专题15 全等模型之对角互补模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题15 全等模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 1 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 6 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 14 19 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 例2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________； (2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明． 例3．（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 例3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________；(2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由；(3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）；②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 例4．（23-24八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 例5．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）若 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．点 D 是 AC边的中点，以点 D 为顶点作∠FDE＝120°，角的两边分别与直线 AB 和 BC 相交于点 F 和点 E（1）试判断△ABC 的形状，说明理由（2）如图 1，将△ABC 图形中∠FDE＝120°绕顶点 D 旋转，当两边 DF、DE 分别与边 AB 和射线BC 相交于点 F、E 时，三线段 BE、BF、AB 之间存在什么关系？证明你的结论。（3）如图 2，当角两边 DF、DE 分别与射线 AB 和射线 BC 相交两点 F、E 时，三线段 BE、BF、AB 之间存在什么关系。 例6．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F． (1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由： (3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB． 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2024·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，且于D，，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 3．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 4．（24-25九年级上·重庆·课后作业）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．写出图中相等的角，并说明理由． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 6．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如： (1)如图①，已知是的平分线，点A是上一点，若，则可以得到，请说明理由；(2)发现规律：连结，则是等腰三角形．如图②，在等腰三角形底边的另一侧存在一点D，当时，请直接写出与的数量关系． (3)请解决下列问题：如图③，等腰中，，D是外一点，，且，求证：． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．(1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得： ______ ．（填、、） (2)如图2，求证；(3)如图3，在等腰中，，平分，求证：．    8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 9．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．(1)求证：是等边三角形；(2)求证：． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，(1)如图①，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图②，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段之间的数量关系为　　　　　　　； (3)如图③，在四边形中，平分，，，过点A作，交的延长线于点E，若，，则的长为　　　　　　　． 11．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，    (1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论． 12．（23-24八年级下·江西萍乡·期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________． (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由．(3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由 13．（23-24八年级上·江西南昌·期中）已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 请利用上面信息解决以下问题：已知中，，，D为边的中点，，绕D点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于E、F． （1）当绕D点旋转到于E时（如图①），求证：； （2）当绕D点旋转到和不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 15．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 16．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 17．（23-24八年级下·福建宁德·阶段练习）小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上．    (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴______=______， 又∵，∴，∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______． 18．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索 在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 全等模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 1 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 6 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 14 19 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，∴，    又∵，∴，∴， 又∵，∴， 在和中，∴∴， 又∵，，∴平分，故（1）结论正确． 例2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________； (2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明． 【答案】(1)S△DEF＋S△CEF＝S△ABC(2)上述结论S△DEF＋S△CEF＝S△ABC成立，证明见解析 (3)S△DEF－S△CEF＝S△ABC 【详解】（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形． 设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2即S△DEF+S△CEF=S△ABC；故答案为：S△DEF+S△CEF=S△ABC； （2）（1）中的结论成立；证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°， 又∵∠C=90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点， 由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，∵AC=BC，∴MD=ND， ∵∠EDF=90°，∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，∴∠MDE=∠NDF， 在△DME与△DNF中，，∴△DME≌△DNF（ASA）， ∴S△DME=S△DNF，∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF， 由以上可知S四边形DMCN=S△ABC，∴S△DEF+S△CEF=S△ABC． （3）连接DC，证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°， ∴S△DEF=S五边形DBFEC，=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+，∴S△DEF-S△CFE=． 故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC． 例3．（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)①1；②见解析(2)的值不发生改变，等于 【详解】（1）解：①，，， ，， 在和中，，，； ②过分别作于点，作于点，如图1所示： 在四边形中，，． 在与中，，，． ，，平分，； （2）解：的值不发生改变，等于．理由如下：连接，如图2所示： ，，为的中点，，， ，，． ，即，． 在和中，，，， ． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG.理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º， ∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）； 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 【答案】(1)见解析(2)结论正确，证明见解析(3)结论：OE=2OD．证明见解析 【详解】（1）证明：如图1中， 在△OPD和△OPE中，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD=∠POE． （2）解：结论正确．理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K． ∵∠PHO=∠PKO=90°，∠AOB=60°，∴∠HPK=120°，∵∠DPE=∠HPK=120°，∴∠DPH=∠EPK， ∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴∠POH=∠POK，∠PHO=∠PKO=90°， 在△OPH和△OPK中，，∴△OPH≌△OPK（AAS），∴PH=PK， 在△PHD和△PKE中，，∴△PHD≌△PKE（ASA），∴PD=PE． （3）解：结论：OE=2OD．理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD=∠POT， 在△POD和△POT中，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP=∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°， ∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，∴∠ODP=120°，∠PEO=60°， ∴∠OTP=∠ODP=120°，∴∠PTE=60°，∴∠TPE=∠PET=60°，∴TP=TE， ∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，∴∠TOP=∠TPO=30°，∴OT=TP，∴OT=TE，∴OE=2OD． 例3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________；(2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由；(3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）；②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)8；(2)结论成立，理由见解析；(3)①作图见解析；②（）中的结论不成立，． 【详解】（1）解：∵点是的平分线上的点，，，∴， ∵，∴，在中，，， ∴，同理，，∴，故答案为； （2）解：上述结论成立．理由：如图，过点作于，于，       ∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：①补全图形如图． ②上述结论不成立，．理由：过点作于，于， ∴，∴，由旋转知，， ∴，∴，∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴． 例4．（23-24八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵点D是BC的中点，∴BD=CD=BC=AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°， 在Rt△BDE中，BE=BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°， ∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=CD，∴BE+CF=BD+CD=BC=AB， ∵BE+CF=nAB，∴n=，故答案为； （2）如图，①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，∵∠EDF=120°，∴∠EDG=∠FDH， ∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH， 在△EDG和△FDH中，，∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE=DF，即：DE始终等于DF； ②同（1）的方法得，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH， ∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，∴BE与CF的和始终不变； （3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB， ∵AB=8，∴BE+CF=4，∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD =DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12， ∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小， 此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=BD=2， 当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°， ∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=AB=4， 当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L 有最大值， 即周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 例5．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）若 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．点 D 是 AC边的中点，以点 D 为顶点作∠FDE＝120°，角的两边分别与直线 AB 和 BC 相交于点 F 和点 E（1）试判断△ABC 的形状，说明理由（2）如图 1，将△ABC 图形中∠FDE＝120°绕顶点 D 旋转，当两边 DF、DE 分别与边 AB 和射线BC 相交于点 F、E 时，三线段 BE、BF、AB 之间存在什么关系？证明你的结论。（3）如图 2，当角两边 DF、DE 分别与射线 AB 和射线 BC 相交两点 F、E 时，三线段 BE、BF、AB 之间存在什么关系。 【答案】(1) △ABC为等边三角形,理由见详解；（2）3AB=2(BE+BF)，证明见详解；（3）3AB=2(BE-BF). 【详解】解：（1）由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，等式两边同时乘以2，可得 2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，可得a2＋b2-2ab+ b2 +c2-2bc+ b2+c2-2ac=0 ，a=b=c，△ABC为等边三角形; (2) 如图：连接BD，，过D点作DG⊥BC，延长BG至H点，使得BG=GH， 易得DG为线段BH点的中垂线，BD=DH易得∠DBC=∠ABD=30，∠H=30，∠BDH=120, ∠FDE＝120°,∠BDE为∠FDE与∠BDH的公共角∠BDF＝∠EDH, 在△BDF与△EDH中，∠ABD=∠H ；BD=DH；∠BDF＝∠EDH△BDF≌△HDEBF=EH, 又AD=DC=AC=AB, ∠ACB=60GC=DC=AB,BG= AB -AB=AB BG=GH, BH=BE+EH,2AB=BE+EH, AB= BE+BF，即：3AB=2(BE+BF); (3)如图：同理连接BD，，过D点作DG⊥BC，延长BG至H点，使得BG=GH， 易得DG为线段BH点的中垂线，BD=DH可得△BDF≌△HDEBF=EH 可得：BH=BE-EH， AB= BE-BF，即3AB=2(BE-BF). 例6．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F． (1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由： (3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB． 【答案】(1)(2)结论成立，理由见解析(3) 【详解】（1）（1）；如图所示：连接AD， ∵为等边三角形，且点D是BC的中点，∴AD平分， ∵，，∴，故答案为：； （2）结论成立．．理由：如图所示，过点D分别作于G点，于H点， ∵是等边三角形，∴， ∵于G点，于H，∴，， ∵点D是BC的中点，∴，在与中，，∴ ∴，∴，， ∴，∴， 在与中，，∴，∴； （3）如图，过D作交AB于M点， ∵，是等边三角形，∴， ∴，，∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴，设，则， ∵，，，∴，∴，∴． 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2024·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD， 在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD， ∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确， ∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC， ∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A． 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析      （2） 【详解】（1）作于F ∵为的平分线上的一点，于点，于F ∴， ∵，∴ 在△PCD和△PFE中∴∴； （2）∵∴ ∵∴ ∴∴ ∵∴． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】过点作于点，于点 ∵平分，∴，∴ ∴， ∴ON+OF=OC ①当，分别在射线，上时，此时OC≥OD，如图 ∴ ∵，∴∴， ∴∴OE=OC−OD= a-b ②如图，当，分别在射线反向延长线，射线上时 同理可得：∴， ∴，OE=OC+OD=a+b ③如图，当，分别在射线上、在射线反向延长线上时，OC≤OD 同理可得：∴， ∴， 综上：只有（1）正确，（2）（3）（4）均错误 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，且于D，，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【详解】解：如图，过点作，垂足为点．连接， ，，，， 在和中，，，， ，且，，， ，∴，故①正确； 在和中，，， ，，故②正确；，，，故③正确； ，，，， ．故④不正确．综上可得：①②③均正确．故答案为：①②③． 3．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵是等边三角形，边长为4，∴，， 如图，过点作，设与交于点， ∴，∴， 又∵，，∴， 又∵点为的中点，且，∴是的中位线， ∴， 在和中，，∴，∴， 又∵， ∴．故答案为：6． 4．（24-25九年级上·重庆·课后作业）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．写出图中相等的角，并说明理由． 【答案】，见解析 【详解】解：，理由：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形是邻等对补四边形，，，， ，，，，，． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴． （3）解：，证明如下：如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 6．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如： (1)如图①，已知是的平分线，点A是上一点，若，则可以得到，请说明理由；(2)发现规律：连结，则是等腰三角形．如图②，在等腰三角形底边的另一侧存在一点D，当时，请直接写出与的数量关系． (3)请解决下列问题：如图③，等腰中，，D是外一点，，且，求证：． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：如图①，作于，于， ∵是的平分线，，，∴， ∵，，∴， ∵，，，∴，∴； （2）解：与的数量关系为；∵是等腰三角形，∴， 如图②，作于，的延长线于， ∵，，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴平分，∴； （3）证明：如图③，延长到，使， ∵，，∴， ∵，，，∴， ∴，，∴是等边三角形， ∴，∴． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．(1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得： ______ ．（填、、） (2)如图2，求证；(3)如图3，在等腰中，，平分，求证：．    【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：∵平分，，，∴，故答案为：； （2）证明：如图，作交延长线于，于， ∵平分，，，则，∴，       ∵，，∴， 在和中，，∴，∴； （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵为等腰三角形，,则，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，即，由（2）的结论得， ∵，∴，∴， ∴，∴． 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)结论仍成立，理由见解析 【详解】（1）解：过作于，于， ∵是的平分线，∴，， ∵，，∴，∴． （2）画出图形，结论仍成立， 理由如下： 过作于，于， ∵是的平分线，∴，， ∵，，∴，∴，∴． 9．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．(1)求证：是等边三角形；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，，∴． ∵，∴．又∵，∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴．∴，∴． 在与中，，∴．∴． 又∵，∴，∴． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，(1)如图①，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图②，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段之间的数量关系为　　　　　　　； (3)如图③，在四边形中，平分，，，过点A作，交的延长线于点E，若，，则的长为　　　　　　　． 【答案】(1)，理由见解析(2)(3)10 【详解】（1）解：．证明如下：∵等腰中，，D为的中点， ∴，，∴，∴，∴． 又∵，∴，在和中，， ∴，∴，∴； （2）解：．证明如下：取中点G，连接， ∵等腰中，，D为的中点， ∴，即，， ∵在中，点G是中点，∴， ∴是等边三角形，∴，， 又∵，∴，又∵，， ∴，∴，∴， ∴，故答案为：； （3）解：延长交于点F，取G为的中点，如图， ∵，∴，在中，点G是中点，∴， ∵平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，， 又∵，∴，又∵，， ∴，∴，∴， ∵，， ∴，∴，∴，故答案为：10． 11．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，    (1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论． 【答案】(1)；证明见解析(2)①，理由见解析；②，理由见解析 【详解】（1）解：，证明如下：过点作于，于，如图：       平分，，，，， ，， ，， 在和中，，，． （2）①结论：．理由：过点作于，于，如图： 平分，，，，， ，，， ，， 在和中，，，． ②结论：． 理由：由①得：，，， 在和中，，，， ，，， 在中，，， ，，． 12．（23-24八年级下·江西萍乡·期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________． (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由．(3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)不会发生变化，S=9 【详解】（1）解：根据角平分线的性质可得 （2）证明：如图②，过点P点作于E，于F． ∵是的平分线，∴， ∵，∴ 而∴，∴，∴． （3）解：不会发生变化，理由是：∵OP平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠POF=45°∴∠OPF=∠POF=45° ∴PF=OF=3由（2）可知，∴四边形OCPD的面积=四边形OEPF的面积=． 13．（23-24八年级上·江西南昌·期中）已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 请利用上面信息解决以下问题：已知中，，，D为边的中点，，绕D点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于E、F． （1）当绕D点旋转到于E时（如图①），求证：； （2）当绕D点旋转到和不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立： 【详解】（1）证明：连接CD ∵D为边的中点，∴AD=CD=BD∴ 又∵，，，∴四边形ECFD为矩形∴∠CFD=90° 又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD是正方形∴DE=DF ∴又∵，且∴ （2）图2成立，图3不成立 对于图2：过点D作，，如图2，则 又∵∴， ∵D为边的中点∴根据中位线定理得到：， ∵AC=BC∴MD=ND∵∴，∴ 在与中∴∴ ∴∴∴ 对于图3：连接DC，在与中∴ ∴∴． 15．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）①选择小强同学， 证明：如图2，过点作于，于，平分， ，，，，， 在与中，，； ②选择小颖同学， 证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分，，且， ，，，， 在和中，，，． （2）如图，过点作，，垂足分别为，，， 又平分，，，， 在四边形中，， 又，， 又，，且，，，； （3）取中点，连接，点、分别是、边上的中点，， 是等边三角形，，，， ，，，， 16．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】(1)，原因见解析(2)，原因见解析(3)最小值为15 【详解】（1）解：，，； （2）解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形，平分， ，，，， 在和中，，，； （3）解：由（2）可知，，为等边三角形，， 求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值，最小值为的长度， 则最小值为的长度，由对称的性质可得． ，，，为等腰三角形，，， ，为等边三角形，由等边三角形对称性可得， 是线段的中点，，，，，，最小值为15． 17．（23-24八年级下·福建宁德·阶段练习）小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上．    (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴______=______， 又∵，∴，∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______． 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)，证明见解析(4)6 【详解】（1）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴． 故答案为：， （2）证明：过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，则， ∵平分．∴，由四边形的内角和等于，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴；        （3）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵，平分，∴， ∴，∴，由（2），∴， ∴；∴； （4）连接，过点O分别作的垂线，垂足分别为G、H，如图， ∵为等边三角形，点O为边中点，∴，平分， ∵，∴，则由（3）的结论可得：， ∵为等边三角形，边长为4， ∴， ∵点O为边中点，∴， ∴，∴，∴；故答案为：6． 18．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索 在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中，， 在和中，， ，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 13 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$