专题02 勾股定理期中复习（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（内蒙古专用）

专题02 勾股定理 勾股定理 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）在中，，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 2.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）Rt△ABC的两边长分别为6和8，则三边长是 ． 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（    ） A．0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(　　) A．48 B．60 C．76 D．80 5.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，中，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C． D． 6.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）在△ABC中，且，若点在边上（不含端点）运动，则最短时的值为 ． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长度为 ． 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）在△ABC中，，高，则的长为（        ） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 9.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，都是格点，则线段的长是（　　）    A．5 B． C．7 D．25 10.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 11.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中画出钝角△ABC，使它的面积为6（画一个即可）； (2)在图2中画出，使它的三边长分别为、、5（画一个即可），并且直接写出此时三角形的面积． 12.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D．或 13.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，在△ABC中，在数轴上，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 14.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（    ）． A． B． C． D． 15.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为 ．    16.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，有一个矩形纸片沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则的长为 ．    17.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于 ． 18.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为 ． 19.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是 ． 20.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 21.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝ ． 22.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，△ABC中，，平分，，，则的长是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 23.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 24.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 25.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的边长分别是3、4、1、3，则最大正方形的面积是（   ） A．13 B．26 C．35 D．47 26.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，P是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于 ． 27.（23-24内蒙古通辽八上期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为 ． 28.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 29.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　） A． B．π C． D．π 30.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（　　） A．直角三角形纸片的面积 B．最大正三角形纸片的面积 C．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和 D．较小两个正三角形纸片重叠部分的面积 32.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么的值为（    ） A． B． C． D． 33.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有 34.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）勾股定理的证明： 如图1，在△ABC中，．求证：．    小丽同学课下探究勾股定理证明方法经历的思考过程： (1)看到要证明的结论，想到小学学习的正方形的面积计算方法是，受此启发，要证明，于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形，如图2，只需证明_____+____即可；    (2)如何将正方形分成两个长方形，使其面积分别等于其余两个正方形的面积呢?此处遇到困难，于是查阅资料，发现欧几里得的《几何原本》中，在图2的基础上作了如图3中的辅助线，小丽尝试理解辅助线是如何想到的．    ①首先过点C作边的垂线，垂足为点M，交于点N，就实现将正方形分成两个长方形的目的，只需证明， _______； ②要想建立正方形和长方形面积的关系，只能将其分别建立与和的面积关系，易得，_____，而（ ）（填推理依据），于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积，小丽通过体验勾股定理的探索过程，发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题． 勾股定理的应用 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）    A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（门的下边为和，门边沿C，D两点到门槛的距离是1尺（1尺寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛的长为 寸． 3.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，某火车站内部墙面上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子完成维修工作．梯子的长度为，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处． (1)该火车站墙面破损处A距离地面有多高？ (2)如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？ 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，甲轮船以24海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口O半小时后分别到达A，B两点，且相距15海里，求：乙轮船每小时航行多少海里? 8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该城市正南方向260 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向C移动，已知城市A到BC的距离AD＝100 km，那么台风中心经过多长时间从B点移动到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将受到台风的影响，正在D点休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可以免受台风的影响？ 9.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． (1)学校是否会受到影响？请说明理由． (2)如果受到影响，则影响时间是多长？ 10.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，长方形区域是一所学校，现打算沿直线规划一条高铁路线，已知，，若距离高铁轨道200米以内时，噪声会影响到学生的学习，以下是学校校长与施工人员的对话： 校长：您好，当前规划的高铁轨道离学校这么近，以后噪声会不会影响学生？ 施工人员：不会的，学校A处离高铁轨道最近，长达 220米，是达到设计要求的，您放心吧！ (1)请你通过计算，利用所学的数学知识说说施工人员说的是否合理； (2)若建设高铁轨道后，一列长度为 228 米的高铁以70 米/秒的速度通过时，学生是否会受到噪声影响？若受影响，求学生受到噪声影响的时间；若不受影响，请说明理由（结果保留整数，提示：，，） 11.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）2023年呼和浩特努力创造“宜居，宜业，宜学，宜养，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千亩花海成为网红打卡地．某校八年级数学活动小组周末去打卡大黑河花海，如图，四边形为同学们看到的花海区域，为了计算这片花海的面积，该小组进行了实地测量，他们发现如下结果： ①该四边形区域每个顶点都有一棵小树，他们统计了各顶点之间小树的数量，A、B两点间有9棵，A、D两点间有9棵，B、C两点间有7棵，C、D两点间有5棵（已知该区域的四条边中，每相邻跨河大桥的两棵树之间距离相等，都为2米）； ②跨河大桥与大黑河之间的夹角为． 根据以上信息，请你帮他们计算该区域的面积为多少？ 勾股定理最短路径问题 1.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程 cm 3.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 勾股定理的逆定理 1.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）下列各式中，属于勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，3，5 C．，4， D．1，， 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）分别满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（　　） A．三边之比为 B．三边长依次是 C．三边之比为 D．三内角之比为 4.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC是  (       ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）三角形的三边a、b、c满足（a+b）2－c2＝2ab，则此三角形一定是(    ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，在直角坐标系中，点，，，则__ 度．    8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A．110° B．120° C．150° D．160° 9.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在△ABC中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    10.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）已知满足，问以为边能否构成三角形，若能，求出此三角形的面积，若不能，请说明理由． 勾股定理和勾股定理逆定理综合运用 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 ．    2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积.    3.（23-24内蒙古通辽八上期中）下图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=，AB=26m，BC=24m， ，求这块地的面积． 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 勾股定理 1.（23-24内蒙古通辽八上期中）在中，，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵在中，，， ∴ 故选：C．    2.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）Rt△ABC的两边长分别为6和8，则三边长是 ． 【答案】6，8，10或6，8，2 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2，解得：x＝10； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x＝2． 所以第三边长为10或2． 故答案为：6，8，10或6，8，2 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（    ） A．0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米 【答案】B 【详解】试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理得：梯脚与墙角距离：=0.7（米）． 故选B． 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(　　) A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴AB= ∴S阴影部分=S正方形ABCD - S Rt△ABE=102- =100-24 =76. 故选：C. 5.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，中，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：C 6.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）在△ABC中，且，若点在边上（不含端点）运动，则最短时的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：根据垂线段最短知，当时，的长最小， ∵，， ∴由得， ∴， 此时， ∴点P在边上， 即最短时的值为， 故答案为：． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长度为 ． 【答案】或/8或6 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 第一种情况：等腰三角形的三边长分别为、和， ∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系， ∴等腰三角形的第三边长为； 第二情况：等腰三角形的三边长分别为、和， ∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系， ∴等腰三角形的第三边长为； 综上所述，等腰三角形的第三边长为或， 故答案为：或． 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）在△ABC中，，高，则的长为（        ） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：由题意知，分△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形两种情况求解： ①当△ABC是锐角三角形时，如图1，在锐角中，，边上高， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴； ①当△ABC是钝角三角形时，如图2，在钝角中，，边上高， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为4或14； 故选：C． 9.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，都是格点，则线段的长是（　　）    A．5 B． C．7 D．25 【答案】A 【详解】解：由图可知， 故选：A． 10.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得， 由勾股定理，得， ∵， ∴． ∴， 故选：A． 11.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中画出钝角△ABC，使它的面积为6（画一个即可）； (2)在图2中画出，使它的三边长分别为、、5（画一个即可），并且直接写出此时三角形的面积． 【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求（答案不唯一）， （2）解：如图所示，即为所求（答案不唯一）， 三角形的面积：． 12.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为（−3，0）、（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝＝5， ∵以A为圆心作圆，与x轴交于C， ∴AC＝AB=5， ∴C点坐标为（2，0）或（−8，0）． 故选：D． 13.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，在△ABC中，在数轴上，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在△ABC中，， ∴， 由题意得， ∴， ∵点C表示的数是0， ∴点D表示的数是， 故选：A． 14.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示， 点表示的数为,点表示的数为， ， 由图可得， 点到原点的距离为 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为 即点所表示的数是， 故选：B． 15.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为 ．    【答案】 【详解】∵AB=12，BC=5， ∴AD=5， ∴， 根据折叠可得：AD=A′D=5， ∴A′B=13－5=8， 设AE=x，则A′E=x，BE=12－x， 在Rt△A′EB中：， 解得：． 故答案为： 16.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，有一个矩形纸片沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则的长为 ．    【答案】6 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：6． 17.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 18.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为 ． 【答案】5 【详解】设FC'=x，则FD=9﹣x． ∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C'为AD的中点，∴AD=BC=6，C'D=3． 在Rt△FC'D中，∠D=90°，FC'=x，FD=9﹣x，C'D=3，∴FC'2=FD2+C'D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5． 故答案为5． 19.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是 ． 【答案】4 【详解】解：根据折叠的性质知，EC=AE，∠AEF=∠CEF， ∵AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF=CE， 由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16-AE）2=AE2， 解得，AE=AF=10，BE=6， 作EG⊥AF于点G， 则四边形AGEB是矩形，有AG=6，GF=4，GE=AB=8，由勾股定理得EF=4． 故答案为：4． 20.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5， 过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝5， 即点D到AB的距离为5， 故选：C． 21.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝ ． 【答案】 【详解】解：∵AC＝BC，∠C＝90°， ∴AC＝AB＝2 ， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝∠DAE， ∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD， ∴， ∴AC＝AE，CD=DE， ∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2 ， ∵∠B＝45°，∠DEB＝90°， ∴∠EDB＝∠B＝45°， ∴DE＝BE， ∴CD＝BE＝4﹣2 ， 故答案为：4﹣2． 22.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，△ABC中，，平分，，，则的长是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【详解】过点作于， 平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ∴． 故选：B． 23.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 【答案】4 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴∠ABD=，， ∴， ∵， ∴， 在△ABC和△BDE中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 24.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 【答案】D 【详解】解：设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C． 则阴影部分的面积为：, 根据题意有：， 又∵， ∴， 故阴影部分的面积之和为：． 故选：D． 25.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的边长分别是3、4、1、3，则最大正方形的面积是（   ） A．13 B．26 C．35 D．47 【答案】C 【详解】解：设中间两个正方形的面积分别为，大正方形的面积为， 由题意得：，， ，即最大正方形的面积是， 故选：C． 26.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，P是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于 ． 【答案】18.5 【详解】正方形和正方形的面积分别为，，且，， 正方形的面积 ，，， 四边形的面积． 故答案为：． 27.（23-24内蒙古通辽八上期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵正方形的边长为1，△CDE是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理， ， ……， 由此发现，， ∴． 故答案为： 28.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 【答案】3 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 29.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　） A． B．π C． D．π 【答案】A 【详解】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2， ∴BC＝AC＝1， 由勾股定理得，AB＝， ∴两个月形图案的面积之和＝×π×（）2+×π×（）2+×1×﹣×π×12＝， 故选A． 30.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（　　） A．直角三角形纸片的面积 B．最大正三角形纸片的面积 C．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和 D．较小两个正三角形纸片重叠部分的面积 【答案】D 【详解】解：如图，以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为、、， 则有， ∴， ∴， 即阴影部分的面积等于较小两个正三角形纸片重叠部分的面积， 故选：D． 32.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，大正方形的面积是， ， ， 直角三角形的面积是， ∴直角三角形的面积是， ， ， ， 故选：A． 33.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有 【答案】①②③ 【详解】①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故选项①正确； ②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故选项②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×xy+4=49，化简得2xy+4=49，故选项③正确； ④因为（x+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，所以x+y=，故此选项不正确． 故答案为①②③. 34.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）勾股定理的证明： 如图1，在△ABC中，．求证：．    小丽同学课下探究勾股定理证明方法经历的思考过程： (1)看到要证明的结论，想到小学学习的正方形的面积计算方法是，受此启发，要证明，于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形，如图2，只需证明_____+____即可；    (2)如何将正方形分成两个长方形，使其面积分别等于其余两个正方形的面积呢?此处遇到困难，于是查阅资料，发现欧几里得的《几何原本》中，在图2的基础上作了如图3中的辅助线，小丽尝试理解辅助线是如何想到的．    ①首先过点C作边的垂线，垂足为点M，交于点N，就实现将正方形分成两个长方形的目的，只需证明， _______； ②要想建立正方形和长方形面积的关系，只能将其分别建立与和的面积关系，易得，_____，而（ ）（填推理依据），于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积，小丽通过体验勾股定理的探索过程，发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题． 【详解】（1）解：∵，，， ∴当时，， ∴证明，即可得出． （2）解：①根据作图可知：只需证明：，， 即可证明． ②∵，， ∴； ∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的依据是图形全等． 勾股定理的应用 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）    A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（门的下边为和，门边沿C，D两点到门槛的距离是1尺（1尺寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛的长为 寸． 【答案】101 【详解】解：过点C作，垂足为E， 设单门的宽度是x寸，则，寸， 根据勾股定理，得：， 则， 解得：， 故寸， 故答案为：101 3.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， ∴四边形是矩形， ， ∵， ． 设绳索长x m，则长x m，长， 在中，根据勾股定理得， ， 解得， ， 故选：A． 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 5.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB． 【详解】根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案． 解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD ＝xm，则AC＝（16﹣x）m， 在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2， 即（10+x）2+62＝（16﹣x）2， 解得：x＝， 故AB＝（m）， 答：树高AB为m． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，某火车站内部墙面上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子完成维修工作．梯子的长度为，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处． (1)该火车站墙面破损处A距离地面有多高？ (2)如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？ 【详解】（1）解：根据题意，得在中，，， 由勾股定理，得． ∵， ∴． 答：该火车站墙面破损处距离地面的高度为． （2）解：如图，此时是梯子移动后的位置． ∵在中，，． ∴由勾股定理，得． ∴． 答：梯子底部需要向墙角方向移动． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，甲轮船以24海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口O半小时后分别到达A，B两点，且相距15海里，求：乙轮船每小时航行多少海里? 【详解】∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行， ∴AO⊥BO， ∵甲轮船以24海里/小时的速度航行了一个半小时， ∴OB=24×0.5=12海里，AB=15海里， ∴在Rt△AOB中，AO==9， ∴乙轮船每小时航行9÷0.5=18海里． 8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该城市正南方向260 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向C移动，已知城市A到BC的距离AD＝100 km，那么台风中心经过多长时间从B点移动到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将受到台风的影响，正在D点休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可以免受台风的影响？ 【详解】根据题意，画图得： 在Rt△ABD中，∵AB＝260 km，AD＝100 km， ∴台风中心从B点移动到D点所用的时间为 在D点休息的游人应在台风中心距D点30 km前撤离，30÷15＝2(h)，16－2＝14(h)． 答：在接到台风警报后的14 h内撤离才可以免受台风的影响． 9.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． (1)学校是否会受到影响？请说明理由． (2)如果受到影响，则影响时间是多长？ 【详解】（1）解：学校受到噪音影响．理由如下： 如图：作于B， ∵， ∴， ∵， ∴消防车在公路上沿方向行驶时，学校受到噪音影响． （2）解：如图：以点A为圆心，为半径作交于C、D， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵消防车的速度， ∴消防车在线段上行驶所需要的时间（秒）， ∴学校受影响的时间为32秒． 10.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）如图，长方形区域是一所学校，现打算沿直线规划一条高铁路线，已知，，若距离高铁轨道200米以内时，噪声会影响到学生的学习，以下是学校校长与施工人员的对话： 校长：您好，当前规划的高铁轨道离学校这么近，以后噪声会不会影响学生？ 施工人员：不会的，学校A处离高铁轨道最近，长达 220米，是达到设计要求的，您放心吧！ (1)请你通过计算，利用所学的数学知识说说施工人员说的是否合理； (2)若建设高铁轨道后，一列长度为 228 米的高铁以70 米/秒的速度通过时，学生是否会受到噪声影响？若受影响，求学生受到噪声影响的时间；若不受影响，请说明理由（结果保留整数，提示：，，） 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为G， ∵，，米， ∴米， ∴（米）， ∴， 即， 解得（米）， ∵， ∴学生会收到噪声影响，施工人员的说法不合理． （2）如图，在上找到点P、Q，连接，，使得米， ∴（米）， ∴（米）， 又∵高铁速度为70米/秒， ∴（秒）， 故学生会受到影响，受到噪声影响的时间为5秒． 11.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）2023年呼和浩特努力创造“宜居，宜业，宜学，宜养，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千亩花海成为网红打卡地．某校八年级数学活动小组周末去打卡大黑河花海，如图，四边形为同学们看到的花海区域，为了计算这片花海的面积，该小组进行了实地测量，他们发现如下结果： ①该四边形区域每个顶点都有一棵小树，他们统计了各顶点之间小树的数量，A、B两点间有9棵，A、D两点间有9棵，B、C两点间有7棵，C、D两点间有5棵（已知该区域的四条边中，每相邻跨河大桥的两棵树之间距离相等，都为2米）； ②跨河大桥与大黑河之间的夹角为． 根据以上信息，请你帮他们计算该区域的面积为多少？ 【详解】解：连接， 由题意得：米，米，米， ， ∵，， ∴为等边三角形，    ∴米， 在中，  ， 即， ∴为直角三角形， ∴平方米， 过D作于E， 中，米，米， ∴米， ∴平方米，   ∴该区域面积为（平方米）． 勾股定理最短路径问题 1.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【答案】2 【详解】解：如图所示，杯子内的筷子长，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴圆柱形水杯内的筷子的最大线段的长度为， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为， 故答案为：2． 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八上期中）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程 cm 【答案】 【详解】解：的长就为最短路线． 如图1，若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为， 如图2，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为， 如图3，若蚂蚁沿左面和上面爬行，则经过的路程为； ∵ ， ∴所以蚂蚁经过的最短路程是 ． 故答案为：． 3.（23-24内蒙古通辽八上期中）如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴． 故答案为：． 勾股定理的逆定理 1.（23-24内蒙古霍林郭勒八上期中）下列各式中，属于勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵都不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 2.（23-24内蒙古鄂尔多斯八下期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，3，5 C．，4， D．1，， 【答案】D 【详解】解：A、，则不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，则不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，则不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，则能构成直角三角形，故符合题意； 故选D． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）分别满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（　　） A．三边之比为 B．三边长依次是 C．三边之比为 D．三内角之比为 【答案】D 【详解】解：、设最小边为，，是直角三角形，此选项不符合题意； 、，是直角三角形，此选项不符合题意； 、设最小边为，，是直角三角形，此选项不符合题意； 、根据三角形内角和定理，可得最大角为，不是直角三角形，符合题意； 故选：． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意； B、设， ∵， ∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意； C、设， ∵， ∴此时该三角形是直角三角形，符合题意； D、∵，， ∴，，， ∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC是  (       ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】解： ， 或， 当成立时，△ABC是等腰三角形， 当时，△ABC是直角三角形， 故选：D． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）三角形的三边a、b、c满足（a+b）2－c2＝2ab，则此三角形一定是(    ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】∵(a+b) −c=2ab， ∴a+b=c. 所以为直角三角形. 故选B. 7. （23-24内蒙古乌兰察布八上期中）如图，在直角坐标系中，点，，，则__ 度． 8.    【答案】45 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45．    8.（23-24内蒙古呼和浩特八上期中）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A．110° B．120° C．150° D．160° 【答案】C 【详解】解：连接BD． ∵AB=AD=6，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=6，∠ADB=60°． ∵BC=10，CD=8， 则，， ∴， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=∠ADB +∠BDC =150°． 故选：C 9.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图，在△ABC中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，过B作于G； ∵垂直平分， ∴，， ∴， 当B、E、F三点共线，且即重合时，最小， 从而最小，最小值为线段的长； ∵， ∴． 故答案为：． 10.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）已知满足，问以为边能否构成三角形，若能，求出此三角形的面积，若不能，请说明理由． 【详解】解：， ，，， 解得，或（舍去），， ， 以为边能构成三角形， ， ， 此三角形是直角三角形，此三角形的面积为：， 答：以为边能构成三角形，此三角形的面积为． 勾股定理和勾股定理逆定理综合运用 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八下期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 ．    【答案】/ 【详解】解：连接，    ∵， ∴是等腰直角三角形， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故答案为：． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八下期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积.    【详解】连接BD，    ∵∠C=90°， ∴△BCD为直角三角形， ∴BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，BD＞0， ∴BD=， 在△ABD中， ∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25， ∴AB2+BD2=AD2， ∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6． ∴四边形ABCD的面积是6． 3.（23-24内蒙古通辽八上期中）下图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=，AB=26m，BC=24m， ，求这块地的面积． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵，，， 即， ∴△ABC为直角三角形，． ∴这块地即四边形的面积． 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． 【详解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB， ∴BD2＋CD2＝BC2 ∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144． ∴CD＝12． （2）在△ACD中，∵CD⊥AB， ∴CD2＋AD2＝AC2 ∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256． ∴AD＝16． ∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25． （3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625， ∴AB2＝BC2＋AC2 ∴△ABC是直角三角形． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$