数学（江西卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（江西卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   1．【答案】C 【分析】根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方相应运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．非同类项，不能合并，故A错误，不符题意； B．正确，符合题意； C．，错误，不符题意； D．，错误，不符题意． 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法、除法，积的乘方. 3．如图，这是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．【答案】B 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上往下看，有两行，上面一行有3个小正方形，下面一行有2个小正方形，且从左往右数有3列，依次为2个，2个，1个， 如图： 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟练掌握从上面看得到的图形是俯视图． 4．如图，在△ABC中，为的平分线，于点E，，，则△ABC的面积为（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 4．【答案】C 【分析】如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质． 5．如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【分析】由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：等边三角形的边长为7， ，， ， ， 又，且， ， ， ，即， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 6．已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 6．【答案】D 【分析】根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：根据图表先找到二次函数的对称轴为，即，由图表的数据和二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以可得，易得，故选项A错误，不符合题意； 由表格可知当时，，由二次函数图象的对称性可知当时，，所以的解集是，故选项B错误，不符合题意； 由表格和图象的性质可知当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以；因为，所以，同理易得，则在该函数图像上，故选项C错误，不符合题意； 当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值，所以，即必有，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式： ． 7．【答案】 【分析】综合提公因式法与公式法分解因式即可． 【详解】解：解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 8． “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 8．【答案】 【分析】左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握其一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键． 9． 流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意正确列出一元二次方程即可． 【详解】解：有两人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中有个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 根据题意列方程得：， 整理得：， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10． 设，是方程的两个根，且，则 ． 10．【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求得，然后整体代入得到一元二次方程求解，最后运用根的判别式判断即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，即，解得：或， 当时，原方程可化为：，，则方程有两个不相等的实数根，符合题意； 当时，原方程可化为：，，则方程没有实数根，不符合题意． 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、解一元二次方程、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的相关知识成为解题的关键． 11．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 11．【答案】14 【分析】由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵直线垂直平分， ∴A，B关于直线对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置． 12．如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处．与轴相交于点，，点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，使以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标为 ． 12．【答案】或 【分析】先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵A，D，P，F为顶点的四边形是菱形， ∵， ∴， 当运动到，作边时，    ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：． （2）解不等式组：． 13．（1） 【分析】（1）利用乘方、负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值计算即可． 【详解】解：． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关知识法则是解题的关键． （2） 【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上或者根据口诀确定其公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 14．如图，于点E，于点F，且．求证：点D在的平分线上． 14．【分析】证明，可得，根据角平分线的判定定理，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ，， ∴点D在的平分线上． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定以及角平分线的判定定理是解题的关键． 15．请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务： 先化简，再求值：，其中：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ………………………………第五步 当时，原式． (1)任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________； (2)任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； 15．(1)五；分式的基本性质 (2), 【分析】（1）根据分式的基本性质进行分析即可； （2）先去括号，再化简即可； 【详解】解：（1）第五步为约分，其变形依据是分式的基本性质， （2）原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算及零指数幂，应充分掌握相关的法则，特别要注意运算的顺序，在分式的化简求值中约分的时候要把分子分母因式分解． 16．如图，内接于⊙O，，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个的顶点在上且角度为的圆周角； (2)在图2中的上找一点，作过点的直线平行AC． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作直径可得平分，即，在根据同弧所对圆周角相等即可作图； （2）作直径，，作直线MN，可得四边形是平行四边形，故. 【详解】解：（1）如图所示，∠CPD即为所求； （2）如图所示，MN即为所求． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角、垂径定理． 17．现有4张卡片，正面写有不同变化，它们除此之外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)从中随机抽取一张，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是________； (2)从中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率． 17．(1) (2) 【分析】（1）共有4种可能出现的结果，其中是化学变化有“酒精燃烧”和“牛奶变酸”两种，即可求出概率； （2）用列表法列举出所有可能出现的结果，共有12种等可能的结果，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是化学变化有“酒精燃烧”和“牛奶变酸”两种， ∴从中随机抽取一张，这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是， 故答案为：； （2）设卡片代表“冰化成水”，卡片代表“酒精燃烧”，卡片代表“铁棒成针”，卡片代表“牛奶变酸”．由题意列表如下： 所有等可能的情况共有12种，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的情况有，两种， ∴两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 18．(1)，，40； (2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析； (3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【分析】（1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值； （2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【详解】解：（1）∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴； ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴， ， ∴， 故答案为：，，40； （2）∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高； （3）（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【点睛】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体． 19．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 19．(1)调整，使得 (2) 【分析】（1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 20．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出时的取值范围； (3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标． 20．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由 的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，； （2）根据反比例函数的中心对称性求得B点的坐标再根据图象即可求解； （3）分两种情况，根据“和谐点”的定义列方程解题即可． 【详解】解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， （2）∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， ；观察图象，时，的取值范围是：或 ； （3）设，则， 如图1， 当在点的下方时，则， 解得， ， ， 如图2， 当在点的上方时，，则， 解得 ， ， ， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，△ABC内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，则可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，则半径，再由弧长公式求解． 【详解】解：（1）证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键． 22．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 22．(1) (2)的最大面积为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）由待定系数法求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线，交于Q，设，则，则， ，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点M作于点N，证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，再由，解答即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点P作y轴的平行线，交于Q， 设，则，则， ∴ ， 即当时，的面积最大，最大为， 即的最大面积为，此时点P的坐标为； （3）如图，连接，过点M作于点N， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于△ABC的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究]（2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______． [结论运用]（3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值． [迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________． 23．（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （2）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （3）过点作，垂足为，根据矩形的性质可得，，，，推得，根据折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理求得，推得，根据矩形的判定和性质可得，由问题情景中的结论即可求得：． （4）延长，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，根据等角对等边可得，由问题情景中的结论可得：，设，则，根据勾股定理可得，即可求得，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，，根据三角形的周长公式即可求得与的周长之和． 【详解】证明：（1） 小明的证明： 连接，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图，    ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2） 小明的证明： 连接，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图，    ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （3）过点作，垂足为，如图，    ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， 由折叠有，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由问题情景中的结论可得：， ∴． ∴的值为． （4）延长，交于点，过点作，垂足为，如图⑤，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由问题情景中的结论可得：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：∴， ∴， ∴， ∴， ∵，、分别为，的中点， ∴，， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（江西卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，为的平分线，于点E，，，则△ABC的面积为（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 5．如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式： ． 8．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 9．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 10．设，是方程的两个根，且，则 ． 11．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处．与轴相交于点，，点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，使以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：； （2）解不等式组：． 14．如图，于点E，于点F，且．求证：点D在的平分线上． 15．请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务： 先化简，再求值：，其中：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ………………………………第五步 当时，原式． (1)任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________； (2)任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； 16．如图，内接于⊙O，，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个的顶点在上且角度为的圆周角； (2)在图2中的上找一点，作过点的直线平行AC． 17．现有4张卡片，正面写有不同变化，它们除此之外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)从中随机抽取一张，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是________； (2)从中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 19．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 20．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出时的取值范围； (3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，△ABC内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 六、解答题（本大题共12分） 23．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于△ABC的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究]（2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______． [结论运用]（3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值． [迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第二次模拟考试（江西卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 选择题(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. _________________ 8 ． ___________________ 9. __________________ 10 ． __________________ 11. ___________________ 12. _______________ ____ 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. ) 非选择题（请用黑色签字笔答题） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 14． 15. （1） ； （2） 16. 17. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. (1)填空： ______， ______， ______； 19.    ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 22. ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 六 、解答题（本大题共 12 分） 23. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第二次模拟考试（江西卷） 数学·答题卡 选择题(请用 2B 铅笔填涂) 非选择题（请用黑色签字笔答题） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 7._________________ 8．___________________ 9.__________________ 10．__________________ 11.___________________ 12. ___________________ 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13. 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 14． 15. （1） ； （2） 16. 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18. (1)填空：a ______，b  ______，m  ______； 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 六、解答题（本大题共 12 分） 23. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第二次模拟考试（江西卷） 数学·参考答案 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1 2 3 4 5 6 C B B C D D 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7． 8． 9． 10． 11．14 12．或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）解： （2分） ． （3分） （2）解：， 解不等式①，得， （4分） 解不等式②，得，（5分） ∴该不等式组的解集为．（6分） 14．证明：∵，， ∴，（1分） 又∵，， ∴(AAS)，（3分） ∴，（4分） ，， ∴点D在的平分线上．（6分） 15.解：解：（1）第五步为约分，其变形依据是分式的基本性质，（2分） （2）原式 ．（4分） 当时，原式．（6分） 16.解： （1）如图所示，∠CPD即为所求；（3分） （2）如图所示，MN即为所求．（6分） 解：（1）；（2分） （2）设卡片代表“冰化成水”，卡片代表“酒精燃烧”，卡片代表“铁棒成针”，卡片代表“牛奶变酸”．由题意列表如下： （4分） 所有等可能的情况共有12种，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的情况有，两种， ∴两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率．（6分） （用树状图解答可参照给分） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．解：（1），，40； （3分） （2）∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高；（5分） （3）（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．（8分） 19.(解：（1）过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得．（4分） （2）如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为．（8分） 20.解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ，，， ∴反比例函数的表达式为，（2分） （2）或 ；（4分） （3）点的坐标为或．（8分） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.解：（1）证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线；（4分） （2）如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为．（9分） 22.解：（1）∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为；（3分） （2）设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点P作y轴的平行线，交于Q， 设，则，则， ∴ ， 即当时，的面积最大，最大为， 即的最大面积为，此时点P的坐标为；（6分） （3）如图，连接，过点M作于点N， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为．（9分） 23.证明：（1） 小明的证明： 连接，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图，    ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．（4分） （2） （6分） （3）过点作，垂足为，如图，    ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， 由折叠有，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由问题情景中的结论可得：， ∴． ∴的值为．（10分） （4）．（12分） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（江西卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，为的平分线，于点E，，，则△ABC的面积为（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 5．如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式： ． 8．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 9．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 10．设，是方程的两个根，且，则 ． 11．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处．与轴相交于点，，点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，使以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：； （2）解不等式组：． 14．如图，于点E，于点F，且．求证：点D在的平分线上． 15．请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务： 先化简，再求值：，其中：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ………………………………第五步 当时，原式． (1)任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________； (2)任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； 16．如图，内接于⊙O，，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个的顶点在上且角度为的圆周角； (2)在图2中的上找一点，作过点的直线平行AC． 17．现有4张卡片，正面写有不同变化，它们除此之外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)从中随机抽取一张，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是________； (2)从中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 19．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 20．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出时的取值范围； (3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，△ABC内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 六、解答题（本大题共12分） 23．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于△ABC的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究]（2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______． [结论运用]（3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值． [迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$