2024-2025学年八年级下册数学北师大版第四章 因式分解单元复习题

北师大版八年级数学下册第四章 因式分解单元复习题 一、单选题 1．将多项式进行因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 2．与的公因式是（　　） A． B．4mm C．2mn2 D． 3．下列变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法错误的个数是（　　） ①用反证法证明“已知：中， ， 求证：”时，应假设 ②“到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的逆命题是真命题 ③在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ④多项式与的公因式为 A．个 B．个 C．个 D．个 6．把多项式ax3﹣2ax2+ax分解因式，结果正确的是（　　） A．ax（x2﹣2x） B．ax2（x﹣2） C．ax（x+1）（x﹣1） D．ax（x﹣1）2 7．若可以分解为，则的值为(　　) A． B． C． D． 8．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 9．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 10．下列因式分解中，正确的是（　　） A．ax-bx=x（a+b） B． C． D． 二、填空题 11．因式分解：a2+3a=a　 　 12．已知a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则代数式的值为　 　 13． 若，则　 　 ． 14．分解因式： 　 　. 三、解答题 15．因式分解下列各题： （1）． （2）． 16．把下列各式分解因式． （1）； （2）； 17．【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若，则______； （2）若有一个因式是，求的值及另一个因式． （3）若多项式有因式和，求、的值 18．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ∵，∴， ∴，，∴，， ∴． 请你根据小明的解析过程，解决如下问题： （1） ； （2）化简：； （3）若，求的值． 19．在“互联网+”时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式如多项式：，因式分解的结果为，当时，．此时可以得到数字密码171920，191720等． （1）根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？（直接写出两个） ____________________，____________________． （2）若一个直角三角形的周长是，斜边长为，其中两条直角边分别为，，求出一个由多项式分解因式后得到的密码． 20．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ； 拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 21．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： （1）根据材料1将因式分解； （2）根据材料2将因式分解； （3）结合材料1和材料2，将因式分解． 22．如果一个数能表示成（，是整数），我们称这个数为“好数”. （1）写出10，11，12，…，20中的“好数”. （2）如果，都是“好数”，请分别判断和一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由. 23． （1）已知二次三项式2x2 +9x-k中有一个因式是2x-1，求另一个因式以及k的值． （2）已知当x=-2时，多项式x3- 3x2-4x+m的值为0．试将这个多项式分解因式． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 【解析】【解答】原式=ax（x2﹣2x+1）=ax（x﹣1）2， 故答案为：D． 【分析】先提取公因式ax，再根据完全平方公式把x2﹣2x+1继续分解即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：（x-2）（x+b）=x2+bx-2x-2b =x2+（b-2）x-2b， ∵x2-ax-2可以分解为（x-2）（x+b）， ∴b-2=-a，-2b=-2， 解得：a=1，b=1． ∴a-b=0， 故答案为：D． 【分析】 先对（x-2）（x+b）进行变形，再根据已知条件即可求出a，b的值，最后代入即可。 8．【答案】B 9．【答案】C 【解析】【解答】解：A、x2-1=(x+1)(x-1)，可以利用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、x2-2x=x(x+2)，可以利用提取公因式法分解因式，故此选项不符合题意； C、x2+2x+1=(x+1)2，可以利用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； D、x2-2x-1，不能在实数范围内分解因式，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就可以利用完全平方公式分解因式，据此逐项判断得出答案. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：选项A中，ax-bx=x（a-b），等号右边不是x（a+b），∴选项A错误； 选项B中，-xy2+2xy-y=-y（xy-2x+1），等号右边不是-y（xy-2x-1），∴选项B错误； 选项C中，-1+y2=y2-1=（y+1）（y-1）.正确； 选项D中，a2+6a-9不能分解成（a+3）2，∴选项D错误. 故答案为：C. 【分析】先用加法交换律把-1+y2 变成y2-1，再用平方差公式因式分解. 11．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】本题考查因式分解.观察题目式子可知两项都含有公因式a，提取公因式a，可分解出因式. 12．【答案】3 【解析】【解答】解：∵a＝2022x+2023，b＝2022x+2024，c＝2022x+2025， ∴a-b＝-1，a﹣c＝-2，b-c＝-1， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 故答案为：3. 【分析】根据等式性质可以得到a-b，a-c，b-c的值，然后将所求式子利用配方法及分组分解法分解因式变形，最后将a-b，a-c，b-c的值代入变形后的式子计算即可． 13．【答案】 【解析】【解答】∵， ∴， 故答案为：. 【分析】将代入计算即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解： . 故答案为： . 【分析】利用完全平方公式将第一项展开，再合并同类项化简为最简形式，然后利用完全平方公式分解即可. 15．【答案】（1） （2） 16．【答案】（1）； （2）． 17．【答案】（1）1 （2），， （3），． 18．【答案】（1） （2） （3） 19．【答案】（1），，，，，（任选两个即可） （2）或 20．【答案】（1）；（2）；（3） 21．【答案】（1） （2） （3） 22．【答案】（1）解：“好数”有：10、13、16、17、18、20. （2）解：∵一个“好数”能表示成（，是整数）. ∴一个数能够表示成两个整数的平方和，这个数即为“好数”. 判断：不一定是“好数”，举反例如下（其他反例均可） 若，，则、均为“好数”. 但，而3不能写成两个整数的平方和，不是“好数” ∴当、为“好数”时，不一定是“好数” 判断一定是“好数”，理由如下： ∵、为“好数” ∴可设，（a、b、c、d均为整数） 则 ∵a、b、c、d均为整数 ∴、肯定也为整数 ∴一定是“好数” 【解析】【分析】（1）根据“好数”的意义判断，即可求得. （2）举反例即可判断m+n不是“好数”，设，，则=，即可求得. 23．【答案】（1）解：设另一个因式为 ， 则 ， 解得 ∴ 另一个因式为 的值为 5 . （2）解：把 代入 x3- 3x2-4x+m =0，得(－2)3－3×(－2)2－4×(－2)+m=0， 解得：， 当 时， 原式 . 【解析】【分析】（1）设另一个因式为 ，可得，将等号右边利用整式乘法去括号，利用等式的恒等性可得关于k和n的方程，求解即可； （2）把 代入 x3- 3x2-4x+m=0，得 ， 再把m=12代入x3- 3x2-4x+m分解因式即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$