数学（上海卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（上海卷） 数学·全解全析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各数中，一定是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解析】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2．用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程变成，再去分母即可得到答案． 【解析】解： 设，则， ∴原方程为，即， 故选：A． 3．某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（　　） 成绩（环） 7 8 9 10 次数 1 4 3 2 A．8、8 B．8、8.5 C．8、9 D．8、10 【答案】B 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【解析】由表可知，8环出现次数最多，有4次，所以众数为8环； 这10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数，即中位数为=8.5（环）， 故选B． 【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 4．下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的性质．一次函数的性质进行解答． 【解析】解：A．∵开口向下，对称轴是直线，且函数图像过点， 则函数图像过一．三．四象限，故本选项符合题意； B．∵的系数， ∴函数图像过二．四象限，故本选项错误； C．在中，，， 则函数过一．二．三象限，故本选项错误； D．∵中，， ∴函数图像过二．四象限，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的图象与性质．一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置． 5．已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判断条件，即可解答． 【解析】解：不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； ，，平行四边形是矩形，不一定是菱形，故B不符合题意； 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； ， ，同B中原理，故D不符合题意，    故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键． 6．如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆相切分为外切合内切两种情况，据此分与和一内切和一外切，与和两两外切，与和两两内切，三种情况画出示意图求解即可． 【解析】解：如图所示，与和一内切和一外切有两种情况，与和两两外切有两种情况，与和两两内切有两种情况， 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂运算，准确计算是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算； 【解析】解：， 故答案为：． 8．分解因式 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 利用提公因式法分解因式即可． 【解析】． 故答案为：． 9．二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【解析】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 10．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域，为自变量的取值范围，即分母不为0． 【解析】函数的定义域为，即． 故答案：． 【点睛】本题考查了自变量的取值范围、分式有意义的条件，准确把握分式有意义的条件是解答此题的关键． 11．如果从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是 ． 【答案】 【分析】根据从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任意选取一个数，得出的数是素数的结果有3种，再根据概率公式即可得出答案． 【解析】解：∵从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任取一个数，那么取到的数恰好是素数的有2、3、5、7共3个， ∴取到的数恰好是素数的概率=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12．已知梯形的中位线长为，高为，则此梯形的面积为 ． 【答案】50 【分析】根据中位线线性质可知梯形（上底下底），再由梯形面积公式代值求解即可得到答案． 【解析】解： 梯形的中位线长为，高为， 由梯形中位线性质可知（上底下底）， 此梯形的面积为（上底下底）高， 故答案为：． 【点睛】本题考查梯形中位线性质及梯形面积公式，熟记梯形中位线性质及梯形面积公式是解决问题的关键． 13．为了解全区4000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为 人． 【答案】1200 【分析】本题考查的是频率分布直方图，熟练掌握频率直方图的意义是解题的关键． 先根据频率分布直方图，得到从左至右前四组的频率，进而得出后两组的频率之和，最后根据总数频率，即可得到全区体重不小于60千克的学生人数． 【解析】解：由题意得，其中从左至右前四组的频率为， ∴后两组的频率之和为：， ∴全区体重不小于60千克的学生人数约为：人， 故答案为：1200． 14．若方程组有实数解，则实数k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据方程组有实数根，得到，进行求解即可． 【解析】解： 由②，得：， 把，代入①，得：， 整理，得：， ∵方程组有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元二次方程组．解题的关键是将二元二次方程组转化为一元二次方程，利用根的判别式进行求解． 15．某公司产品的销售收入元与销售量x吨的函数关系记为，销售成本与销售量x的函数关系记为，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨． 【答案】4 【分析】分别求出，的函数关系式，然后联立两关系式即可求出答案． 【解析】解：设， ∴，， ∴， ∴， 联立，解得， ∴当销售收入与销售成本相等时，销售量x为4吨， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 16．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得结果． 【解析】解：∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 17．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为，则，利用勾股定理结合得到，解得，则，可设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出． 【解析】解：在中，令，则， ∴， 在中，令，则，解得或， ∴， ∴， 设点D的坐标为，则 ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线经过A、B， ∴可设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正确求出点D的坐标是解题的关键． 18．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论，于没有交点时和于有交点时，根据含角的直角三角形的性质，结合平行线分线段成比例，即可求解． 【解析】解：是直角三角形，，， ，， ①如图，当时，设的延长线交于点，则， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， 又点是的中点， ， ，即， ； ②如图，当时，设交于点，则， 同理可得，， ， ，即， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，中点的性质，含角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的性质、特殊角的三角形函数值、零指数幂和负整数指数幂运算法则进行运算，然后相加减即可． 【解析】解：原式 ． 20．解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组得整数解. 【解析】解：， 解不等式①得：x≥-1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组的解集为：-1≤x＜2， ∴不等式组的整数解为：-1，0，1. 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点. （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将A点坐标代入直线y=x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线BC的解析式为y=x+b，由同底等高的两三角形面积相等可得△ACO与△ABO面积相等，根据△ABO的面积为，列出方程OC•2=，解方程求出OC=，即b=，进而得出直线BC的解析式． 【解析】（1）（1）∵直线y=x过点A（m，1）， ∴m=1，解得m=2， ∴A（2，1）． ∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（2，1）， ∴k=2×1=2， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）连接AC， 由平行线间的距离处处相等可得△ACO与△ABO面积相等，且△ABO的面积为， ∴△ACO的面积=， ∴ ∴直线的解析式 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 22．如图1，已知梯形中，，，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2） (1)求的度数以及和的长（和的长用含的式子表示）； (2)请画出一个用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没有空隙） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据等面积法得出，再证明，则，，即可作答． （2）结合解直角三角形的性质，在，，则，即可作图进行作答． 本题考查了相似三角形的性质，等腰梯形，等边三角形的性质，解直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解析】（1）解：∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2）， ∴，，， 如图所示：在图1中，过点A作，记图1的梯形的高为， 在图2中，过点E作，过点T作，图2的大梯形的高为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （2）解：如图1，且，，四边形是等腰梯形， ∴， 在，， ∴， ∵用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形， ∴满足题意的等边三角形如图所示： 23．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF． (1)求证：： (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明；再通过两组对边平行证明四边形AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等 （2）利用平行四边形对边平行，得到，再将题目条件转化为，利用边角边证明，最后利用相似对应角相等，即可得到结论 【解析】（1）∵，∴ ∠AEB=∠DCE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形AFCD是平行四边形 ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 在与中 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点 24．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）且． 【分析】（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可； （2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，根据三角函数值可证明，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联立等式求解即可； （3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可． 【解析】（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点， ， ， C点在D点的左侧，C(m-2，0)， 又点P与点C重合，， m-2=1，m=3， ，A(3，4)，P(1，0)， ； （2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入， 得， 顶点A在第一象限，m=2， =，当x=1时，y=3，P(1，3)， 如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点， ，， ， 设PQ延长线与x轴交于点G（x，0）， 又OG=PG，，解得x=5， 检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解， G（5,0）， 设直线PG的解析式为：y=kx+b， 将P，G两点坐标代入得，求得 ， PG所在直线的解析式为， 联立直线PG和抛物线解析式可得 ， 解得或，Q； （3）如图3，点在该抛物线上，代入中， ，， 又抛物线与y轴交于点B，B（0，）， 设直线BP的解析式为：y=kx+b， 代入B、P两点，， 则，直线BP的解析式为：， 令y=0，， 直线与x轴的负半轴相交， ， 或， 解得m<-2或<m<2， 又顶点A在第一象限，m>0, 点A与点P不重合，， 综上所述，且． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键． 25．如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点． (1)求证：； (2)设的中点为点， ①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值； ②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)①    ② 【分析】（1）根据等边对等角可得，再利用三角形的内角和定理得到结论； （2）①连，根据正十边形的中心角可得，推出，根据对应边成比例解题即可；②由，得，过点D作于点，则，等量代换得到的值，然后根据，求出的长，再利用勾股定理求出半径长即可． 【解析】（1）证明：，， ∴， ∴，， ∴， （2）①连， ∵D是BC的中点， ∴ ∴为圆的直径， 联结，设经过、、三点的圆半径为r， 弦恰好是正十边形的一条边， ∴， ∴， 又∵O、D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 则，即， 解得（舍）， ∴， ②∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设， 由①可知，， ∴， ∴， ∴，即 如图，过点D作于点， 在中， ， ∴， 解得， ∴，， ∵，M是所在圆的半径， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴, ∴， ∴，即 解得， 联结， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，综合性较强，是压轴题，解题的关键是作辅助线构造三角形相似． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（上海卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 ( 一、选择题（ 本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（ 本大题共12题，每题4分，共48分 ） 7 ． ___________ 8 . ___________ 9 .___________ 10 .____________ 11 . ____________ 12 . ____________ 13 .___________ 14 .____________ 15 . ____________ 16 . ____________ 17 .___ ________ 18 .____________ 三、解答题（.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （10分） 21 ． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ． （10分） 25 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 11 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ． （14分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（上海卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各数中，一定是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 3．某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（　　） 成绩（环） 7 8 9 10 次数 1 4 3 2 A．8、8 B．8、8.5 C．8、9 D．8、10 4．下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（　　） A． B． C． D． 5．已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算 ． 8．分解因式 ． 9．二次根式的有理化因式可以是 ． 10．函数的定义域为 ． 11．如果从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是 ． 12．已知梯形的中位线长为，高为，则此梯形的面积为 ． 13．为了解全区4000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为 人． 14．若方程组有实数解，则实数k的取值范围是 ． 15．某公司产品的销售收入元与销售量x吨的函数关系记为，销售成本与销售量x的函数关系记为，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨． 16．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    17．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ． 18．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点. （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式. 22．如图1，已知梯形中，，，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2） (1)求的度数以及和的长（和的长用含的式子表示）； (2)请画出一个用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没有空隙） 23．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF． (1)求证：： (2)如果，求证：． 24．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 25．如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点． (1)求证：； (2)设的中点为点， ①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值； ②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（上海卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各数中，一定是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 3．某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（　　） 成绩（环） 7 8 9 10 次数 1 4 3 2 A．8、8 B．8、8.5 C．8、9 D．8、10 4．下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（　　） A． B． C． D． 5．已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算 ． 8．分解因式 ． 9．二次根式的有理化因式可以是 ． 10．函数的定义域为 ． 11．如果从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是 ． 12．已知梯形的中位线长为，高为，则此梯形的面积为 ． 13．为了解全区4000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为 人． 14．若方程组有实数解，则实数k的取值范围是 ． 15．某公司产品的销售收入元与销售量x吨的函数关系记为，销售成本与销售量x的函数关系记为，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨． 16．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    17．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ． 18．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点. （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式. 22．如图1，已知梯形中，，，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2） (1)求的度数以及和的长（和的长用含的式子表示）； (2)请画出一个用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没有空隙） 23．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF． (1)求证：： (2)如果，求证：． 24．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 25．如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点． (1)求证：； (2)设的中点为点， ①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值； ②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第二次模拟考试（上海卷） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．___________ 8. ___________ 9.___________ 10.____________ 11. ____________ 12. ____________ 13.___________ 14.____________ 15. ____________ 16. ____________ 17.___________ 18.____________ 三、解答题（.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19.（10 分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 20．（10 分） 21．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 2025年中考第二次模拟考试（上海卷） 数学·参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 D A B A C C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8． 9．/ 10． 11． 12．50 13．1200 14．/ 15．4 16．/ 17． 18．或 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解：原式 （8分） ． （10分） 20．解：， 解不等式①得：x≥-1， 解不等式②得：x＜2， （6分） ∴不等式组的解集为：-1≤x＜2， （8分） ∴不等式组的整数解为：-1，0，1. （10分） 21．（1）（1）∵直线y=x过点A（m，1）， ∴m=1，解得m=2， ∴A（2，1）． （2分） ∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（2，1）， ∴k=2×1=2， （4分） ∴反比例函数的解析式为y=； （5分） （2）连接AC， 由平行线间的距离处处相等可得△ACO与△ABO面积相等，且△ABO的面积为， ∴△ACO的面积=， ∴ ∴直线的解析式 （12分） 22．（1）解：∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2）， ∴，，， 如图所示：在图1中，过点A作，记图1的梯形的高为， 在图2中，过点E作，过点T作，图2的大梯形的高为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， （2分） ∵ ∴， （3分） ∴， ∴， （6分） （2）解：如图1，且，，四边形是等腰梯形， ∴， 在，， ∴， ∵用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形， ∴满足题意的等边三角形如图所示： （12分） 23．（1）∵，∴ ∠AEB=∠DCE ∵ ∴ （1分） ∵ ∴ （2分） ∴ （3分） ∵ ∴四边形AFCD是平行四边形 （4分） ∴ ∴ （5分） ∴ （6分） （2）∵ ∴ （7分） 在中， ∴ ∴ （8分） ∵， 在与中 ∴ （10分） ∴ ∵ ∴ （12分） 24．（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点， ， ， C点在D点的左侧，C(m-2，0)， 又点P与点C重合，， m-2=1，m=3， ，A(3，4)，P(1，0)， ； （3分） （2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入， 得， 顶点A在第一象限，m=2， =，当x=1时，y=3，P(1，3)， 如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点， ，， ， 设PQ延长线与x轴交于点G（x，0）， 又OG=PG，，解得x=5， 检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解， G（5,0）， 设直线PG的解析式为：y=kx+b， 将P，G两点坐标代入得，求得 ， PG所在直线的解析式为， 联立直线PG和抛物线解析式可得 ， 解得或，Q； （7分） （3）如图3，点在该抛物线上，代入中， ，， 又抛物线与y轴交于点B，B（0，）， 设直线BP的解析式为：y=kx+b， 代入B、P两点，， 则，直线BP的解析式为：， 令y=0，， 直线与x轴的负半轴相交， ， 或， 解得m<-2或<m<2， 又顶点A在第一象限，m>0, 点A与点P不重合，， 综上所述，且． （12分） 25．（1）证明：，， ∴， ∴，， ∴， （2分） （2）①连， ∵D是BC的中点， ∴ ∴为圆的直径， 联结，设经过、、三点的圆半径为r， 弦恰好是正十边形的一条边， ∴， ∴， 又∵O、D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 则，即， 解得（舍）， ∴， （8分） ②∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设， 由①可知，， ∴， ∴， ∴，即 如图，过点D作于点， 在中， ， ∴， 解得， ∴，， ∵，M是所在圆的半径， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴, ∴， ∴，即 解得， 联结， ∴． （14分） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$