精品解析：山东省济宁市微山县实验中学教育集团2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年第二学期第一次月考数学试题 实验中学教育集团 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算，逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A. a＝2，b＝4，c＝6 B. a＝4，b＝6，c＝8 C. a＝4，b＝8，c＝10 D. a＝6，b＝8，c＝10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】A、∵42+22≠62， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵42+62≠82， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵82+42≠102， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵62+82＝102， ∴能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 4. 若最简二次根式与能合并，则a的值为（ ） A. B. C. ﹣1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式与是同类二次根式，则被开方数相等，即可求得a的值． 【详解】根据题意得：1＋2a＝5−2a， 解得：a＝1． 故选：D． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是知道同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 5. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（ ） A. BC∥AD B. BC=AD C. AB=CD D. ∠A+∠B=180° 【答案】B 【解析】 【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：根据平行四边形的判定， A、AB∥CD，BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形； C、AB∥CD，AB=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形； D、AB∥CD，由∠A+∠B=180°，∴BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形； B、添加BC=AD，则不能判定是平行四边形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 6. 华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图： （米， （米， （米， 故选：C． 7. 如图所示，四边形是边长为的正方形，，则数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC,根据勾股定理求出其长度, ,再减1求相反数即为点P表示的数. 【详解】解:如图,连接AC, 在中, , 所以, 所以, 所以点表示的数为. 故选:D. 【点睛】本题主要考查在数轴上用勾股定理求无理数长度的线段,熟练掌握该方法是解答关键. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】】由将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，先求出AC'长度，再设CD=C'D=x，Rt△AC'D中用勾股定理列方程，即可得到答案． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴， ∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处， ∴BC'=BC=6，∠BC'D=∠C=90°，CD=C'D， ∴AC'=AB-BC'=4，∠AC'D=90°， 设CD=C'D=x，则AD=AC-CD=8-x， Rt△AC'D中，AC'2+C'D2=AD2， ∴42+x2=（8-x）2，解得x=3， ∴C'D=3， ∵∠BC'D=90°， ∴点D到AB的距离为C'D=3． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是在Rt△AC'D中，用勾股定理列方程． 9. 给出下列命题： ①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边a、b、c满足，则； ③中，若，则是直角三角形； ④中，若，则这个三角形是直角三角形． 其中，假命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和逆定理，三角形内角和定理，命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 利用分类讨论对①进行判断；根据勾股定理的逆定理对②④进行判断；根据三角形内角和计算出的度数，然后根据三角形分类对③进行判断． 【详解】解：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或， 所以①为假命题； 三角形的三边a、b、c满足，则， 所以②为假命题； 中，若，则， 所以是直角三角形， 所以③为真命题； 中，若，则， 所以这个三角形是直角三角形， 所以④为真命题． 故选：B． 10. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，可看作两直角边分别为和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，然后根据两点之间线段最短得到当与共线时，为最小，即的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 可看作两直角边分别为和1的的斜边长， 可看作两直角边分别是和2的的斜边长． ∴求的最小值即求的最小值， 当与共线时，为最小，即的长． 连接， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是5． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为__________cm． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】先分类讨论，①当5cm长的边为直角边时，②当5cm长的边为斜边时，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】①当5cm长的边为直角边时， 第三边长为cm， ②当5cm长的边为斜边时， 第三边长为cm， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键． 12. 由4个直角边分别是、全等的直角三角形拼接而成的图形如图所示，如果图中大小正方形的面积分别为52和4，则=________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据勾股定理得到大正方形面积为，小正方形的面积为，利用完全平方公式即可求出结果． 【详解】解：由题意可知 ， ∵ ∴ 即 故答案为10 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、完全平方公式，勾股定理与正方形面积相结合并灵活运用完全平方公式是解题的关键． 13. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【详解】∵， ∴c2－a2－b2=0，且a－b=0． 由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2， ∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形． 又由a－b=0得a=b， ∴△ABC为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 14. 如图所示，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、数轴、绝对值等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 根据数轴可得、，再根据二次根式的性质、绝对值进行化简，最后合并同类项即可解答． 【详解】解：由数轴可得：，， 则． 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点E，于点F，则的长度和为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作交于点D，由得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案． 本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点D， 则，即， 为等边三角形， ，, ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解． 【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144， ∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，解题的关键是根据运算法则进行计算即可． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质，零指数幂运算法则和绝对值意义进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号内的加法，再算乘法，最后代入求出即可． 【详解】解： = = =， 当=2-2-2=-2时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 19. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形的面积和周长； （2）是直角吗？请说明理由． 【答案】（1）四边形的面积为，周长为 （2）是直角， 理由如下， 由勾股定理得， ， ∵， ∴是直角． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理；勾股定理逆定理，数形结合是解题的关键； （1）根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案； （2）根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， ，，，， 则四边形的周长为 由图形可得， ； 【小问2详解】 略 20. 如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．利用四边形和是平行四边形，证明，，，则可得，继而证得结论． 【详解】略 21. 如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，于点F． （1）若，求的长； （2）若，求证：为直角三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵是的垂直平分线， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的垂直平分线，求出，设，则，根据勾股定理得出，即，求出x的值； （2）设，则，，根据勾股定理得出，取出，得出，根据，得出为直角三角形． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中， 即， 解得：， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质以及直角三角形的等面积法，熟知相关知识是解决本题的关键． 22. 观察下列等式： ①； ②； ③ 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：． 【答案】（1） （2）22 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母两个数的差是分母有理化的关键． （1）根据观察，可发现规律：，根据规律，可得答案； （2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化，即可得解． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 23. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动． （1）当运动时间t为多少秒时，PQ∥CD． （2）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）当运动时间t为1.5秒时，PQ∥CD；（2）当运动时间t为1或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据题意得：AP=t，CQ=3t，（1）根据平行四边形性质得6-t=3t；（2）①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：3t-8=6-t；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：8-3t=6-t. 【详解】根据题意得：AP=t，CQ=3t， ∵AD=6，BC=16， ∴PD=AD-AP=6-t； （1）∵AD∥BC， ∴当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，此时PQ∥CD， ∴6-t=3t， 解得：t=1.5； ∴当运动时间t为1.5秒时，PQ∥CD． （2）∵E是BC的中点， ∴BE=CE=BC=8， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 3t-8=6-t， 解得：t=3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得： 8-3t=6-t， 解得：t=1， ∴当运动时间t为1或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． ​ 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定和性质.根据题意列出方程是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第一次月考数学试题 实验中学教育集团 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A. a＝2，b＝4，c＝6 B. a＝4，b＝6，c＝8 C. a＝4，b＝8，c＝10 D. a＝6，b＝8，c＝10 4. 若最简二次根式与能合并，则a的值为（ ） A. B. C. ﹣1 D. 1 5. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（ ） A. BC∥AD B. BC=AD C. AB=CD D. ∠A+∠B=180° 6. 华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 7. 如图所示，四边形是边长为的正方形，，则数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 给出下列命题： ①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边a、b、c满足，则； ③中，若，则是直角三角形； ④中，若，则这个三角形是直角三角形． 其中，假命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为__________cm． 12. 由4个直角边分别是、全等的直角三角形拼接而成的图形如图所示，如果图中大小正方形的面积分别为52和4，则=________． 13. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 14. 如图所示，______． 15. 如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点E，于点F，则的长度和为______． 16. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值，其中 19. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形的面积和周长； （2）是直角吗？请说明理由． 20. 如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：． 21. 如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，于点F． （1）若，求的长； （2）若，求证：为直角三角形． 22. 观察下列等式： ①； ②； ③ 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：． 23. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动． （1）当运动时间t为多少秒时，PQ∥CD． （2）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $