专题16 全等模型之角平分线模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题16 全等模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 1 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 5 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 9 16 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 例2．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 例4．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。证明：同图1的证法， 例1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 例2．（2024·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2．（2024·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则线段AB与AC、BD有什么数量关系？请说明理由． 例2．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足， (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由． (3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴，在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 1．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（23-24八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分； ②；③；④． 其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 6．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    8．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 9．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 11．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；(3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 12．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）探索角的平分线的画法． （1）画法1：利用直尺和圆规 请在图中用直尺和圆规画出的平分线；（不写画法不需证明，保留作图痕迹） （2）画法2：利用等宽直尺． 如图，将一把等宽直尺的一边依次落在的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O．画射线，则射线是的平分线．这种角的平分线的画法依据的是______． A．    B．    C．    D． （3）画法3：利用刻度尺 已知：如图，在的两条边上分别画，，连接、，交点为点O，画射线． 求证：是的平分线． （4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法．请在图中画出的平分线，写出画法，并加以证明． 13．（2023·湖北鄂州·八年级统考期中）在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证AC－AB＞CD－BD； （2）如图2，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，求DC的长． 14．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 15．（2023·山东八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 17．（2024·河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 18．（2023·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且． (1)如图1，当时，与的数量关系是______． (2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 全等模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 1 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 5 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 9 16 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 【答案】11 【详解】解：如图，过点D作于H，如图， ∵是的角平分线，，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵和的面积分别为60和38，∴，∴．故答案为：11． 例2．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：过点P作PG⊥AB，如图：∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，    ∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确； ∵，又， ∴；故（3）错误；∴正确的选项有2个；故选：C． 例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）8cm. 【详解】（1）证明：过点E分别作于F，∴∠DFE=∠AFE=90°． ∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD． ∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF． 在Rt△AEB和Rt△AEF中， ，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL）， ∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分线； （2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线， ， ，， ∵∠C=90° ∴  ， ， . 故答案为（1）详见解析；（2）8cm. 例4．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：是的平分线，，，，， 又，，； （2）解：，，平分，， 同（1）法可得：，，， ，，又，，，， ，，， ∵，∴，；故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图， 平分交于点，，，， ，，， ，， ∵，，；故答案为：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【详解】解：延长交于E， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，故选B． 例2．（2024·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 【答案】 【详解】解：延长和相交于点，如图： ∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值；此时，即： 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD． 【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF； （ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE， 在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM， ∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD， 在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF； （2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF， ∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE． （3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3， ∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°， 在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG， ∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH． 又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，，，．故选：B． 例2．（2024·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则线段AB与AC、BD有什么数量关系？请说明理由． 【答案】AB=AC+BD，理由见解析． 【详解】解：AB=AC+BD，理由是：在AB上截取AC=AF，连接EF，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE， 在△CAE和△FAE中，∴△CAE≌△FAE（SAS），∴∠C=∠AFE， ∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∴∠AFE+∠D=180°， ∵∠EFB+∠AFE=180°，∴∠D=∠EFB，∵BE平分∠ABD，∴∠DBE=∠FBE， 在△BEF和△BED中，∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD， ∵AB=AF+BF，AC=AF，BF=BD∴AB=AC+BD． 例2．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】证明：，，、分别平分、， ，，， ，，如图，在上截取，连接，    在和中，，， ，，，， 在和中，，，， ，． 例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足， (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由． (3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想，证明见解析 【解析】（1）证明：∵为的角平分线，∴， 在与中，，∴，∴，， 又∵，，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴． （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵为的角平分线时，∴， 在与中，，∴， ∴，，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴． （3）解：猜想，证明如下：∵平分，∴， 在与中,，∴，∴，， 如图，∴，即，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴，在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【详解】（1）补充证明如下：∵，∴， 又∵∴，∴ ∵点是边的中点，∴，又∵∴， 在中，∴∴， 又，∴，即； （2）∵，∴， ∵为的角平分线，∴ ∴，故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴， 又∵∴∵是的角平分线，∴， 在中，∴∴∴； （4）解：如图所示，在上截取，∵平分∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴∴， ∴，∴ 故答案为：． 1．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵DE⊥AB，∠C＝90°∴∠C＝∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中，∵，∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE，CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE， BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝8，∴△DEB的周长为8．故选：B． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①是的角平分线，，，选项①正确； ②，，． ，，选项②正确． ③，，垂直平分，选项③正确．④，，． 又，，选项④正确．综上，①②③④正确．故选：D． 3．（23-24八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，，，是的平分线，，，， 是的平分线， ，，， 点到的距离与到的距离之和为．故选：C． 4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：如图，过D作于E，    ∵，，∴，∴， ∵，即，是的角平分线，∴，故选：A． 5．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分； ②；③；④． 其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：①作于点，平分，，， 平分，，，， 点在的角平分线上，平分，①结论正确； ②平分，平分，，， ，，， ，，，②结论正确； ③，，，， ， ，在和中，，， 同理可证，，，， ，故③结论正确； ④，，， ，故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①②③，故选：A． 6．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=ED， 又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB=EB，故①正确； 在Rt△DEC中，CD＞DE，∴CD＞AD=DE，故②错误； ∵AB=AC，∴△DEC的周长=DE+CD+EC=AD+CD+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC，故③正确； ∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，∴∠C=45°，∴∠EDC=∠C=45°，∴DE=CE=AD，故④正确； 故选C． 7．（2023·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    【答案】 【详解】解：延长、交于点，如图，∵，∴．    ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∵中，，，∴， ∴÷，，∴， ∵在和中，，∴（）， ∴，∴，故答案为：． 8．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 【答案】 45 / 【详解】解：，， 与的角平分线相交于点，，， 是的外角，； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ，，点、在上，， 由轴对称的性质可知，，，，，， ，， 过点作于点，过点作， 在和中，，，， ，，， ，， ，，故答案为：， 9．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 【答案】5 【详解】解：作于，如图， 为的平分线，，，， ，，．故答案为：5． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 【答案】 /60度 9 【详解】解：（1）∵在中，，∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O，∴， ∴， ∴，故答案为：； （2）∵平分，∴， 又∵，∴，∴，同理， ∵，，∴，即， ∴，故答案为：9． 11．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；(3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)32 【详解】（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，∴， 在和中，∵，，∴，∴； （2）解：在和中，∵，，∴， ∴，∴，故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴， 在和中，∵，，∴， ∴，∴， ∴四边形的面积为． 12．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）探索角的平分线的画法． （1）画法1：利用直尺和圆规 请在图中用直尺和圆规画出的平分线；（不写画法不需证明，保留作图痕迹） （2）画法2：利用等宽直尺． 如图，将一把等宽直尺的一边依次落在的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O．画射线，则射线是的平分线．这种角的平分线的画法依据的是______． A．    B．    C．    D． （3）画法3：利用刻度尺 已知：如图，在的两条边上分别画，，连接、，交点为点O，画射线． 求证：是的平分线． （4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法．请在图中画出的平分线，写出画法，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【详解】解：（1）如图①中，射线即为所求． （2）如图②中，是等宽直尺， 点到两边的距离相等，根据可以利用全等三角形的性质证明是角平分线．故选D． （3）如图③中，在和中，，，， ，，， 在和中，，，， 在和中，，，，平分． （4）如图，在的两边上截取，利用直角尺作，，交于，作射线，射线即为所求． 理由：在和中，，， ，射线平分． 13．（2023·湖北鄂州·八年级统考期中）在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证AC－AB＞CD－BD； （2）如图2，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，求DC的长． 【答案】（1）证明见祥解（2）． 【详解】（1）证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD是△ABC的角平分线，，∴∠BAD=∠DAE， 在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=ED， ∴EC＞DC-DE即AC-AB＞CD-BD； （2）解：过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC，过A作AH⊥BC， ∵AD为∠BAC的平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG， ∴S△ABD=，S△ACD=，∴S△ABD:S△ACD ==3:4， ∴S△ABD=，S△ACD=，∴：=BD：CD=3:4， ∵BC=5，即BD+CD=BC=5，∴，∴． 14．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析． 【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，， ∵，，∴， ∵AD为△ABC的角平分线，即，∴；∴ （2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP， 在和中， ，∴（SAS），∴， ∵，，∴，∴； （3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则； 又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴， 又∵，∴，，∴， 在和中， ，∴（SAS），∴， 又∵，∴，解得：，∴； 当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立； 如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则； 又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴， 又∵，∴，，∴， 在和中， ，∴（SAS）， ∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°． 15．（2023·山东八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13 【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD， ∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD． （2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°， ∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE， ∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD． （3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示： 同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE， ∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1， ∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3， ∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°， ∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：平分，，，∴； （2），理由如下：当时，如图①， ，平分，， ，且，，， ，∴，； 当与不垂直时，如图②，作于点，于点， ，，，，， ，且，， ，， ，∴，，综上所述，． （3），理由如下：如图③，在上取一点，使，连接， 平分，，，∴， ，，， ，，且， ，，，． 17．（2024·河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 【答案】(1)角两边的距离相等；，(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）解：定理直接得出结果：角两边的距离相等；，； （2）证明：证明：如图1， 作于，作于，， 平分，，在四边形中，，， ，，，， ，（ASA）； （3）证明：如图2，作射线，交于，作，反向延长，交于，则；, （4）解：如图3，当和互补时，，理由如下： 作于，作于，， 平分，，在四边形中，， ，，， ，，(ASA) ． 18．（2023·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且． (1)如图1，当时，与的数量关系是______． (2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行） 【详解】（1）如图1，过点作于，于， 四边形为矩形，，， ，，，， 平分，，，， 在和中，，，，故答案为． （2）解：成立，理由如下：如图2， 证明：过点分别作于点，作于点．∴ ∵平分，∴∵在四边形中， ∴ 又∵∴ 在和中，∴∴． （3）解：如图3，过点分别作于点，作于点． 平分，， 与的面积的比值为2。 如图4，过点作于，于，则 与的面积的比值为4， 综上所述： 与的面积的比值为2比4． 14 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$