18.2 勾股定理的逆定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

18.2 勾股定理的逆定理 主讲： 沪科版八年级数学下册 第18章 勾股定理 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点） 学习目标 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 情景导入 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对的角为直角. 特别说明： 知识归纳 例题讲解 例题讲解 1 2 例3 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 勾股定理的逆定理的应用 例题讲解 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5=24 12×1.5=18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航向所成角. 勾股定理逆定理 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 归纳 【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD. 解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三 角形面积公式有 BC·AB= AC·BD， 即6×8=10BD，解得BD= 在Rt△BCD中， 又∵该船只的速度为12.8海里/时， 6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）， ∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 东 北 P A B C Q D 例4 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 图 例题讲解 在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. ∴这个零件符合要求. 解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角. D A B C 4 3 5 13 12 图 课堂练习 知识点1 勾股定理的逆定理 1.若三角形的三边长分别为，， ，且满足 ，则这个三角形的形状是 ( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 分层练习 基础题 17 2.[2024成都期末] 当满足下列条件时， 不是直角三角形的是( ) C A. B. C. D.，， 18 【点拨】A.， ， . . 是直角三角形.故A不符合题意. B. ， 设，则， . ， ， 19 . 是直角三角形.故B不符合题意. C.， ， . 不是直角三角形.故C符合题意. D.， ， . 是直角三角形.故D不符合题意. 应用 勾股定理及其逆定理在几何中的应用 3.在中，，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 21 4.[2024台州校考期中] 在如图所示的 的正方形网格中，点和点均为 图中格点.点也在格点上，若为以 为斜边的直角三角形.则这样的 点 有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22 5.[2024南京玄武区校级模拟] 对于平面直角坐标系内的任意 两点， ，定义它们之间的一种“距离”为 .已知不同的三点，， 满足 ，则下列四个结论中，不正确的是( ) A A.，， 三点可能构成锐角三角形 B.，， 三点可能构成直角三角形 C.，， 三点可能构成钝角三角形 D.，， 三点可能构成等腰三角形 23 【点拨】不妨设，，，则 ， ， ， 由，可知 ， 即 . 当，时，成立，此时 为直角三角形，故B正确； 当，时， 为等腰三角形，故D正确； 当 时，无解，故A不正确； 当时，为钝角，且 成立，故C正确. 24 6.[2024厦门思明区月考] 一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形 最长边上的中线为___. 7.[2024北京期末] 如图所示的网格是正方形网格，则 ____ . （点，， 是网格线的交点） 45 25 8.（生活情境题）图①是儿童玩具超市购物车，图②为其侧面简化示意图，测得 支架， ，两轮中心的距离，则点到 的距离 为________. 【点拨】过点作于点 ， 则的长即为点到 的距离. 在中， ， ， ， 易知 . 为直角三角形，且 . ， ，即 . ， 即点 到的距离为 . 26 知识点2 勾股数 9.在下列四组数中，属于勾股数的是( ) B A.，， B.9，40，41 C.2，3，4 D.1，， 27 10.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出 勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数，，，其中 ，均小于 ，，，是大于1的奇数，则 ___ （用含 的式子表示）. 综合应用题 【点拨】，，是勾股数，其中，均小于 ， ， ， . 是大于1的奇数， . 28 易错点 点在线段上的位置不确定 11.在中，，，是 边所在直线上的点，，， 则 _______. 25或7 【点拨】如图①所示，当点在线段 上时， ，，， . 是直角三角形，且 . . . . 29 如图②所示，当点在 的延长线上时， 同理可得， ， . ， 点不在 的延长线上. 综上所述， 的长度为25或7. 12.如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ， . （1）求证： 是直角三角形； 【证明】在中， ， ， ， . 在中，，， ， . 是直角三角形. 31 （2）求四边形 的面积. 【解】在中， ， ， ， . 的面积为 . 又的面积为 ， 四边形的面积为 . 32 13.[2024成都校级月考] 如图，点是正方形 内一点，点到点，和的距离分 别为1,和. 是等腰直角三角形，连接，延长与相交于点 . （1）求证： ； 【证明】 是等腰直角三角形， , . 四边形 是正方形， ， . . 又， ， . . 33 （2）求 的大小. 【解】由题意，得, ， . 是等腰直角三角形，， . . 在 中， ， , 是直角三角形,且 . . 34 14.[2024南通海门区期末] 我们把满足 的三个正整数，称为勾股数. （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①___，8，10；，____，13； ，15，____； 6 12 17 （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数， 如果将它写成 ，那么另外两个数可以写成，，如 ， ，.请你帮小敏证明这三个数， ， 是勾股数组； 创新拓展题 35 【证明】， ， . ，， 是勾股数组. （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求 的值. 【解】21，72，75约去公因数，得7，24，25， ，， ， ， . 36 15.[2024温州校级月考] 如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了 是完全固定的钢架外，，， 属于位置可变的定长钢架.如图①所示， ，，，伸缩杆 的两端分别固定在 ，两边上，其中， . 当伸缩杆打开最大时，如图②所示，成 ，此时， 则可变定长钢架的长度为___ .当伸缩杆完全收拢时，，则此时 床高（与 之间的距离）为____ . 8 12 37 【点拨】 ， ， . ， ， ， . ，即 . 成 ， 是直角三角形. 由勾股定理，得 . . 当伸缩杆完全收拢时，，过点作 于，过点作于 ， 则易得 ， . . 由勾股定理，得 ， ， . . 38 习题 3．已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，求四边形 ABCD 的面积． 解：如图，连接 AC． 在 Rt△ABC 中，AC = = 5， ∴ CD2 + AC2 = 144 + 25 = 169 = AD2， ∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD = 90°． 则 S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB•BC + AC• CD = ×3×4 + ×5×12 = 36． 4．已知：在△ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 边上的中线 AD = 12 cm．求证：AB = AC． 证明：∵ BC = 10 cm，点 D 为 BC 的中点， ∴ BD = CD = BC = 5 cm． 在△ABD 中，BD2 + AD2 = 25 + 144 = 169 = AB2， ∴△ABD 为直角三角形，且∠ADB = 90°． ∴ AD⊥BC，即 AD 垂直平分线段 BC． ∴ AB = AC． 5．已知：如图，在△ABC 中，AB = 2 ，AC = 2，高 AD = ．求证：∠BAC = 90°． 证明：∵ AD⊥BC， ∴∠ADC =∠ADB = 90°． ∴ CD = = 1，BD = = 3. ∴ BC = CD + BD = 4． 则有 AB2 + AC2 = 12 + 4 = 16 = BC2， ∴△ABC 是直角三角形，其中∠BAC = 90°. 解：∵ a∶b∶c = 9∶15∶12， ∴ 可设 a = 9k，b = 15k，c = 12k（k＞0）． ∴ a2 + c2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = b2， ∴ △ABC 是直角三角形． 6．在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b，若 a∶b∶c = 9∶15∶12．试判断△ABC 是不是直角三角形． 7．已知：AD 为△ABC 的高．求证：AB2 – AC2 = BD2 – CD2． 证明：如图，∵ AD 为△ABC 的高， ∴∠ADB =∠ADC = 90°． 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AB2 = AD2 + BD2，AC2 = AD2 + CD2， 将两式相减，得 AB2 – AC2 = BD2 – CD2． 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是 否是直角形三角形. 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 课堂小结 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$