精品解析：江苏省南通市海门区多校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期月考试卷（3月） 九年级 数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，南通第一条地铁正在打造中，耗资约257.92亿元，将“257.92亿”用科学记数法表示为（　　） A. 257.92×108 B. 2.5792×1010 C. 0.25792×1011 D. 25.792×108 4. 如图1是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体，变成如图2所示的几何体，则移动前后（ ） A. 主视图改变，俯视图改变 B. 主视图不变，俯视图改变 C. 主视图不变，俯视图不变 D. 主视图改变，俯视图不变 5. 解一元二次方程时，配方后得到方程，则c等于（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 6. 如图，在中，， ，分别是边 上的中线和高，若，，则 的长为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题4分，共30分） 11. 分解因式： =___． 12. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 13. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 14. 如图，， 分别交直线 、于点、 ，，若，则__________度． 15. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为______． 16. 如图所示，测得两幢大楼 、的间距，，从C处看A的俯角为，从D处看B的俯角为，则 的高度为 ____________________m．（结果保留根号） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点作 轴的垂线与射线 交于点若，则的值为______ ． 18. 如图， 中，，，以 为斜边按、 、 顺时针方向排列，构造，且，连接 ，则线段 的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. （1）求值：，其中； （2）解方程：． 20. 在一个不透明的盒子里装有4个小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，其中红球分别写有数字1，2，白球分别写有数字3，4．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后不再放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字． （1）第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为_______； （2）请你用列表法或树状图的方法（只选其中一种）求出两次取出小球上的数字之积为奇数的概率． 21. 在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，AC平分，D是AC上的一点，．若______，求证：． 22. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于 分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 23. 如图，、是 的切线，是切点， 是 的直径，连接，交 于点 ，交 于点 ． （1）求证：； （2）若 恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积． 24. 小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． （2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 25. 如图，在菱形四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，点P为直线BD上的动点不与点B重合，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段PE，连接CE、BE． 问题发现 如图1，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为______；______ 拓展探究 如图2，当点P在线段BO延长线上时，的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； 问题解决 当时，请直接写出线段AP的长度． 26. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则把该函数称之为“函数”． （1）在下列关于x的函数中，是“函数”的是________（填序号）； ①，②，③ （2）若关于x的函数（h为常数）是“函数”，与（m为常数，）相交于A（，）、B（，）两点，A在B的左边，，求m的值； （3）若关于x的“函数”（a，b为常数）经过点（，1），且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期月考试卷（3月） 九年级 数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算错误； B、，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D 2. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 3. 据报道，南通第一条地铁正在打造中，耗资约257.92亿元，将“257.92亿”用科学记数法表示为（　　） A. 257.92×108 B. 2.5792×1010 C. 0.25792×1011 D. 25.792×108 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：257.92亿＝25792000000＝2.5792×1010， 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图1是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体，变成如图2所示的几何体，则移动前后（ ） A. 主视图改变，俯视图改变 B. 主视图不变，俯视图改变 C. 主视图不变，俯视图不变 D. 主视图改变，俯视图不变 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据三视图的性质，分别得到将正方体变化前后的主视图和俯视图，依此即可得到答案． 【详解】正方体移走前的主视图每列正方形的个数，从左到右依次为1，2，1；正方体移走后的主视图每列正方形的个数，从左到右依次为1，2，1；不发生改变． 正方体移走前的俯视图每列正方形的个数，从左到右依次为3，1，1；正方体移走后的俯视图每列正方形的个数，从左到右依次为：2，1，2；发生改变． 故选：B． 5. 解一元二次方程时，配方后得到方程，则c等于（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c. 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键. 6. 如图，在中，，，分别是边 上的中线和高，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得即可． 【详解】解：∵是高，，， ∴， ∴， ∵，是中线， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点 ，则关于的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，根据图象直接进行求解，解题的关键是读懂图象，获取信息，熟练掌握一次函数与不等式得关系． 【详解】∵一次函数与正比例函数， 的图象交于点， ∴当时，， 故选：． 8. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设清酒斗，根据清酒、醑酒分别消耗的谷子总量等于持有的30斗谷子来列方程． 【详解】∵设清酒斗，共换得5斗酒， ∴醑酒的数量为斗， ∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，持粟30斗， ∴斗清酒花费斗谷子，斗醑酒花费斗谷子， ∴可列方程为， 故选：A． 9. 已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根与系数之间的关系，把点和代入解析式，求出，根与系数的关系得到，进而求出的范围，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，另一个交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故a的取值可能是； 故选：D． 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可． 【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M， 在等边△ABC中，∠ACB＝60°， 在Rt△DEF中，∠F＝30°， ∴∠FED＝60°， ∴∠ACB＝∠FED， ∴ACEF， 在等边△ABC中，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2， ∴S△ABC＝BC•AM＝4， ①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG， 由题意可得CD＝x，DG＝x ∴S＝CD•DG＝x2； ②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC， 由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x）， ∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4， ③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M， 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG， 由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4， ∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x， ∴BM＝4﹣x 在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x）， ∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝（x﹣8）2， 综上，选项A的图像符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题4分，共30分） 11. 分解因式： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式中被开方数的取值范围即二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键． 13. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴，即， 解得OE=60cm． 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方． 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 14. 如图，， 分别交直线、于点、 ，，若，则__________度． 【答案】65 【解析】 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为65 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．先写出平移后的解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为， ∵平移后经过原点， ∴， 解得， 故答案为：3． 16. 如图所示，测得两幢大楼 、的间距，，从C处看A的俯角为，从D处看B的俯角为，则 的高度为 ____________________m．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，垂足为E，在中，求出 ，在中，求出，再根据求出． 【详解】解：过点A作，垂足为E， 由题意得：， ， 在中， ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是构造直角三角形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点作轴的垂线与射线 交于点若，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点 ，设直线 与轴交于点 ，根据，得，所以，即可得到点点，，代入即可求出答案． 【详解】解：如图，作轴于点 ，设直线 与轴交于点 ， 点，，， 点，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴点，， 点A，是函数图象上的两点， ∴， 解得， ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据，得，求出． 18. 如图， 中，，，以 为斜边按、 、 顺时针方向排列，构造，且，连接，则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以 为斜边作的，连接，证明，得出则 在以 为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，最大，即可求解． 【详解】解：如图所示， 以 为斜边作的，连接， 则 ∴， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 则 则 在以 为圆心，为半径的圆上运动， ∵ 当三点共线时，最大，最大值为 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. （1）求值：，其中； （2）解方程：． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减，最后把相应的值代入计算即可； （2）方程两边同乘以，化成整式方程，再解一元一次方程即可得解． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 所以方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程、整式乘法的求值，熟练掌握整式的运算法则和分式方程的解法是解题关键． 20. 在一个不透明的盒子里装有4个小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，其中红球分别写有数字1，2，白球分别写有数字3，4．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后不再放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字． （1）第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为_______； （2）请你用列表法或树状图的方法（只选其中一种）求出两次取出小球上的数字之积为奇数的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格，然后用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【小问1详解】 ∵4个球中有1个球写有数字2， ∴第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 用表格列出所有可能的结果： 第二次摸球 第一次摸球 1 2 3 4 1 　 （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） 　 （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） 　 （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） 　 由表格可知，共有12种等可能的结果，并且它们的出现是等可能的．“两次取出小球上的数字之积为奇数”记为事件A，它的发生有（1，3）和（3，1）这2种可能， 所以事件A发生的概率 21. 在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，AC平分，D是AC上的一点，．若______，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】选②，根据角平分线的性质可得∠EAD＝∠BAC．由三角形的内角和定理可得，，即可求解，若选③，证明，即可求解． 【详解】若选②； 证明：∵AC平分∠BAE， ∴∠EAD＝∠BAC． ∵∠E＝∠C， ∴． ∵，． ∴∠ADE＝∠ABC． 若选③， 证明：∵AC平分∠BAE，∴． 在△ABC和△ADE中， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形求得的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 22. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于 分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为，平均成绩为：， 八年级优秀率为，平均成绩为：， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第 名学生为 分，进而求得，的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为 ∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为 故答案为：． 【小问2详解】 ∵八年级名学生活动成绩的中位数为分， 第名学生为分，第 名学生为 分， ∴， ， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． 23. 如图，、是的切线，是切点， 是的直径，连接，交于点 ，交 于点 ． （1）求证：； （2）若 恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明： ，是的切线， ∴， 又∵， 垂直平分线段 ， ∴， 又 是的直径， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（ ）由切线长定理得，又由可得垂直平分线段 ，即得，由 是的直径，得，可得 ，即可得； （ ）先证明四边形是菱形，得到，即得是等边三角形，得到，，进而得，可得，再利用勾股定理得，由四边形的面积为得，设 为，则，即得，求出，得到，，，再根据计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 点 是的中点， 与 互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ， ∴是等边三角形， ， ， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为， ， ∴， 设 为，则， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，求弓形面积，掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 24. 小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． （2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【答案】（1）0.125；0.5 （2） 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟， 小华返回学校的速度为：千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：． 25. 如图，在菱形四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，点P为直线BD上的动点不与点B重合，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段PE，连接CE、BE． 问题发现 如图1，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为______；______ 拓展探究 如图2，当点P在线段BO延长线上时，的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； 问题解决 当时，请直接写出线段AP的长度． 【答案】（1），（2）成立（3）AP的长为4或 【解析】 【分析】问题发现 连接AE，根据菱形的性质可得，，，根据线段垂直平分线的性质可得，由旋转的性质可得是等边三角形，可得，，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的判定，可证，由菱形的性质可得，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，即可得； 拓展探究 由等边三角形的性质可得，，，可得，根据“SAS”可证≌，可得，，即可得； 问题解决 分点E在AC左侧，点E在AC右侧两种情况讨论，根据直角三角形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求点P的坐标． 【详解】问题发现,如图，连接AE， 四边形ABCD是菱形，， ，，， 垂直平分AC， ， 旋转 ，， 是等边三角形 ， ， 是等边三角形，， ， ， 故答案为， 拓展探究 结论仍然成立， 如图，连接AE， 由可知：， 都是等边三角形， ，， ，且，， ≌ ， 结论仍然成立； 问题解决 如图，当点E在AC左侧时， ， ，且 与AB重合， ，， ， ， 是等边三角形 此时点P与点D重合 如图，若点E在AC右侧时， ，， ， ， ，，， ，， ， ， 在中， 是等边三角形 综上所述：AP的长为4或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 26. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则把该函数称之为“函数”． （1）在下列关于x的函数中，是“函数”的是________（填序号）； ①，②，③ （2）若关于x的函数（h为常数）是“函数”，与（m为常数，）相交于A（，）、B（，）两点，A在B的左边，，求m的值； （3）若关于x的“函数”（a，b为常数）经过点（，1），且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求t的值． 【答案】（1）② ③ （2）4 （3）t＝或t＝ 【解析】 【分析】（1）根据定义分析判断即可； （2）作出图形，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点，由xB﹣xA＝5，设CN＝x，则MC＝5﹣x，则B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），根据轴对称的性质以及反比例函数的性质可得（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，继而求得的值，即可求得的坐标，根据反比例函数的意义即可求得 的值； （3）根据题意以及二次函数的性质，待定系数求二次函数解析式，进而分类讨论，根据，即可求得的值． 【小问1详解】 解：根据定义，函数关于直线（n为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形 ①的图象是中心对称图象，不符合题意； ②，③的图象是轴对称图形，符合题意， 故答案为：② ③ 【小问2详解】 ∵y＝|x-h|是“X（3）”函数， ∴h＝3， 如图，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点， ∴C（3，0），D（0，﹣3）， ∴∠BCN＝∠OCD＝45°， 由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∵xB﹣xA＝5， ∴MN＝5， 设CN＝x，则MC＝5﹣x， ∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x）， ∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0， ∴x＝1， ∴B（4，1）， ∴m＝4； 【小问3详解】 由题意得， 解得， ∴此“X（n）函数”为y＝﹣x2+2x+4， ①当t＜1时， x＝t时，y1＝﹣t2+2t+4， x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， y1﹣y2＝（﹣t2+2t+4）﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝﹣2t+3＝， ∴t＝（舍）； ②当t﹣1≥1，即t≥2时， x＝t﹣1时，y1＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， x＝t时，y2＝﹣t2+2t+4， y1-y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4﹣（﹣t2+2t+4）＝2t﹣3＝， ∴t＝（舍）； ③当1≤t＜时， x＝1时，y1＝5， x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， y1﹣y2＝5﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝t2﹣4t+4＝， ∴t＝，又因为1≤t＜， ∴t＝ ④≤t＜2时， x＝1时，y1＝5， x＝t时，y2＝﹣t2十2t+4， y1﹣y2＝5﹣（﹣t2+2t+4）＝t2﹣4t+4＝， ∴t＝，又因为≤t＜2， ∴t＝ 综上所述：t＝或t＝． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，根据新定义以及轴对称的性质求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $