专题03 平行四边形期中复习（17大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（内蒙古专用）

专题03 平行四边形 平行四边形的性质 1.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．平行四边形的对角线互相平分 2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）在平行四边形中，比大，则____ ． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．    4.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平行四边形中，平分，，则平行四边形的周长是 ． 6.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；再分别以点、点圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝ ．    8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 9.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，已知是的对角线交点，且，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 10.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D． 12.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则 ． 13.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，，，则平行四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 14.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为 ． 15.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，在中，点E，F分别在边，上．将沿折叠，点A恰好落在边上的点G处．若，，，则长度为（    ） A． B．7 C．6 D． 16.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF. （1）求证：AE＝CF； （2）求证：AE∥CF. 18.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在平行四边形中，平分，已知，，．    (1)求证：； (2)求△ADE的面积． 两条平行线之间的距离 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图： AB//CD，AD//BC，，，的面积为6，则四边形ABCD的面积为 ． 平行四边形的判定 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）由下列条件，可以唯一确定一个平行四边形的是（    ） A．两条邻边长 B．两条对角线长 C．一边长及另一边上的高 D．两条对角线长及一边长 4.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只需要填一个正确的即可）． 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在四边形中，，，垂足分别为，，且，，求证：四边形为平行四边形． 6.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若与交于点O，求证：． 三角形的中位线 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在中，点分别是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．6 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，D、E、F、G分别为、、、的中点，，若，，，则四边形的周长 ．    3.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在△ABC中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 4.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在△ABC中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    5.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数是 ． 6.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， ∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=62°，则∠BEF的度数为 ． 7.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（      ） A．OB=OC B．DEAB C．DB=DE D．= 8.（23-24内蒙古通辽八上期中）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在△ABC中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 平行四边形性质和判定的综合 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）在四边形ABCD中，AD=BC，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD于点F，交BA的延长线于点G，且OE=OF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠D=63°，∠G=42°，求∠GEC的度数． 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图, 在四边形ABCD中，∠ADB=90°，AD=12，DO=OB=5，AC=26， (1)求BC的长； (2)求四边形ABCD的面积． 3.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的周长． 4.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在平行四边形中，点，分别是，上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 6.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期中）如图，四边形的两条对角线相交于点O，E是DC边上一点，连接并延长交于点F．若，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，△AOB的周长为9，求的长． 矩形的性质 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 2.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．    3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，矩形中，对角线、交于点，若，，则长为（    ） A． B．4 C．3 D．5 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，矩形的对角线、相交点，、分别为、的中点．若，，则的长是 ． 6.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图， 在矩形中，P，Q分别是，上的点， E， F分别是，的中点．，， 则线段的长为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．5 7.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是 ． 8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，矩形中，，，点P从B点沿向D点移动，若过点P作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为 ． 9.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为6和8，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（    ） A． B． C． D．不确定 10.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 11.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，是矩形的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线交于点M，交于点N，若，，则线段的长为 ． 12.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在边上，落点记为F，过点F作交于点G，连接．若，，则四边形的面积是（    ） A． B． C．20 D．10 13.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 ． 14.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于，交于，点是的中点，且，则下列结论：；；四边形为菱形；．其中正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 矩形性质的推论 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 矩形的判定 1.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）下列命题正确的是（　　） A．形如的式子叫做二次根式 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．在直角三角形中，三边满足的关系是 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 4.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）已知的对角线，相交于点O，是等边三角形，，则的面积等于 ． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）已知：如图，在平行四边形中，，，，将沿所在直线翻折，使点落在点上，如果交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）已知：如图，在△ABC中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接 (1)求证：是的中点 (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论 8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，EO=FO，DF∥BE． ⑴求证：△BOE≌△DOF； ⑵若AC=2OD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？ 请证明你的结论． 9.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在平行四边形中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若是的角平分线，请判断四边形的形状，并说明理由． 矩形性质和判定的综合 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在中，对角线交于点O，． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若，，作的平分线交于点E，求的长． 2.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）在△ABC中，，是中点，过点作，使． (1)求证：四边形是矩形； (2)取中点，作，交于点，若，，求的长． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）综合与实践： 问题情境：数学课上，小王和小东两位同学利用三角板操作探究图形． 操作探究1：小王将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为 ．（写出具体解答过程） 操作探究2：小东将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小东同学求出此对点、之间的距离； 操作探究3：随后，小王将图②中的换成了含角的三角板，同样是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，你能求出此时点，之间的距离吗？ 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．    菱形的性质 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图：已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是 ． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为 ． 3.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A．24 B．16 C． D． 4.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于 ． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在菱形中，M，N分别在，且，与交于点O，，则∠OBC的度数为（　　） A． B． C． D． 6.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH ． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为 cm． 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，，，点是轴正半轴上一点，是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 10.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（    ） A．25° B．30° C．35° D．40° 11.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 12.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在菱形中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为 13.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ． 14.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ． 15.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，菱形中，对角线，，M，N分别是，上的动点，P是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 16.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2（图中大正方形边长为5），图3（图中小正方形边长为1）所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ． 17.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 菱形的判定 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）能说明四边形是菱形条件是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相平分且一组邻边相等 D．对角线互相垂直 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是( ) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 菱形性质和判定的综合 1.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长是 ．      2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 3.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若 ，求四边形的面积． 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6． （1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ABC的角平分线交AC于点D． ②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF． （2）推理计算：四边形BFDE的面积为　 　． 正方形的性质 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则的度数是（    ） A． B． C．40 D． 3.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB的大小为 ． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上，，连接与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为 ． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 7.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在正方形中，，点E、F分别在，上，连接、，若，则最小值为 ．    8.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E，F分别为垂足，连结，，则下列命题：①若，则；②若，则;③若正方形边长为4，则的最小值为2，其中正确的命题是(   )    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，点E在正方形外，连接、、， 过点A作的垂线交于点 F．若 ，则下列结论： ①； ②； ③点B到直线的距离为； ④ 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 10.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则直角三角形的边与之比是 ． 11.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG,则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③；④BC+FG=．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 12.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 13.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，正方形中，均为中点，则下列结论中：．其中正确的是 ． 14.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论： ①，②，③④，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 15.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过O点的射线分别交，AC于点E，F，且，，交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形是正方形．G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：． 17.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）四边形ABCD是正方形，点E为BC反向延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F，求证：AE=EF． 18.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 19.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）在正方形中，点P在对角上，点E，F分别在边，上，． （1）特例发现：如图1，当点P在对角，的交点处时．求证：． （2）探究证明：如图2，当点P不在对角，的交点处时．判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展运用：若，连接，请直接写出的面积． 20.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB． (1)求证：PE＝PD； (2)求∠PED的度数． 21.（23-24内蒙古通辽八上期中）同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题：如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 22.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值． 正方形的判定 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB= °时，四边形AECF是正方形． 正方形性质和判定综合 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． (1)求证：四边形是正方形； (2)若E是上一点，且，写出的度数． 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接．过点E作 交边于点 F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)当点 E从A点运动到C点时， ①是否为定值？如果是，请求出的度数，如果不是定值，请说明理由； ②若正方形的边长为6，，求正方形的边长． 中点四边形 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）任意四边形的中点四边形是（    ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（    ） A．12 B．7 C．6 D．3 4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，分别是的中点，且，下列结论；①；②四边形是矩形；③平分；④；⑤四边形的周长等于，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形中，点E、F、G、H分别为的中点， (1)求证：中点四边形是平行四边形； (2)如图2，点P是四边形内一点，且满足，点E、F、G、H分别为的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）综合与探究：如图1，四边形中，分别是的中点，顺次连接． （图1）                               （备用图） (1)如图1，在四边形内一点，使，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 平行四边形和特殊平行四边形综合 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期中）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）下列命题： ①平行四边形的对边相等； ②对角线相等的四边形是矩形； ③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中真命题的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（23-24内蒙古通辽八上期中）下列命题是假命题的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）下列命题中，正确的命题的是（    ） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四个角相等的菱形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 6.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）下列命题的逆命题中，是真命题的为（    ） A．矩形是对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．在△ABC中，如果三边满足，那么这个三角形是直角三角形 D．全等三角形的对应角相等 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当平分时，它是菱形 D．当时，它是菱形 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，中，对角线、相交于点O，则下列结论中不正确的是（　　）    A．， B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当垂直平分时，它是正方形 9.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在△ABC中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D．如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 10.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，以△ABC的三边为边在上方分别作等边、、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当时，四边形是菱形； ④当，且时，四边形是正方形． 其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）． 11.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在矩形中，M，N，P，Q分别为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，有下面四个结论： ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④存在无数个四边形是正方形； 所有正确结论的序号是 ． 12.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ． 13.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，矩形的顶点E、F分别在菱形的边和对角线上，连接，若，，当的长最小时，则的长为（    ） A． B． C． D． 14.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图， 中， ， ，和都是等边三角形，为的中点，连接交于点，与交于点以下结论：①；②四边形为菱形；③ ；④ 其中，正确的结论有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在△ABC中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)求证： (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 16.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由． 17.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连结DE，F在DE延长线上，且AF=AE， （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 18.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 19.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是菱形 (3)在（2）的条件下，若菱形的面积为40，，求的长 20.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    21.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F． (1)试用含t的式子表示AE、AD的长； (2)如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由； (3)连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 22.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 23.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． (1)在运动过程中，四边形的形状是___________； (2)___________时，四边形是矩形； (3)求当等于多少时，四边形是菱形． 24.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，△ABC中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论； (3)若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 25.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）（1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由． （2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由． （3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由． 26.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图1，菱形的对角线、相交于点，且cm，cm，分别过点、作与的平行线相交于点． （1）判断四边形的形状并证明； （2）点从点沿线段的方向以2cm/s的速度移动了秒，连接，当时，求的值． （3）如图2，点在直线上运动，求的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 平行四边形的性质 1.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【详解】解：A、逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B、逆命题是：如果两个实数的绝对值相等，那么两个实数相等或相反，是假命题； C、逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； D、逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； 故选D． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）在平行四边形中，比大，则___ ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．    【答案】（5，4） 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 4.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AQ＝PC， ∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可， ∴当CP⊥AB时，CP取得最小值， ∵∠BAC＝45°， ， 设， 在Rt△APC中，AB＝AC＝8， 则，即， 解得， 故选：D． 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平行四边形中，平分，，则平行四边形的周长是 ． 【答案】40 【详解】∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长是 故答案为：40． 6.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；再分别以点、点圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交轴于，则轴， ，， ， ， ，， 由题意得：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：D． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝ ．    【答案】2 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∴∠ABE＝∠CFE， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴CF＝CB＝5， ∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴∠DFC＝∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC＝3， 同理可证：AE＝AB＝3， ∵AD＝4， ∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1， ∴EF＝4−1−1＝2． 故选：B． 9.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，已知是的对角线交点，且，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴的周长为：． 故选：C． 10.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 11.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分，，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：A． 12.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则 ． 【答案】或4 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， ∴， 当点在点左侧，如图1，则， 当点在点右侧，如图2，则， 故答案为：或4． 13.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，，，则平行四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 又， ， 解得， 即， 是等腰直角三角形， ， ， 平行四边形ABCD的面积是， 故选：A． 14.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点D作于点G， ∵, ∴， ∴， 故答案为：． 15.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，在中，点E，F分别在边，上．将沿折叠，点A恰好落在边上的点G处．若，，，则长度为（    ） A． B．7 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：过B作BM⊥AD于M，作FH⊥BC于H，作EN⊥BC于N，交CB延长线于N，如图1所示： 则BM⊥BC，BM=FH，FM=BH， 由折叠的性质得：AE=GE= ，GF=AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EBN=∠A=45°， ∴△ABM和△BEN是等腰直角三角形， ∴BN=EN= BE=1，AM=BM= AB=6， ∴FH=6， 在Rt△GEN中，由勾股定理得：12+GN2= ， 解得：GN=±7（负值舍去）， ∴GN=7， 设FM=BH =x，则GH=7-1-x=6-x，GF=AF=x+6， 在Rt△GFH中，由勾股定理得：62+（6-x）2=（x+6）2， 解得：x=， ∴AF=+6=； 故选：A． 16.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，，AO=CO， ∴∠DAB=120°， 又∵AE平分， ∴∠BAE=∠DAE=60°=∠ABE， ∴三角形ABE为等边三角形， ∴AB=BE=AE， 又∵，BC=4， ∴EC=2=AE=BE， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=∠BAD=30°，故①正确， ∵∠BAC=90°， ， ，故③正确，， ∴，， ，故④正确， ∵AO=CO，BE=CE， ∴OE为三角形ABC的中位线， ，， ∴OE=1， 又∵BC=4， ∴，故②正确， ∵△AOE与△BOE为同底等高的三角形， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 17.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF. （1）求证：AE＝CF； （2）求证：AE∥CF. 【详解】试题分析：（1）根据平行四边形性质得出AB=DC，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，推出∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，根据全等三角形的判定推出△DAE≌△BCF，即可得； （2）由△DAE≌△BCF，得出∠DEA＝∠BFC，从而得∠AEF＝∠DFC，继而得AE∥CF. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠CDE，∠ADE＝∠CBF， 在△DAE和△BCF中，， ∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE＝CF； （2）∵△DAE≌△BCF，∴∠DEA＝∠BFC，∴∠AEF＝∠DFC，∴AE∥CF. 18.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在平行四边形中，平分，已知，，．    (1)求证：； (2)求△ADE的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又，， ， 为直角三角形， ； （2）解：连接，    ∵，，， 又， ∴ 两条平行线之间的距离 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图： AB//CD，AD//BC，，，的面积为6，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】20 【详解】解∶ 如图，作DG⊥BE于G，AH⊥BC于H， ∵AD//BC， ∴AH=DG， ∵AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=5， 又∵BE=8， ∴CE=3， 又∵△DCE的面积为6， ∴， ∴DG=4， ∴四边形ABCD的面积=BC×AH=20， 故答案为：20 平行四边形的判定 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C．不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D．根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意． 故选：C 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该选项可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴，， ∵， ∴， ∵两组对角相等的四边形是平行四边形，该选项可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； 、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，该选项不能判定是平行四边形，符合题意； 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：． 3.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）由下列条件，可以唯一确定一个平行四边形的是（    ） A．两条邻边长 B．两条对角线长 C．一边长及另一边上的高 D．两条对角线长及一边长 【答案】D 【详解】知道两条对角线长就知道两条对角线长度的一半，因为两条对角线的一半和一边必然组成一个三角形，确定了平行四边形中的一个三角形，就可以确定整个平行四边形. 故选：D. 4.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只需要填一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD ∵DE=BF ∴OD - DE=OB-BF 即OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形   故答案为：DE=BF（答案不唯一） 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在四边形中，，，垂足分别为，，且，，求证：四边形为平行四边形． 【详解】证明：， 在和中， ， 四边形是平行四边形． 6.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若与交于点O，求证：． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ， ； （2）连接，交于点O，   ≌， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， 三角形的中位线 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在中，点分别是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】解：分别是的中点， 是中位线， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：B． 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，D、E、F、G分别为、、、的中点，，若，，，则四边形的周长 ．    【答案】16 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，可得，，， ∴四边形的周长． 故答案为：16． 3.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在△ABC中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴； 故选D． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在△ABC中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    【答案】//1.5 【详解】解：延长交于N，   平分，， ，， 又， ， ，， ， ∵点E是的中点， ， 则是的中位线， ∴， 故答案为：． 5.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴PE=AD，PF=BC， ∵， ∴PE=PF， ∴△PEF是等腰三角形， ∴∠PFE=， ∴=， 故答案为：． 6.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， ∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=62°，则∠BEF的度数为 ． 【答案】84° 【详解】解析：∵∠ACD=90°,∠D=62°， ∴∠DAC=90°-∠D， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC=90°-∠D ， 又∵∠ABC=90°，E是AC的中点， ∴ BE=AE=EC， ∴∠EAB= ∠EBA=90°-∠D ，∠CEB=180°-2∠D ， ∵E、F分别为AC、CD的中点 ∴EF // AD， ∴∠CEF=∠CAD=90°-∠D ， ∴∠BEF=180°-2∠D +90°- ∠D =270°-3∠D=270°-362°=84°． 故答案为：84°． 7.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（      ） A．OB=OC B．DEAB C．DB=DE D．= 【答案】C 【详解】解：由题意可知直线为线段的垂直平分线 ∴，，故选项A正确； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴线段为的中位线 ∴，，故选项B正确； ∴=，故选项D正确； ∵ ∴，故选项C错误； 故选：C． 8.（23-24内蒙古通辽八上期中）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【详解】证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 平行四边形性质和判定的综合 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）在四边形ABCD中，AD=BC，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD于点F，交BA的延长线于点G，且OE=OF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠D=63°，∠G=42°，求∠GEC的度数． 【详解】（1）证明：∵O是对角线AC的中点， ∴OA＝OC， 在△COE和△AOF中， ， ∴△COE≌△AOF中（SAS）， ∴∠OCE＝∠OAF， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B＝∠D＝63°， ∴∠BEG＝∠B+∠G＝63°+42°＝105°． 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图, 在四边形ABCD中，∠ADB=90°，AD=12，DO=OB=5，AC=26， (1)求BC的长； (2)求四边形ABCD的面积． 【详解】（1）解：∵在△AOD中，∠ADO=90°，AD=12，OD=5， ∴， ∴CO=AC - AO=13， ∴OA=OC， 又∵OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=12； （2）解：由（1）得四边形ABCD是平行四边形， ∵BD=OD+OB=10， ∴ 3.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， E、F、G、H分别是的中点， 四边形是平行四边形； （2）， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 的周长． 4.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴， 由运动知，，， ∵，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形， 只要， 当点N在边上时，， ∴， ∴， 当点N在边的延长线上时，， ∴， ∴， ∴或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； （3）如图， 连接交于O，    ∵线段将平行四边形面积二等分， ∴必过的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形面积二等分． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在平行四边形中，点，分别是，上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又∵， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，过作于， ， ， ，， ， ， ． 6.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期中）如图，四边形的两条对角线相交于点O，E是DC边上一点，连接并延长交于点F．若，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，△AOB的周长为9，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵△AOB的周长为9， ∴， ∵，， 同理，， ∴， ∴． 矩形的性质 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【详解】解：矩形具有对角相等、对角线相等、对边相等与对角线互相平分的性质，而菱形具有对角相等、对边相等与对角线互相平分的性质，但不一定有对角线相等的性质； 故选：B. 2.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．    【答案】4 【详解】∵ABCD是矩形 ∴OC＝OA，BD＝AC 又∵OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2OA＝4 ∴BD＝AC＝4 故答案为：4． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，矩形中，对角线、交于点，若，，则长为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，矩形的对角线、相交点，、分别为、的中点．若，，则的长是 ． 【答案】2.5 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴， 故答案为：2.5． 6.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图， 在矩形中，P，Q分别是，上的点， E， F分别是，的中点．，， 则线段的长为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．5 【答案】B 【详解】解：四边形为矩形，， ，， ， ， E， F分别是，的中点． ， 故选：B． 7.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【详解】解∶连接，交于O，如图∶ ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，矩形中，，，点P从B点沿向D点移动，若过点P作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中，∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的长度最小为：， 故答案为：． 9.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为6和8，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD==10， ∴OA=OD=5， ∴S△ACD=S矩形ABCD=24， ∴S△AOD=S△ACD=12， ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12， 解得：PE+PF=. 故选C. 10.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 11.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，是矩形的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线交于点M，交于点N，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接． 由作图可知，垂直平分线段， ， 四边形是矩形， ，， ∴， ， 故答案为：． 12.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在边上，落点记为F，过点F作交于点G，连接．若，，则四边形的面积是（    ） A． B． C．20 D．10 【答案】A 【详解】解：由折叠可知：，，， 则在矩形中，，，， ， ， 设，则，， ， ， 解得，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积是：， 故选A． 13.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 ． 【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【详解】试题解析：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10， ∵D为OA的中点， ∴OD=AD=5， ①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上， ∴点P的坐标为：（2.5，4）； ②当OP=OD时，如图1所示： 则OP=OD=5，PC==3， ∴点P的坐标为：（3，4）； ③当DP=DO时，作PE⊥OA于E， 则∠PED=90°，DE==3； 分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示： OE=5-3=2， ∴点P的坐标为：（2，4）； 当E在D的右侧时，如图3所示： OE=5+3=8， ∴点P的坐标为：（8，4）； 综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） 14.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于，交于，点是的中点，且，则下列结论：；；四边形为菱形；．其中正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵EF⊥AC，G是AF的中点， ∴AG=OG=GE， ∴∠OAF=∠AOG=30°， 在直角△ABC中，∠CAB=30°， ∴BC=AC=OC，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a， ∴AB=， 在直角△AOE中，∠EAO=30°，∴AO=2OE， AO2+OE2=AE2， ∴OE=，AE=， ∴OG=， ∴CD=AB=3OG，故（1）正确； OG=≠a=BC，故（2）错误； 易证△FOC≌△EOA， ∴OE=OF， 又∵AO=OC，EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形，故（3）正确； ∵S△AOE=，S矩形ABCD=a•a=a2， ∴S△AOE=SABCD，故（4）正确， 综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个， 故选C 矩形性质的推论 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】45 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为△ABC的中位线，， ， ， 故答案为：1． 矩形的判定 1.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角 【答案】C 【详解】解：、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； 、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； 、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确； 、根据一组对角是直角不能确定其余两角为直角，故本选项错误； 故选：． 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）下列命题正确的是（　　） A．形如的式子叫做二次根式 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．在直角三角形中，三边满足的关系是 【答案】B 【详解】解：、形如的式子叫做二次根式，故本选项命题错误，不符合题意； 、一组邻边相等的矩形是正方形，命题正确，符合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意； 、在直角三角形中，，三边满足的关系是，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：． 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故选：C． 4.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）已知的对角线，相交于点O，是等边三角形，，则的面积等于 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， 由勾股定理得， ∴的面积． 故答案为：． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）已知：如图，在平行四边形中，，，，将沿所在直线翻折，使点落在点上，如果交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折，使点落在点上， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）已知：如图，在△ABC中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接 (1)求证：是的中点 (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论 【详解】（1）证明：∵是的中点 ∴ ∵ ∴， 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ 即是的中点 （2）解：四边形是矩形； 证明：∵ ∴ 四边形是平行四边形 ∵， ∴，即 ∴平行四边形是矩形． 8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，EO=FO，DF∥BE． ⑴求证：△BOE≌△DOF； ⑵若AC=2OD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？ 请证明你的结论． 【详解】（1）    证明：∵DF∥BE，   ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， ∵O为AC的中点，即OA=OC，OE=OF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即AE=CF， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）若OD=AO，四边形ABCD是矩形，理由为： 证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC， ∴四边形ABCD为矩形． 9.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在平行四边形中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若是的角平分线，请判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 又， ． （2）解：四边形是矩形，理由如下： ， ， ， ， ∵BF∥AE， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ∴∠BOE=， 平行四边形是矩形． 矩形性质和判定的综合 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在中，对角线交于点O，． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若，，作的平分线交于点E，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的平分线， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴ 2.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）在△ABC中，，是中点，过点作，使． (1)求证：四边形是矩形； (2)取中点，作，交于点，若，，求的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，是中点， ， ， 四边形是矩形； （2）解：连接， 是的中点，， ， 四边形是矩形，，， ，， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， ， 即． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）综合与实践： 问题情境：数学课上，小王和小东两位同学利用三角板操作探究图形． 操作探究1：小王将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为 ．（写出具体解答过程） 操作探究2：小东将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小东同学求出此对点、之间的距离； 操作探究3：随后，小王将图②中的换成了含角的三角板，同样是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，你能求出此时点，之间的距离吗？ 【详解】操作探究1：解：连接， ，，， 且， 四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 、、三点共线， ， 在直角三角形中，根据勾股定理可得： ； 操作探究2：连接， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ； 操作探究3：过作的延长线于点，过作的延长线于点，如图所示： ， 四边形是矩形， ，连接， 为中点且， ∴，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．    【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线，且 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形DECF为矩形 ∴ ∴ 则在中，； （2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG ∵ ∴， ∵D是AB的中点 ∴ 在和中， ∴ ∴， 又∵ ∴DF是线段EG的垂直平分线 ∴ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∴．    菱形的性质 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图：已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴C点坐标为． 故答案为：． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得， ∵AE=BE， ∴， 在Rt△AOB中， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为DB中点， ∴ ． 故答案为 3.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A．24 B．16 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC⊥BD， OA=AC=3， OB=BD=2， AB=BC=CD=AD， ∴在Rt△AOB中，AB==， ∴菱形的周长为4． 故选C． 4.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于 ． 【答案】20 【详解】试题分析：根据面得菱形的另一条对角线为8，则边长为=5，则周长=5×4=20. 考点：菱形的性质. 5.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在菱形中，M，N分别在，且，与交于点O，，则∠OBC的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24， ∴AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴BC＝＝5， ∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24， ∴AH＝， 故答案为：． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为 cm． 【答案】9.6 【详解】解：∵四边形是菱形， ∵ ∴ ∴， 故的长为, 故答案为：9.6． 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是菱形， ，， 边在y轴上， 轴， 轴， 点A的坐标为， ，， 在中，， C点的坐标为， 故选C． 9.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，，，点是轴正半轴上一点，是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，设点的坐标为，其中，设点的坐标为， 则，，， ①若，则， 解得：， 即：此时点的坐标为， 根据平行四边形四点的相对位置关系得： ，解得：， ∴点的坐标为；如图中，四边形即为菱形； ②若，则， 解得：或（舍去）， 即：此时点的坐标为， 根据平行四边形四点的相对位置关系得： ，解得：， ∴点的坐标为；如图中，四边形即为菱形； ②若，则， 解得：，均不符合题意，舍去， 综上，点的坐标为，， 故答案为：或． 10.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（    ） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD， ∴∠ABD=65°， ∵DH⊥AB，BO=DO， ∴HO=DO， ∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°． 故选：A． 11.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：菱形的对角线，相交于点O，， ∴，，． ∵， ∴． ∵于点H， ∴为斜边上的中线． ∴． 故选：C． 12.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在菱形中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 解得， ∵于点F，于点G， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 13.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于，连接，，   四边形是菱形， 线段、互相垂直平分， 、关于对称，则， ， 即就是的最小值． ，， 是等边三角形， ， ． 在中，， ， 的最小值为． 故选：B． 14.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合， ∵A、C关于BD对称， ∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小， ∵菱形ABCD的周长为16，面积为8， ∴AB=BC=4，AB·CE′=8， ∴CE′=2，由此求出CE的长=2． 故答案为2． 15.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，菱形中，对角线，，M，N分别是，上的动点，P是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：设与交于点， 菱形中，，，， ，，平分， ， 过作于交于，过作于， 则的值最小， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 16.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2（图中大正方形边长为5），图3（图中小正方形边长为1）所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，根据题意得： ， 得， 图1中菱形的面积为：， 故答案为：12． 17.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设 ∵点是中点， ∴EM是的中位线， 四边形是菱形， ，∠AMD=90°， ， ∴DM=， ∴AM= 故选：D． 菱形的判定 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）能说明四边形是菱形条件是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相平分且一组邻边相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形； D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形． 则能说明四边形是菱形条件是C． 故选C． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是( ) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】∵在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴AO=CO，∠AFO=∠CEO， ∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠ FOA=∠EOC，AO=CO， ∴△AFO≌△CEO（AAS）， ∴FO=EO， ∴四边形AECF平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形， 故选：C. 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【详解】(1)证明：∵DE∥AC,CE∥BD ∴DE∥OC,CE∥OD ∴四边形ODEC是平行四边形 ∵四边形ODEC是矩形 ∴OD=OC ∴四边形ODEC是菱形 ∴OE⊥DC (2)解：∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形 ∴OD=OC=DE=2 ∵∠AOD=120° ∴∠DOC=60° ∴△ODC是等边三角形 ∴DC=OD=OC=2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=2CO=4 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ∴S矩形ABCD=2×2=4． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， 在△ADE和△CBF中 ∴△ADE≌△CBF； （2）四边形是菱形 理由如下： 如图，连接，， 由（1）得△ADE≌△CBF ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形 当平分时，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC为等腰三角形 由等腰三角形性质三线合一可得， ∴平行四边形是菱形． 菱形性质和判定的综合 1.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长是 ．      【答案】 【详解】解：如图：过作 ,过B作, 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 3.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若 ，求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵分别是边 的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）可得是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴    4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴菱形的面积为20． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6． （1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ABC的角平分线交AC于点D． ②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF． （2）推理计算：四边形BFDE的面积为　 　． 【详解】（1）如图，DE、DF为所作； （2）∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，AB=2BC=12． ∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠DBC=∠EBD=30°． ∵EF垂直平分BD，∴FB=FD，EB=ED，∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°，∴DE∥BF，BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形，而FB=FD，∴四边形BEDF为菱形． ∵∠DFC=∠FBD+∠FDB=30°+30°=60°，∴∠FDC=90°－60°=30°．在Rt△BDC中，∵BC=6，∠DBC=30°，∴DC=．在Rt△FCD中，∵∠FDC=30°，∴FC=2，∴FD=2FC=4，∴BF=FD=4，∴四边形BFDE的面积=4×2=8． 故答案为8． 正方形的性质 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由平移性质得， ∴点D，之间的距离为， 故选：D． 2.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则的度数是（    ） A． B． C．40 D． 【答案】B 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ． 故选B． 3.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB的大小为 ． 【答案】30° 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD， ∵△BPC是等边三角形， ∴∠PBC＝∠BCP＝∠BPC＝60°，BP＝PC＝BC， ∵BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠DBC＝45°， ∴∠PBD＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°， ∵∠BCD＝90°，∠BCP＝60°， ∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°， ∵PD＝DC， ∴∠DPC＝ ， ∴∠PDB＝180°﹣∠PBD﹣∠BPC﹣∠CPD＝180°﹣15°﹣60°﹣75°＝30°， 故答案为：30°． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上，，连接与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵取的中点H，连接， ∴； 故答案为：． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 【答案】1 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点， ∴CE=4， 设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1， 故答案为：1． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小， ∵四边形ABCD是正方形，且周长为8， ∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BP＝DP， ∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE， ∵E是AB的中点， ∴AE＝AB＝1， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2， ∴DE＝＝， 故选C． 7.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在正方形中，，点E、F分别在，上，连接、，若，则最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，   四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 作点关于的对称点，连接，， ， ， 点，点，点三点共线时，的最小值为， ， 故答案为：． 8.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E，F分别为垂足，连结，，则下列命题：①若，则；②若，则;③若正方形边长为4，则的最小值为2，其中正确的命题是(   )    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：延长交于Q，    ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 若，则，故①正确； 若，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，有最小值，此时P为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故③错误， 故选：A． 9.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，点E在正方形外，连接、、， 过点A作的垂线交于点 F．若 ，则下列结论： ①； ②； ③点B到直线的距离为； ④ 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ；故①正确， ， 记交于点， ，， ， ， ，故②正确； 作于点， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 点B到直线的距离为，故③错误； ， 故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④； 故答案为：①②④． 10.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则直角三角形的边与之比是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， ∵四个全等的直角三角形拼成大正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 11.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG,则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③；④BC+FG=．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°， ∵△DHG是由△DBC旋转得到， ∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°， 在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG， ∴△AED≌△GED， ∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG， ∴∠AED=∠AFE=67.5°， ∴AE=AF，同理EG=GF， ∴AE=EG=GF=FA， ∴四边形AEGF是菱形，①正确， ∴∠AFG=67.5°×2=135°，③错误． 根据题意可求得BD=，BG=BD - DG=BD - CD=-1， 在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1， 所以AH=AE=-1，即可得△HED的面积是 ,②正确； 由（1）的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正确． 综上，正确的结论为①②④． 故选B. 12.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴AE=BF，故①正确； ∴∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA， ∴∠CEA=∠DFB，而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，故②正确； 连结BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE，而BO⊥AE， ∴OA≠OE，故③错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF - S△AOF=S△DAE - S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，故④正确． 故选：A． 13.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，正方形中，均为中点，则下列结论中：．其中正确的是 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵正方形，均为中点， ∴，，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 延长、相交于点，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 延长至，使得，连接，如图， ∵， ∴， 又∵分别是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故③正确，④错误； ∴正确， 故答案为：． 14.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论： ①，②，③④，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°-∠AOC -∠DOE=45°，故正确； ②∵EF=， ∴OE=2． ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG=1， CF=＝＝， BH=3-1=2， DH=3+1=4， BD=，故错误； ④△COF的面积S△COF=×3×1=，故错误； 故选：B． 15.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过O点的射线分别交，AC于点E，F，且，，交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，点O为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 在△AOB和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 同理：， ∴， ∴全等三角形有4对， ∴①不正确； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∴②正确； ∵， ∴四边形的面积， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④正确． ∴正确的选项为：②③④，共3个． 故选：D 16.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形是正方形．G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：． 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°， ∵DE⊥AG， ∴∠AED=∠DEF=90°， ∵BF∥DE， ∴∠AFB=∠DEF=∠DEA=90°， ∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠BAF=∠ADE， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△DAE≌△ABF（AAS）； ∴AE=BF，DE=AF， ∵AF -AE=EF， ∴DE -BF=EF 17.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）四边形ABCD是正方形，点E为BC反向延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F，求证：AE=EF． 【详解】证明：在AB延长线上截取BG=BE，连接EG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，              又BG=BE， ∴AG=CE，                     ∵∠ABC=∠BCD=90°，BG=BE，CM为正方形外角平分线， ∴∠AGE=∠ECF=45° ，                      ∵∠ABE =90°，∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠EAG=90°，∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠EAG=∠FEC，                           又AG=CE，∠AGE=∠ECF， ∴△EAG≌△FEC， ∴AE=EF． 18.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵△BCE是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得、、△ADE是等腰三角形，设，依题意得 ，   解得， ， 为度． 19.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）在正方形中，点P在对角上，点E，F分别在边，上，． (1)特例发现：如图1，当点P在对角，的交点处时．求证：． (2)探究证明：如图2，当点P不在对角，的交点处时．判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展运用：若，连接，请直接写出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴．    ∴都是等腰直角三角形． ∴．    ∵， ∴． ∴， 即．    在和中 ∴．    ∴． （2）过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ． ∵四边形是正方形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∴即． 在和中 ∴． ∴． （3）连接， 由（2）知：，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB． (1)求证：PE＝PD； (2)求∠PED的度数． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ACB=∠ACD， 在△PBC和△PDC中， ∵ ∴△PBC≌△PDC（SAS）， ∴PB=PD， ∵PE=PB， ∴PE=PD； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， ∵△PBC≌△PDC， ∴∠PBC=∠PDC， ∵PE=PB， ∴∠PBC=∠PEB， ∴∠PDC=∠PEB， ∵∠PEB+∠PEC=180°， ∴∠PDC+∠PEC=180°， 在四边形PECD中，∠EPD=360°−(∠PDC+∠PEC)−∠BCD=360°−180°−90°=90°， 又∵PE=PD， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴∠PED=45°． 21.（23-24内蒙古通辽八上期中）同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题：如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 【详解】证明：在上取一点，使，连接． ∵四边形是正方形， ，， ∵， ． ． ∠AME=． 是外角平分线， ， ． ∴∠AME=∠ECF， ∵， ，， ． 在和中， ． ． 22.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴（ASA）， ∴； （2）证明：延长BC至F，且使，连接AF、DF，如图1所示： 则， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵，， ∴N为EF的中点， ∴MN为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：过点B作交DE于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 正方形的判定 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形中，， 四边形是矩形， ， 当有一组邻边相等时，矩形是正方形， 当时，四边形是正方形， 选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意， 故选：A． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB= °时，四边形AECF是正方形． 【答案】90 【详解】（1）∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD． 又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD． ∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD， ∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF， ∴EO=OC，FO=OC， ∴EO=FO； OE=OC=OF， 当OC=OA，即点O为AC的中点时， ∴OE=OC=OF=OA， ∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF， ∴这时四边形AECF是矩形, ∴当点O运动到AC中点时， 四边形AECF是矩形， 由正方形AECF可知，AC⊥EF， 又∵EF∥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是∠ACB=90° 正方形性质和判定综合 1.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． (1)求证：四边形是正方形； (2)若E是上一点，且，写出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，平分，               ∵， ，                 ∴四边形是矩形，                            ， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ，                   ∵， ， ∴． 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接．过点E作 交边于点 F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)当点 E从A点运动到C点时， ①是否为定值？如果是，请求出的度数，如果不是定值，请说明理由； ②若正方形的边长为6，，求正方形的边长． 【详解】（1）解：作，并延长交于点，   四边形为正方形， ，， ， ，， ，， 由题易知，四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：①是， 四边形，为正方形， ，，， ， ， ， ； ②，， ，   ， ， 正方形的边长为6， ， ． 即正方形的边长为． 中点四边形 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）任意四边形的中点四边形是（    ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】解：如图,E，F，G，H分别是四边形四边中点，连接，    ∵E，F分别是的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴ 同理：    ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选：D． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 【答案】平行四边形 【详解】解：四边形是平行四边形． 理由：连接，如图， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（    ） A．12 B．7 C．6 D．3 【答案】D 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且， 同理求得，且， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， 四边形的面积，即四边形的面积是3． 故选：． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，分别是的中点，且，下列结论；①；②四边形是矩形；③平分；④；⑤四边形的周长等于，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形，故②错误，不符合题意； ，平分，四边形的周长等于，故①③⑤正确，符合题意， 没有条件可证明，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形中，点E、F、G、H分别为的中点， (1)求证：中点四边形是平行四边形； (2)如图2，点P是四边形内一点，且满足，点E、F、G、H分别为的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【详解】（1）证明：如图1中，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴, ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）综合与探究：如图1，四边形中，分别是的中点，顺次连接． （图1）                               （备用图） (1)如图1，在四边形内一点，使，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，设交于O，交于T， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 平行四边形和特殊平行四边形综合 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期中）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 【答案】A 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）下列命题： ①平行四边形的对边相等； ②对角线相等的四边形是矩形； ③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中真命题的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题解析：平行四边形的对边相等，所以①正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确； 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确． 故选C． 4.（23-24内蒙古通辽八上期中）下列命题是假命题的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】B 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不合题意； B、两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，是假命题，符合题意； C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，不合题意； D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不合题意； 故选：B． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）下列命题中，正确的命题的是（    ） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四个角相等的菱形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：A、有两邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误； C、四个角相等的菱形是正方形，故原命题正确； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误， 故选：C． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）下列命题的逆命题中，是真命题的为（    ） A．矩形是对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．在△ABC中，如果三边满足，那么这个三角形是直角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【详解】解：A、原命题的逆命题为对角线相等的四边形是矩形，该命题是假命题，例如等腰梯形的对角线也相等，但它不是矩形，不符合题意； B、原命题的逆命题为菱形的对角线互相垂直，该命题是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题为直角三角形△ABC中，三边满足，该命题是假命题，只有c对应的边是斜边时才是真命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，该命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当平分时，它是菱形 D．当时，它是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，它是矩形，故此选项说法正确，不符合题意； B、当时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意； C、当平分时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； D、当时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，中，对角线、相交于点O，则下列结论中不正确的是（　　）    A．， B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当垂直平分时，它是正方形 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，故A正确，不合题意； 当时，四边形是菱形，故B正确，不合题意； 当时，四边形是矩形，故C正确，不合题意； 当垂直平分时，无法判定它是正方形，故D错误，符合题意； 故选：D． 9.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在△ABC中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D．如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 【答案】D 【详解】由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形； 又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形 故A. B正确； 如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF， ∴∠FAD=∠ADF， ∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确； 如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误. 故选D 10.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，以△ABC的三边为边在上方分别作等边、、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当时，四边形是菱形； ④当，且时，四边形是正方形． 其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解析：①、△CBF是等边三角形， ，，， ， ， ， 同理由，得， 由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确； ②当时， ， 由①知四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故结论②正确； ③由①知，，四边形是平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形，故结论③正确； ④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形， 四边形是正方形，故结论④正确． 故答案为：①②③④． 11.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）在矩形中，M，N，P，Q分别为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，有下面四个结论： ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④存在无数个四边形是正方形； 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①如图，∵四边形是矩形，连接，交于O， ∴，，，，， ∴，，， 过点O的直线和，分别交，，，于M，N，P，Q， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 则四边形是平行四边形， 故存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； ②如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故②正确； ③如图，当时，存在无数个四边形是菱形，故③正确； ④当四边形是正方形时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 当四边形为正方形时，四边形是正方形，故④错误； 故正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 12.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ． 【答案】或 【详解】解：①当平行四边形是正方形时，如图， ∵一条对角线的长为， ∴另一条对角线长为：． ②当这个平行四边形的四个角分别为．如图， ∵ ∴ 过点作交的延长线于点， ∴ ∴， ∴， ∴． 综上，另一条对角线长为或． 故答案为：或． 13.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，矩形的顶点E、F分别在菱形的边和对角线上，连接，若，，当的长最小时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，根据矩形的性质可知，当时，的长最小，此时，F是的中点，如图所示：当点F位于F1位置时，的长最小，此时，三点共线， ∵在菱形中，， ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 14.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图， 中， ， ，和都是等边三角形，为的中点，连接交于点，与交于点以下结论：①；②四边形为菱形；③ ；④ 其中，正确的结论有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】连结， ，为中点， ， 点在的垂直平分线上， ∵△ACE是等边三角形， ， 点在的垂直平分线上， ，故①正确． 是等边三角形，为中点， ， ， 四边形不可能是菱形，故②不正确． 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ∵△ACE是等边三角形，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故③正确． ， ， ，故④正确． 正确的结论由①③④， 故选C． 15.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在△ABC中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)求证： (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）四边形是矩形．理由如下： ，是的中点， ， ， 过点作的平行线交的延长线于点，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 16.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由． 【详解】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知）， ∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF． ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴2∠COD+2∠COF=180°． ∴∠COD+∠COF=90°． ∴∠DOF=90°． ∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）． ∴OD⊥AC，AD=DC ∴∠CDO=90°． ∵CF⊥OF， ∴∠CFO=90°． ∴四边形CDOF是矩形． （2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下： ∵∠AOC=90°，AD=DC， ∴OD=DC． 又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形． 因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形． 17.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连结DE，F在DE延长线上，且AF=AE， （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，E是BA的中点， ∴CE=AE=BE， ∵AF=AE， ∴AF=CE， 在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点， ∴ED是等腰△BEC底边上的中线， ∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线， ∴∠1=∠2， ∵AF=AE， ∴∠F=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠2=∠F， ∴CE∥AF， 又∵CE=AF， ∴四边形ACEF是平行四边形； （2）∵四边形ACEF是菱形， ∴AC=CE， 由（1）知，AE=CE， ∴AC=CE=AE， ∴△AEC是等边三角形， ∴∠CAE=60°， 在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°． 18.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 19.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是菱形 (3)在（2）的条件下，若菱形的面积为40，，求的长 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （3）解：由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ，， ． 20.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB - AF - FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 21.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F． (1)试用含t的式子表示AE、AD的长； (2)如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由； (3)连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 【详解】（1）解：由题意得AE=t，AD=12-2t； （2）解：∵DF⊥BC，∠C=30°， ∴DF=CD=×2t=t， ∵AE=t， ∴DF=AE， ∵∠ABC=90°，DF⊥BC， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形； （3）解：①显然∠DFE＜90°； ②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形， 此时 AE=AD， ∴t=（12-2t）， ∴t=3； ③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°， ∴∠AED=90°-∠A=30°， ∴AD=AE， ∴12-2t=t， ∴t=， 综上：当t=3秒或t=秒时，△DEF为直角三角形． 22.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 23.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． (1)在运动过程中，四边形的形状是___________； (2)___________时，四边形是矩形； (3)求当等于多少时，四边形是菱形． 【详解】（1）四边形是平行四边形；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）时，四边形是矩形；理由如下： 若四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：，或（舍去）， ． 故答案为：1； （3）依题意得：平行且等于， 四边形是平行四边形， 故时，四边形是菱形． 又， ， 过作于，如图所示： 则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即时，四边形是菱形． 24.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，△ABC中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论； (3)若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 【详解】（1）证明：∵交的平分线于点 E，交的外角平分线于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：当点O在边运动到中点时，四边形是矩形． 证明：当O为的中点时，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴四边形是矩形． （3）解：△ABC是直角三角形，且时，四边形是正方形． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 25.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）（1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由． （2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由． （3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由． 【详解】解：（1）四边形CODP是菱形，理由如下： ∵DP∥OC，且DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴OD=OC， ∴平行四边形OCDP是菱形； （2）四边形CODP是矩形，理由如下： ∵DP∥OC，且DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∴∠DOC=90°， ∴平行四边形OCDP是矩形； （3）四边形CODP是正方形，理由如下： ∵DP∥OC，且DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，DO=OC， ∴∠DOC=90°，平行四边形CODP是菱形， ∴菱形OCDP是正方形． 26.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图1，菱形的对角线、相交于点，且cm，cm，分别过点、作与的平行线相交于点． （1）判断四边形的形状并证明； （2）点从点沿线段的方向以2cm/s的速度移动了秒，连接，当时，求的值． （3）如图2，点在直线上运动，求的最小值． 【详解】（1）结论：四边形是矩形． 理由：∵由题意可知，BE∥OC，EC∥OB， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形是矩形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm， ∵， ∴AG＝2OG， ∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3）， 解得t＝1或t＝3， ∴满足条件的t的值为1s或3s． （3）如图所示 ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD ∵四边形是矩形 ∴BE＝OC＝3cm， 作B点关于AC的对称点，即D点，连接ED，交AC于点G，连接BG，此时有最小值，即线段DE，证明如下： ∵对称 ∴ ∴ ∵两点之间线段最短 ∴有最小值，即线段DE ∴在中，cm ∴有最小值为cm ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$