专题三 类型2 面积问题 全角度突破设问-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ EF=NE+NF= (3 51 +9 3 ) m. 答:此时监测仪 E 到大门 AB 的水平距离为( 3 51 + 9 3 )m. 图① 图② 图③ 第 19 题解图 类型 2　 面积问题 全角度突破设问 突破设问 1　 定值面积计算 例 1　 12　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA = OC,OB=OD,∵ OA= 4,∴ AC= 2OA= 8,∵ OH = 1. 5,DH ⊥BC,∴ 在 Rt△BDH 中,BD = 2OH = 3,∴ S菱形 ABCD = 1 2 AC·BD= 1 2 ×8×3 = 12. 例 2　 15 3 2 　 【解析】解法 1:如解图①,连接 PB,∵ AP∥BC, AP=BC,∴ 四边形 PBCA 为平行四边形,∵ CA=CB,∴ 平行四边形 PBCA 为菱形, ∴ PB = AC = 6, ∠PBC = 180°-∠C= 60°,∵ PE⊥BC,∴ BE = PB·cos∠PBC = 3,PE=PB·sin∠PBC= 3 3 ,∵ CA=CB,∠C= 120°,∴ ∠ABC= 30°,∴ OE=BE·tan∠ABC = 3 ,∴ S四边形OECA = S△ABC-S△BOE = 1 2 ×6×3 3 - 1 2 ×3× 3 = 15 3 2 . 解法 2:如解图②,连接 OC,∵ BC = AC = 6,∠ACB = 120°,∴ ∠ABC= ∠BAC = 30°. ∵ AP∥BC,PE⊥BC,∴ ∠PAB= 30°,∠EPA= 90°,又∵ AP = BC = AC,AO = AO, ∴ △PAO≌△CAO( SAS),∴ ∠OCA = ∠OPA = 90°,∴ ∠OCB= 30°,∴ OB=OC,∴ EC= 3,OE = 3 ,OC = 2 3 , ∴ S△EOC = 1 2 OE·EC= 3 3 2 ,S△AOC = 1 2 OC·AC= 6 3 , ∴ S四边形OECA =S△AOC+S△COE = 15 3 2 . 图① 　 　 图② 例 2 题解图 例 3　 2　 【解析】如解图,连接 BG,BH,∵ G,H 是 AC 的三等 分点,∴ AG=GH=HC,∴ S△ABG = S△BGH = S△BCH = 1 3 S△ABC = 1 6 S矩形ABCD,∵ AG = GH,∴ S△AEG = S△EGH,∵ BE = 2AE, ∴ S△AEG = 1 2 S△EBG = 1 3 S△ABG, ∴ S四边形EHFG = 2S△EGH = 2S△AEG = 2× 1 3 S△ABG = 2× 1 3 × 1 6 S矩形ABCD = 2× 1 3 × 1 6 ×3× 6 = 2. 例 3 题解图 例 4　 4 3 　 【解析】如解图,连接 BD,延长 NB 至点 H,使 BH =DP,连接 CH,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ ∠BCD = ∠A= 60°,AB = BC = CD = AD,∴ △ABD 和△CBD 都是 等边三角形, ∴ AD = BD, ∠ADB = ∠CDB = ∠CBD = ∠DCB= 60°,又∵ AM=DN,∴ △ADM≌△DBN( SAS), ∴ ∠ADM = ∠DBN, ∵ ∠ADM + ∠PDC = 180° - ∠A = 120°,∠DBN+∠HBC = 180°-∠CBD = 120°,∴ ∠PDC = ∠HBC,又∵ DP = BH,CD = CB, ∴ △CDP≌ △CBH (SAS),∴ ∠DCP = ∠BCH,CP = CH,S△CDP = S△CBH,∴ ∠PCH= 60°,∴ △CPH 是等边三角形,∴ S四边形CDPB = S△PCH = 3 4 ×42 = 4 3 . 例 4 题解图 突破设问 2　 面积等分问题 例 1　 2 7 　 【解析】如解图,过点 A 和点 E 作 AG⊥BC,EH⊥ BC 于点 G 和 H,得矩形 AGHE,∴ GH = AE = 2,∵ 在菱 形 ABCD 中,AB = 6,∠B = 60°,∴ BC = AB = 6,BG = 3, AG= 3 3 =EH,∴ HC = BC-BG-GH = 6- 3- 2 = 1,∵ EF 平分菱形 ABCD 面积,∴ EF 经过菱形 ABCD 对角线交 点,∴ FC = AE = 2, ∴ FH = FC -HC = 2 - 1 = 1,在 Rt △EFH 中, 根据勾股定理, 得 EF = EH2 +FH2 = 27+1 = 2 7 . 例 1 题解图 例 2　 9 4 　 【解析】如解图,连接 AC 交 l 于点 O. ∵ 直线 l 将 ▱ABCD 的面积平分,AC 为▱ABCD 的对角线,∴ O 为 AC 的中点,∴ OA = OC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,∴ AB∥CD,CD = AB = 3,∴ ∠NAO = ∠MCO,△EDM ∽△EAN,∴ DM AN = ED EA ,又∵ ∠AON = ∠COM,∴ △AON ≌△COM(ASA),∴ AN=CM,∴ DM CM = ED EA ,又∵ ED = 2, AD= 4,∴ 3-CM CM = 2 6 ,∴ CM= 9 4 . 例 2 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 例 3　 证明:如解图,设 AE 交 DF 于点 O,则 S△AOF = S△DOE, S四边形ABDO+S△AOF = ∴ S四边形ABDO+S△DOE =S△ABE = 1 2 S△ABC . 例 3 题图 例 4　 解:连接 AC,作 DE∥AC 交 BC 延长线于点 E,作 BE 的 中点 M,连接 AM,则 AM 平分四边形 ABCD 的面积. 例 4 题图 突破设问 3　 面积最值 例 1　 解:如解图,连接 EF,交 CD 于点 G,交 MN 于点 H,则 EF⊥CD,EF⊥MN, 由题意得 MN=CD=AB= 3 m,AD= 2 m,EF= 4 m,EG = 2 m,HF= x m,MN∥AB∥CD, 当 0≤x≤2 时,如解图①所示, y=S△MFN = 1 2 MN·HF= 1 2 ×3x= 1. 5x, ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= 1. 5x, ∵ 1. 5>0, ∴ 当 x= 2 时,y 最大,最大值为 3; 当 2<x≤4 时,如解图②所示, ∵ MN∥CD,∴ MN CD =EH EG ,即 MN 3 = 4 -x 2 , ∴ MN= (6-1. 5x)m, ∴ y=S△MNF = 1 2 MN·FH = 1 2 (6- 1. 5x) ·x = - 3 4 x2 + 3x= - 3 4 (x-2) 2 +3, ∵ - 3 4 <0, ∴ 当 x= 2 时,y 最大,最大值为 3. 综 上 所 述, y 关 于 x 的 函 数 表 达 式 为 y = 1. 5x(0≤x≤2), - 3 4 x2 +3x(2<x≤4),{ 通风口面积的最大值为 3 m2 . 图① 　 　 图② 例 1 题解图 例 2　 解:可以,如解图所示,连接 BD, ∵ A 为▱BCDE 的对称中心,BA= 50,∠CBE= 120°, ∴ BD= 100,∠BED= 60°, 作△BDE 的外接圆☉O,则点 E 在优弧 BD 上,取 BED ( 的中点 E′,连接 E′B,E′D,则 E′B = E′D,且∠BE′D = 60°,∴ △BE′D 为正三角形. 连接 E′O 并延长,经过点 A 至 C′,使 E′A = AC′,连接 BC′,DC′,易得四边形 BC′DE′为平行四边形,E′A⊥ BD,∴ 平行四边形 BC′DE′为菱形,且∠C′BE′= 120°, 过点 E 作 EF⊥BD,垂足为 F,连接 EO,则 EF≤EO+ OA=E′O+OA=E′A, ∴ S△BDE = 1 2 BD·EF≤ 1 2 BD·E′A=S△E′BD, ∴ S▱BCDE≤S菱形BC′DE′ = 2S△E′BD = 2× 3 4 ×1002 = 5000 3 , ∴ 满足要求的▱BCDE 的最大面积为 5000 3 m2 . 例 2 题解图 综合训练 1. 4 5 　 【解析】如解图,连接 AC,BD 交于点 H,过点 O 和点 H 的直线 MN 平分该组合图形的面积,交 AD 于点 S,取 AE 中点 P,取 AB 中点 Q,连接 OP,HQ,过点 O 作 OT⊥QH 于 点 T,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AH =HC,又∵ Q 是 AB 中 点,∴ QH= 1 2 BC= 4,QH∥BC,AQ =BQ = 2,同理可求 PO = 1 2 AG= 2,PO∥AG,EP = AP = 2,∴ PO∥AD∥BC∥EF∥QH, EP=AP=AQ=BQ,∴ MO =OS = SH =NH,∠OPQ = ∠PQH = 90°,∵ OT⊥QH,∴ 四边形 POTQ 是矩形,∴ PO = QT = 2, OT=PQ= 4,∴ TH= 2,∴ OH = OT2 +TH2 = 16+4 = 2 5 , ∴ MN= 2OH= 4 5 . 第 1 题解图 2.解:存在满足要求的点 P 和点 F. 如解图①,连接 CD, ∵ ∠DAB= 60°,∠ABC= 120°, ∴ ∠DAB+∠ABC= 180°, ∴ AD∥BC, ∵ AD=BC= 900 m, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∵ 要在湿地上修建一个新观测点 P,使∠DPC= 60°, ∴ 点 P 在以 O 为圆心,CD 为弦,圆心角为 120°的优弧 CD 上, ∵ AE=EC, ∴ 经过点 E 的直线都平分四边形 ABCD 的面积, ∵ 新步道 PF 经过观测点 E,并将五边形 ABCPD 的面积 平分, ∴ 直线 PF 必经过 CD 的中点 M, ∴ ME 是△CAD 的中位线, ∴ ME∥AD, ∵ MF∥AD,DM∥AF, ∴ 四边形 AFMD 是平行四边形, ∴ FM=AD= 900 m, 作 CN⊥PF 于点 N,如解图②, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 类型 2　 面积问题 全角度突破设问 突破设问 1 　 定值面积计算(2024. 13、2022. 26(2)、2021. 26(1)、2019. 8、2018. 14、2017. 14) ◆直接用公式计算 例 1　 (2024 西安名校模拟)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,连接 OH,若 OA= 4,OH= 1. 5,则 S菱形ABCD = 　 12　 . 例 1 题图 AC⊥BD AO=OC,BO=DO DH⊥BC →BD= 2OH S菱形ABCD = 1 2 AC·BD ì î í ï ï ï ï ï ï ◆割补法计算 例 2　 多解法 ∙∙∙ 　 (2022 陕西 26 题节选)如图,在△ABC 中,CA=CB=6,∠C=120°.过点 A 作 AP∥BC, 且 AP=BC,过点 P 作直线 l⊥BC,分别交 AB,BC 于点 O,E,四边形 OECA的面积为　 　 　 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 　 例 2 题图 ◆等分点转化法计算 例 3　 (2019 陕西 8 题改编)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC= 6,若点 E,F 分别在 AB,CD 上, 且 BE= 2AE,DF= 2FC,G,H 分别是 AC 的三等分点,则四边形 EHFG 的面积为　 2　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 　 　 例 3 题图 分析可得 S△EGH =S△AEG = 1 3 S△ABG = 1 3 × 1 3 S△ABC . ◆动态图形面积计算 例 4　 (2023 西工大九模)在菱形 ABCD 中,∠A = 60°,点 M,N 分别在 AB,AD 上,且满足 AM = DN,连接 BN,DM 交于点 P,连接 CP. 若 CP= 4,则四边形 CDPB 的面积为　 4 3 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 4 题图 【思维模型】 ①辅助线作法:连接 DB,延长 BN 至点 H,使 BH=DP; ②由“SAS”可证△ADM≌△DBN,可得∠ADM= ∠DBN,由“SAS” 可证△CDP≌△CBH,可得∠DCP = ∠BCH,CP = CH,S△CDP = S△CBH,即可求解. 56 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 突破设问 2 　 面积等分问题(2024. 26、2020. 14、2017. 25(2)) ◆中心对称图形平分面积 【解题步骤】 步骤①:中心对称图形的识别;步骤②:确定对称中心;步骤③:作过对称中心的直线. 请你根据上述解题步骤,过图①-④中的点 P 作直线 l,将对应图形的面积平分. 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【拓展】如果不是单一的中心对称图形,又该如何确定直线将图形面积平分呢? 请你在图 ⑤中试一试. 例 1　 (2020 陕西 14 题 3 分)如图,在菱形 ABCD 中,AB= 6,∠B= 60°,点 E 在边 AD 上,且 AE= 2. 若直线 l 经过点 E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点 F,则线段 EF 的长 为　 2 7 　 . 例 1 题图 　 　 例 2 题图 例 2　 (2023 陕西副题 13 题 3 分)如图,在▱ABCD 中,AB= 3,AD= 4,点 E 在 AD 的延长线上,且 DE= 2,过点 E 作直线 l 分别交边 CD,AB 于点 M,N. 若直线 l 将▱ABCD 的面积平分,则 线段 CM 的长为　 　 　 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 ①辅助线作法:连接 AC 交 l 于点 O; ②题目信息转化:直线 l 将▱ABCD 的面积平分→O 为 AC 的中点; ③计算方法:证 AN=CM,△EDM∽△EAN,求 AN. ◆利用三角形中线性质平分面积 【理论依据】 同高等底三角形面积相等 (三角形中线性质) 同底等高三角形面积相等 (平行线间距离相等) S△ABD = 1 2 BD·AE S△ACD = 1 2 CD·AE ü þ ý ï ïï ï ïï BD=CD →S△ABD =S△ACD S△ABC = 1 2 BC·AE S△DBC = 1 2 BC·DF ü þ ý ï ïï ï ïï AE=DF →S△ABC =S△DBC 66 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 【动手操作】 例 3　 如图,点 D 是△ABC 的边 BC 上一点,在 AC 上找一点 F,使得 DF 平分△ABC 的面积 作图步骤: ①作△ABC 的中线 AE; ②连接 AD,作 EF∥AD 交 AC 于 F; ③ 连 接 DF, 则 DF 平 分 △ABC 的面积 请画出 DF 例 3 题图 请证明作图的正确性. 【问题进阶】 例 4　 如图,在四边形 ABCD 的边 BC 上找一点 M,使得 AM 平分四边形 ABCD 的面积 例 4 题图 请简要叙述作图方法. 解:连接 AC,作 DE∥AC 交 BC 延长线于点 E,作 BE 的中点 M,连接 AM,则 AM 平分四边 形 ABCD 的面积 突破设问 3 　 面积最值(2021. 26(2)、2020. 25(3)、2019. 25(3)、2016. 25(3)) ◆利用二次函数解决面积最值问题 例 1　 为了保持室内空气的清新,某仓库的自动换气窗采用了以下设计:如图,窗子的形状是 一个五边形,它可看作是由一个矩形 ABCD 和一个等腰三角形 CDE(DE =CE)组成,该窗 子关闭时可以完全密封,根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气. 通风口为△FMN(其余部分均不通风),F 为 AB 的中点,MN 是可以沿窗户边框上下滑动 且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. 已知边框 AB = 3 m,AD = 2 m,窗子的高度(窗子的最 高点 E 到边框 AB 的距离)为 4 m. 设 MN 与 AB 之间的距离为 x(单位:m),通风口的面积 为 y(单位:m2),求 y 关于 x 的函数表达式和通风口面积的最大值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】连接 EF,根据题意得出 EF⊥AB,EF⊥CD,然后分 0≤x≤2 和 2<x≤4 两种 情况求出 MN 的长度,然后由三角形的面积公式求出 y 关于 x 的函数表达式,并由函数 的性质求最值. 例 1 题图 解:如解图,连接 EF,交 CD 于点 G,交 MN 于点 H,则 EF⊥CD,EF⊥MN, 由题意得 MN=CD=AB=3 m,AD=2 m,EF=4 m,EG=2 m,HF=x m,MN∥AB∥CD, 当 0<x≤2 时,如解图①所示, y=S△MFN = 1 2 MN·HF= 1 2 ×3x=1. 5x,∴ y 关于 x 的函数表达式为 y=1. 5x, 当 2<x≤4 时,如解图②所示,∵MN∥CD,∴MN CD =EH EG ,即MN 3 = 4-x 2 ,∴MN=(6-1. 5x)m, 76 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 ◆利用线圆关系解决面积最值问题 例 2　 (2019 陕西 25 题节选)如图有一座塔 A,按规划,要以塔 A 为对称中心,建一个面积尽可 能大的形状为平行四边形的景区 BCDE. 根据实际情况,要求顶点 B 是定点,点 B 到塔 A 的距离为 50 m,∠CBE= 120°,那么,是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形 景区 BCDE? 若可以,求出满足要求的▱BCDE 的最大面积;若不可以,请说明理由. (塔 A 的占地面积忽略不计) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 ①分解图形:将平行四边形 BCDE 的面积转化为 2S△BDE; ②已知数据分析:∠CBE= 120°→∠BED= 60°;BA= 50→BD= 100,想到定弦定角模型; ③辅助线作法:连接 BD,作△BDE 的外接圆☉O,则点 E 在优弧 BD 上,取 BED ( 的中点 E′,连接 E′B,E′D,四边形 BC′DE′即为所求. 例 2 题图 解:可以,如解图所示,连接 BD, ∵A 为▱BCDE 的对称中心,BA=50,∠CBE=120°,∴BD=100,∠BED=60°, 作△BDE 的外接圆☉O,则点 E 在优弧 BD 上,取 BED ( 的中点 E′,连接 E′B,E′D, 则 E′B=E′D,且∠BE′D=60°,∴△BE′D 为正三角形. 连接 E′O 并延长,经过点 A 至 C′,使 E′A=AC′,连接 BC′,DC′, 易得四边形 BC′DE′为平行四边形,E′A⊥BD,∴平行四边形 BC′DE′为菱形,且∠C′BE′=120°, 过点 E 作 EF⊥BD,垂足为 F,连接 EO,则 EF≤EO+OA=E′O+OA=E′A, ∴S△BDE = 1 2 BD·EF≤ 1 2 BD·E′A=S△E′BD, ∴S▱BCDE≤S菱形BC′DE′ =2S△E′BD =1002·sin60° =5000 3 , ∴满足要求的▱BCDE 的最大面积为 5000 3 m2 . 86