2＋x2＝ (x＋1)2 解得 x1＝0 (舍去) ，x2＝4， ∴ 三边长分别为 3，4，5. 4. 求边长为 a 的等边三角形的面积. 作高线，由勾股定理可求高 h＝＝ a. ∴S＝a·h＝a·a＝a2 5. 如图，从电线杆上离地面 h ＝ 8 m 的点 A 处，向地面 拉一条长 l ＝ 12 m 的缆绳，这条缆绳拉直后在地面上 点 B 处固定，点 B 离电线杆底部点C 的距离是多少米? (精确到 0.1 m) 由题意得：AB ＝ 12m，AC ＝ 8m， ∠ACB ＝ 90° ∴ BC ＝ ＝ ＝ 4 ≈ 8.9 (m) ∴B点离电线杆底部点C的距离是8.9m. 6. 如图，要修一个塑料蔬菜大棚，棚宽 b ＝3 m，高 h ＝1.5 m，长l＝10 m.求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜 需要多少平方米?(精确到 0.1 m2) 根据勾股定理，得直角三角形的斜边为 ＝ (m)， 再根据长方形的面积公式，得： × 10 ≈ 33.5 (m2) 答：覆盖在顶上的长方形塑料薄膜约需33.5平方米. 7. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有A处需要爆破.已知点 A 与公路上的停靠站 B，C 的距离分别为400 m和300 m，且AC⊥AB. 为了安全起见，如果爆破点A 周围半径 250 m 的区域内不能有车辆和行人，问 在进行爆破时，公路 BC 段是否需要暂 时封闭?为什么? 过A作AD⊥BC于D， ∵AC⊥AB， ∴AB2＋AC2 ＝ BC2， ∵AB ＝400m，AC＝300m， ∴BC2 ＝ ＝ ＝ 500m ∵S△ABC ＝ AB·AC ＝ BC·AD ∴AD ＝ 240m， ∵240m ＜ 250m， ∴有危险，因此BC段公路需要暂时封闭. 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 课堂小结 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 Lavf54.6.100 $$