专题12 全等模型之一线三等角（K字）模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题12 全等模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 1 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 6 10 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，故选：C． 例2.（2024七年级下·广东·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ；(2)当等于多少时，，请说明理由． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴； （2）解：当时，，理由如下：，， 又，，， 在和中，，． 例3．（2024·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解析；（2）PC⊥PQ，证明见解析；（3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【详解】（1）△ACP与△BPQ全等， 理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直； （3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）； ②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×9，解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s）， 故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 例4．（2024·上海·七年级专题练习）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4 【详解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE． （2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h， ∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4， ∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4． 例5．（2024·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，∴，又∵，∴； （2）∵，∴，，∴． 例2．（2024·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又∴△ABE≌△CAF，∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同则=5 故与的面积之和为5故答案为：5． 例3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 【答案】(1)(2)(3)①见解析；②见解析 【详解】（1）证明：如图1，∵于点D，于点E．∴， ∵，∴ 又∵，∴， 在和中∴∴； （2）解：∵，．∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中∴∴； （3）证明：①∵，∴，由（2）得，∴ ∵，∴∴； ②∵，∴，∵F为的中点，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴． 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，， ∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A． 2．（2023·广西·八年级假期作业）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：，，于，于， ，，又，，． ，，．故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：点，运动的速度之比为，设，则， ，与全等，可分两种情况：情况一：当，时， ，，，，解得：，； 情况二：当，时，，，，解得：， ，综上所述，或， 故选：C． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴．故选：C． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 【答案】7 【详解】解：∵，∴． ∵，∴．∴， 在和中，∵， ∴，∴，，，．故答案是：7． 6．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 【答案】2或 【详解】解：①当，时，， ，，，，解得：， ，，解得：； ②当，时，，，，，解得：， ，，解得：， 综上所述，当或时，与全等，故答案为：2或． 7．（2024·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【详解】解：（1）证明：∵，，∴，∴． ∵，∴，∴，∴．∴ （2）解：∵，∴，．∵，∴， ∵，∴，∴． 8．（2024·陕西西安·七年级校联考期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____． （2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6． 9.（2024·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)由图1，证明：；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，，的等量关系并说明理由；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）． 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明过程见解析；(3)，证明过程见解析 【详解】解：(1)证明：在中，∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，， ∵直线经过点，∴； (2)，，的等量关系为：，理由如下： ∵于，于∴， ∴，，∴， 在和中，∴ ∴，，∴； (3)当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是，理由如下： ∵于，于∴， ∴，，∴， 在和中，∴ ∴，，∴. 10．（2024·上海·七年级期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【详解】[模型呈现]证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则，故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：63． 11．（2023春·广西·七年级期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：； （2），由（1）同理可得，∴，∴； （3）存在，当时，∴，∴，此时； 当时，∴ ∴，，综上：或． 12．（2023·河南濮阳市·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解 【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）DE＝BD＋CE．理由如下：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA）， ∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE． 13．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25，25，65，小 (2)当时，，理由见解析； (3)当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴； ∵点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，， ∴点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：25，25，65，小； （2）解：当时，， 理由：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （3）解：当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形， 理由：∵，，∴， ∴当时等腰三角形，只存在或两种情况， 当时，∴， ∵，∴，∴； 当时，∴，∴， 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 14．（23-24八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵，E为AB中点 ∴CE⊥AB，∴，∴，∴ ∵，∴∴又∵∴． （2）解：，理由如下：如图2，在AM截取AH，使得，连接EH， 由（1）知， 在与中：∴∴， ∴ ∴在与中：∵，， ∴∴∴即．   （3）解：猜得∶ MN = AM + CN，理由如下∶如图3，在CB_上截取CH = AM，连接EH， ∵在△AEM和△CEH中，∴ (SAS)，∴EM=EH，∠AEM=∠CEH， ∵AM = CH，∠MEN=45°，∠AEC=90°∴∠AEM+∠CEN=45 ∴∠CEH + ∠CEN =∠HEN = 45°∴∠MEN =∠HEN，   在△EM N和△EHN中， ∴ (SAS)， ∴MN = HN，∴MN=CH+CN，∴MN=AM+CN． 15．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：． 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【详解】解：（1）证明：，， ，，，，， 在和中，，． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，，，， ，， 在和中，，． ②由①可知，，，， ，，， 由①得，， ，，． 16．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践：数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：_______； (2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：_____； (3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)①，理由见解析；② 【详解】（1）由等腰直角得，， 又， 又，， （2）过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，， 又得，，， ， （3）① 又，， ②与①中同理可得 分别取，中点，连接． ，, 又 又 在与中 ， 17．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)0.8cm(2)，证明见解析(3)结论成立，证明见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （2）．证明：∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （3）结论成立， 证明：，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；即结论成立； 18．（2024·江苏八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又∴△ABE≌△CAF，∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同则=5故与的面积之和为5 故答案为：5． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 全等模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 1 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 6 10 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 例2.（2024七年级下·广东·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ；(2)当等于多少时，，请说明理由． 例3．（2024·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 例4．（2024·上海·七年级专题练习）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 例5．（2024·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长度． 例2．（2024·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 例3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2023·广西·八年级假期作业）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 6．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 7．（2024·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长． 8．（2024·陕西西安·七年级校联考期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____． （2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 9.（2024·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)由图1，证明：；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，，的等量关系并说明理由；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）． 10．（2024·上海·七年级期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 11．（2023春·广西·七年级期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 12．（2023·河南濮阳市·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 13．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 14．（23-24八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 15．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：． 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积． 16．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践：数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：_______； (2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：_____； (3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 17．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 18．（2024·江苏八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$