专题14 全等模型之半角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题14 全等模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证．(1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 例2．（2024·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 例3．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．    (1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长； (3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 例4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例5.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例6．（2024八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，是边长为1的等边三角形，为顶角的等腰三角形，点、分别在、上，且，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 4．（24-25九年级上·江苏·课后作业）在正方形中，，将绕点A按顺时针方内旋转，它的两边分别交 (或它们的延长线)于点M，N． (1)当绕点A旋转到时（如图①），求证：； (2)当绕点A旋转到时（如图②），线段和之间的数量关系是________．      5．（2023春·山东·八年级专题练习）已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 6．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小萌通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小萌把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形． 想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM．… 请你参考上面的想法，帮助小萌证明PA＝PM（一种方法即可）． 7．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 8．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 9．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． 10．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明）(1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 11．（23-24七年级下·山东济南·期末）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 14．（23-24八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E．(1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ；(2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 15．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 16．（23-24九年级上·广西贵港·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______． (2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 全等模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 【答案】(1)成立，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)． 【详解】（1）解：上面的结论还成立，理由如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下：如图，在上截取，连接 在和中，，∴， ∴，，∴ ，即， ∵，∴ 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）解：∵ ，∴， ∴的面积，∴的面积为，故答案为：． 例2．（2024·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，，， ，， 在和中，，， ， ，即是直角三角形，， ，即与的面积之和为21，故选：B． 例3．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．    (1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长； (3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 【答案】(1)，(2)10(3)5 【详解】（1）延长至点F，使，连接， 由题意得，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，． ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分． （2）∵，∴．∵，∴． ∴的周长为：． （3）延长交于P，延长交于Q，令，连接，    ∵是等腰三角形，且，∴，，， ∵是等边三角形，∴， ∴，，，∴，， 在和中， ，∴ ，∴，， ∵ ，，∴， 在和中， ∴ ，∴，， ∵ ，，∴，∴即， 在和中， ，∴ ，∴． ∴的周长为：． 例4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：如图所示：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，，，， ∵是等边三角形，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴以、、为边长的三角形的形状为钝角三角形,故选：C． 例5.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例6．（2024八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或或 【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接， ∵∴ ∴，∴∴． ∵，∴．∴． ∵．∴；故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到G，使，连接 ∵，∴ ∵∴∴， ∴∴． ∵，∴．∴．∵．∴； （3）若如图1，则结论成立，若如图3，则或 证明：在上截取，使，连接． ∵，∴． ∵∴∴ ∴．∴ ∵，∴∴．∵∴．同理可得： ∵∴．故答案为：或或． 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，是边长为1的等边三角形，为顶角的等腰三角形，点、分别在、上，且，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【详解】如图所示，延长AC到E,使CE=BM,连接DE, ∵BD=DC,∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°， 在△BMD和△CED中，∴△BMD≌△CED（SAS），∴∠BDM=∠CDE，DM=DE， 又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM， 在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN=NE=NC+CE=NC+BM， 所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2. 故选A. 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示：则，，    ，，， 在和中，，，， ，，， ，故选：A． 3．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，故①正确∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，故②正确， ∵若．∴，∴， ∵，∴，故③正确， 4．（24-25九年级上·江苏·课后作业）在正方形中，，将绕点A按顺时针方内旋转，它的两边分别交 (或它们的延长线)于点M，N． (1)当绕点A旋转到时（如图①），求证：； (2)当绕点A旋转到时（如图②），线段和之间的数量关系是________．      【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：如图，过作于，    四边形是正方形，，，， ，， 在和中，，，， ，，，， ，，，即，； （2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下： 延长至，使得，连接，  四边形是正方形，，， 在和中，，， ，，， ，，在和中，，， ，，故答案为：； 5．（2023春·山东·八年级专题练习）已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：如图1，由旋转可得 , , 四边形 为正方形 、 、 三点在一条直线上 在 和 中 （2）结论： ． 理由：如图2，把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，点 与点 对应，同（1）可证得 ,且 6．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小萌通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小萌把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形． 想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM．… 请你参考上面的想法，帮助小萌证明PA＝PM（一种方法即可）． 【答案】（1）∠AQB＝75°；（2）①见解析；②见解析 【详解】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ＝15°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝75°； （2）如图2，利用想法1证明；∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ， ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC， ∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠PAC＝60°，∴∠PAM＝60°， ∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴PA＝PM． 如图3，利用想法2证明：在BA上取一点N，使得BN＝BP，连接CM； ∵∠B=60°，∴△BPN是等边三角形，∴PN=BP=BN，∠BNP=60°，∴∠ANP=120°． ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠ACB=60°，∴AB−BN=BC−BP，即AN=PC．　 ∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， 在△APB与△AQC中，∴△APB≌△AQC，∴BP=CQ．∴PN=CQ． ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴CQ＝CM，∠ACM＝∠ACB=60°， ∴PN=CM，∠PCM=∠ACB+∠ACM=120°=∠ANP． 在△ANP与△PCM中，∴△ANP≌△PCM．∴PA=PM． 7．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析， 【详解】解：（1）延长至，使，连接， ∵，，，∴， ∴，，∴，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∵，且∴，故答案为：． （）解：（）中的结论仍成立， 证明：如图所示，延长至，使， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，即， 在和中，，∴， ∴，即． （），证明：如图所示，在上截取使，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， 在和中，  ，∴，∴， ∵，且，∴． 8．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析； 【详解】解：（1），；理由如下： ，，是等边三角形，， ，，， 是等边三角形，，， 在和中，， ，，，，； ，，，，是等边三角形， ，的周长， 等边的周长，； （2），理由如下：如图2，延长到E，使，连接， 是等边三角形，，，，， ，即，， 在和中，，，， ，，， ，即， 在和中，，， ，，；根据（1）可得 （3），理由如下：如图3，在上截取，连接， 由（2）知：，， 在和中，，，， ，， 在和中，，， ，，； ②．如图3，等边的周长为L， ，的周长 ．故答案为． 9．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）4；（2）MN＝NM+DN，理由见解析； 【详解】解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM， ∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN， ∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8， ∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4； （2）结论：MN＝NM+DN．理由：如图2中，延长CB至E，使BE＝DN，连接AE， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE， 在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE， ∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM， 在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN； 10．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明）(1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，，∴A与点C重合，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，，∴A与点C重合，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴． 11．（23-24七年级下·山东济南·期末）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：，证明：延长到，使， ，， 在和中，，，，， ，，，， 在和中，，，， ，； （2）解：，证明：延长到，使，连接， ，， ，，， ，，， 在和中，，，，， ，，，， ，， 在和中，，，， ，； （3）解：，证明：在上截取，连接， ，，， ，，，， 在和中，，， ，，，， 在和中，，，， ，． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接，，， 在与中，，，， ，在与中，， ，，即； （2）线段、、之间的数量关系是，在上截取，连接， ，，，， 在与中，， ， ， 又∵，， 在与中，，， ∵，∴． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，∵，，，， ∵，， ， 在和中，∵，，， ，；故答案为：． （2）解：结论仍然成立；理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中，∵，，，， ，，， 在和中，∵，，， ，； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中，，，，． ，，，． 在与中，，，， 的周长． 14．（23-24八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E．(1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ；(2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3)10 【详解】（1）解：如图1，延长，在射线上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即．∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：； （2）答：．证明：如图，在线段上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即．∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：如图，作，交延长线于点H，延长交于点G． ∵，∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴． ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 15．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 【答案】（1）4；（2），证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）正方形的边长为2，，，， ，的周长为故答案为：4； （2） 证明：如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角度为的度数，得到， 由旋转的性质可知，，，，， ，，， ，点H、B、F三点共线， 在和中，，， ，； （3）， 理由如下：在上截取， ，，， 在和中，，，，， ，， ， 在和中，，， ，． 16．（23-24九年级上·广西贵港·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______． (2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系． 【答案】(1)(2)成立，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，连接，交于点．               四边形为正方形，且， ，且平分，且，∴， ，即，， 在和中，， ，同理可得，， ．故答案为：； （2）解：成立，理由如下：如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中，，，， ，，，， 在和中，，， 又，． （3）解：，如图，在上截取，连接， 和中，， ，，，即， ，， 在和中，， ，，． 17 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$