专题10 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题10.三角形中的倒角模型之 平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 1 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 5 10 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2024·海南·八年级统考期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 例2．（2024·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ． 例3．（2024·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．    例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 例5．（2024.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2024·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ． 例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 例3．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 例5.（2024·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 1．（2024·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·云南楚雄·八年级统考期末）如图，的三边、、的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（    ）个.    1）垂直平分；2）；3）；4）四边形的面积是面积的一半 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（    ）个．    A． B． C． D． 6．（2024·河北邯郸·八年级统考开学考试）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 7．（2024·广东·八年级专题练习）如图，在中，平分于，下列结论：①；②；③；④；⑤，    其中正确的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（2024·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，点E是上一点，平分，平分，延长交的延长线于点F．①；②E为的中点；③若，，则；④若四边形的面积为27，且，则的长为18，其中正确的结论有 ．    9．（2024·四川成都·七年级校考期中）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论： ①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有 （将所有正确答案的序号填写在横线上）． 10．（2024·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，，则的长为 ．    11．（2024·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，中，，、分别为、上的点，，、的平分线分别交于点、，若，则的度数为 ． 12．（2024江苏八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=9， AB=12，则DE的长为 ． 13．（2024天津市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝ cm． 14．（2024·贵州·八年级统考期末）如图①，在中，和的平分线交于点过点作交于交于（1）求证:是等腰三角形．（2）如图①，猜想:线段与线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图②，若中的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于点交于点这时图中线段与线段之间的数量关系又如何？直接写出答案，不说明理由． 15．（2024吉林八年级月考）已知如图，△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， OD∥AB，OE∥AC，若BC=10．求△ODE的周长 16．（2024湖北省黄冈市八年级月考）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交于两点，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是__________，的周长是__________； （2）如图2，若将（1）中“中，”该为“若为不等边三角形，”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长； 17．（2024·江苏八年级课时练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，∴______． ∴______，又∵，∴______． 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证： 【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______． 18．（2024·广东·八年级专题练习）如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值；(2)求证：；(3)求的长． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角形中的倒角模型之 平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 1 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 5 10 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2024·海南·八年级统考期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， 由作图可知：平分，∴，故选C． 例2．（2024·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ． 【答案】11 【详解】解：∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝BM，EN＝CN， ∵BM＋CN＝11，∴EM＋EN＝11，即MN＝11，答案为：11． 例3．（2024·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．    【答案】12 【详解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC ∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB ∴EB=EG 同理可得DF=DC∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案为：12． 例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 【答案】5 【详解】由角度分析易知，即， ∵ ∴ ∵ ∴ 例5．（2024.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC． 【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形； ∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB， ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO， ∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形， ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形， ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立． ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下： 同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG； ∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG， ∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2024·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，，是的角平分线，∴， ∵，，∴，故答案为：． 例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：，的三边，，长分别是，，， ∴．故选：C． 例3．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E 则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 证明：过C作AD的平行线交AB于点E．∵ ∴，∠1=∠3，∠2=∠4 ∵AD为∠BAC的外角平分线 ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠1=∠2=∠4∴AE=AC ∴ 例5.（2024·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 1．（2024·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：连接、、，过I作于M，于N， ∵点I为各内角平分线的交点，，，，∴， ∵，，，∴， ∵，∴， ∵，，，，∴，故A正确．故选：A． 2．（2024·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过D点作于E，如图， ∵是的平分线，，，∴，∴．故选：B． 3．（2024·云南楚雄·八年级统考期末）如图，的三边、、的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，， 的三条角平分线交于点，，在中，，，， ，故选：C． 【点睛】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得是解题的关键． 4．（2024·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（    ）个.    1）垂直平分；2）；3）；4）四边形的面积是面积的一半 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵、分别是和的高，∴， ∵平分，∴，故（2）正确； ∴， 又∵，∴，即，故（3）正确 ∵，∴，∴，∴垂直平分， 但由于不一定是直角，则条件不足以判定垂直平分，故（1）不一定成立； ∵，， ∵不一定等于，故（4）不一定成立；故选：B． 5．（2024·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（    ）个．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：结论①， ∵，，∴， ∵是的角平分线，∴，， ∴，在中，， ∴，故结论①正确； 结论②，由结论①正确可知，， ∵，∴， ∵，∴，如图所示，在上截取，    ∵是的角平分线，∴， ∴在中，，∴， ∴，∴， ∴，，∴在中， ，∴，∴， ∴，故结论②正确；结论③若的周长为，则， 如图所示，连接，过点分别作于点，作于点，       ∵是的角平分线，，， ∴平分，，且， ∵， ∴，故结论③错误； 结论④若，则， 如图所示，连接，过点分别作于点，作于点， ∵，，且，∴， 如图所示，过点作于点，       ∴，，∴，且， ∴，同理，，如图所示， 由结论②正确可知，，，且∴， ∴，∴，∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④，个，故选：． 6．（2024·河北邯郸·八年级统考开学考试）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【详解】解：过I点作于点E，于点F，如图， ∵、、分别平分、、，∴， ∴ 故选：C． 7．（2024·广东·八年级专题练习）如图，在中，平分于，下列结论：①；②；③；④；⑤，    其中正确的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：①正确，在中，，平分，于，； ②正确，在与中， ，所以，即； ③正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以； ④错误，因为的度数不确定，故不一定等于； ⑤错误，因为，和的高相等，所以：：． 故正确的个数为个故选：C． 8．（2024·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，点E是上一点，平分，平分，延长交的延长线于点F．①；②E为的中点；③若，，则；④若四边形的面积为27，且，则的长为18，其中正确的结论有 ．    【答案】①②③④ 【详解】解：，，，， 平分，平分，，， ，， ，，①正确；，， ，，， ，，为的中点；②正确； ，，，③正确； 四边形的面积为27，由①②③可得的面积为27，， ，，，， 的长为18，④正确．故答案为：①②③④ 9．（2024·四川成都·七年级校考期中）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论： ①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有 （将所有正确答案的序号填写在横线上）． 【答案】①③④. 【详解】①BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC， ∵CE平分∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC， ∴∠EBC+∠BEC= (∠BAC+∠ABC)=∠EBC+∠BAC，∴∠BEC=∠BAC，故①正确； ∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误；③BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE=∠GEB， ∴∠ABE=∠GEB，∴BG=GE，同理CH=HE，∴BG−CH=GE−EH=GH，∴BG=CH+GH，故③正确； ④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图， ∵BE平分∠ABC，∴EM=ED，∵CE平分∠ACD，∴EN=ED，∴EN=EM，∴AE平分∠CAM， 设∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图， 则∠BAC=180−2z，∠ACB=180−2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180， ∴2y+180−2z+180−2x=180，∴x+z=y+90， ∵z=y+∠AEB，∴x+y+∠AEB=y+90，∴x+∠AEB=90，即∠ACE+∠AEB=90，故④正确.故答案为①③④. 10．（2024·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，过点E作于H， 在中，，，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故答案为：．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的定义，三角形面积，正确求出的长是解题的关键． 11．（2024·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，中，，、分别为、上的点，，、的平分线分别交于点、，若，则的度数为 ． 【答案】16°/16度 【详解】解：∵，∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵EG平分， ∴， ∵， ∴，故答案为：． 12．（2024江苏八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=9， AB=12，则DE的长为 ． 【答案】21 【详解】试题分析：由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E=∠ABE，则AB=AE．同理可得AD=AC，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和． 解：∵DE∥BC，∴∠E=∠EBC. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠E=∠ABE，∴AB=AE. 同理可得：AD=AC，∴DE=AD+AE=AB+AC=21.故答案为21. 13．（2024天津市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝ cm． 【答案】3 【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，∴ADBC，∴∠AEB=∠CBF， ∵∠ABC的角平分线交AD于点E，∴∠ABF=∠CBF，∴∠AEB=∠ABF，∴AB=AE， ∵AB=4cm，AD=7cm，∴DE=3cm．故答案为：3． 14．（2024·贵州·八年级统考期末）如图①，在中，和的平分线交于点过点作交于交于（1）求证:是等腰三角形．（2）如图①，猜想:线段与线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图②，若中的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于点交于点这时图中线段与线段之间的数量关系又如何？直接写出答案，不说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【详解】（1）求证：平分 是等腰三角形 （2）猜想：理由如下：平分 同理可得． （3），理由如下平分 同理可得． 15．（2024吉林八年级月考）已知如图，△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， OD∥AB，OE∥AC，若BC=10．求△ODE的周长 【答案】10 【详解】解：∵OD∥AB，∴∠ABO=∠BOD， ∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBD，∴∠OBD=∠BOD，∴BD=OD， 则同理可得CE=OE，∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=10．故答案为10． 16．（2024湖北省黄冈市八年级月考）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交于两点，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是__________，的周长是__________； （2）如图2，若将（1）中“中，”该为“若为不等边三角形，”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长； 【答案】（1）5；；20；（2）2，， 【详解】解（1），， 平分，平分， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有5个， ，即， 的周长， 故答案为：5；；20； （2），平分，平分， ，， ，，， ，等腰三角形有， ，即， ， 此时有2个等腰三角形，． 17．（2024·江苏八年级课时练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴______． ∴______， 又∵， ∴______． 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证： 【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______． 【答案】（1）；；；（2）见解析；（3） 【详解】探究发现：解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，∴∴， 又∵，∴，故答案为：，；； 类比探究：证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P． ∵平分，∴． ∴，∴ 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接， ∵分别是的角平分线且相交于点D， ∴，， ∵，∴，∴， ∴∴是的角平分线 由（1）知，，设，，则， 由（1）知，． 18．（2024·广东·八年级专题练习）如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值；(2)求证：；(3)求的长． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）作于点E，于点F， ∵是的角平分线，，所以， 所以．∴的值是． （2）作于点G，则，因为，所以． （3）因为， ，所以． 3 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$