专题三 类型1 线段问题 全角度突破设问-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,OA=OB, ∴ OC= 1 2 AB= 1 2 ×6 = 3, ∴ CF=OF-OC= -m2 +9-3 = -m2 +6, 根据题意得 CF+DE= 6, ∴ -m2 +6+2m= 6, 解得 m1 = 2,m2 = 0(不符合题意,舍去), ∴ m= 2, ∴ DE= 2m= 4,CF= -m2 +6 = 2. 答:DE 的长为 4 米,CF 的长为 2 米; (3)如解图②,矩形灯带为 GHML, 第 13 题解图② 由点 A,B,C 的坐标得,直线 AC 和 BC 的函数表达式分别 为 y= x+3,y= -x+3, 设点 G(m,-m2 +9),H( -m,-m2 +9),L(m,m+3),M( -m, m+3),-3<m<0, 则矩形周长= 2(GH+GL)= 2×( -2m-m2 +9-m-3)= -2(m + 3 2 ) 2 + 33 2 ≤ 33 2 , 故矩形周长的最大值为 33 2 米. 14.解:(1)如解图,过点 B 作 BE⊥AD 交 DA 的延长线于点 E,过点 P 作 PM⊥AD 于点 M,延长 MP 交 BC 的延长线 于点 N, 第 14 题解图 ∴ ∠BAE= ∠ABC= ∠DCN= ∠D= 60°, 在菱形 ABCD 中,BC = CD = AD = AB = 4,∵ 点 P 为边 CD 的中点, ∴ DP=CP= 2, ∵ DP+DQ= 5, ∴ DQ= 3, ∴ AQ= 1, 在 Rt△ABE 中,BE=AB·sin60° = 2 3 , 在 Rt△CPN 中,PN=CP·sin60° = 3 , 在 Rt△DPM 中,PM=DP·sin60° = 3 , ∴ S△BPQ =S菱形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ = 4×2 3 - 1 2 ×1×2 3 - 1 2 ×4× 3 - 1 2 ×3× 3 = 7 3 2 ; (2)存在. ∵ ∠A= ∠ABC= ∠C= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD= 40 米,BC=AD= 60 米, 设 DP= x 米,则 CP=DQ= (40-x)米,AQ= (20+x)米, ∴ S△BPQ =S矩形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ = 40×60- 1 2 × 40×(20+x) - 1 2 × 60 × ( 40 -x) - 1 2 x(40-x) = 1 2 x2 -10x+800 = 1 2 (x-10) 2 +750, ∵ 1 2 >0,0≤x≤40, ∴ 当 x= 10 时,S△BPQ 的最小值为 750, ∴ 按此要求修建的这个健身休闲区(△PBQ)存在最小面 积,最小面积为 750 平方米,此时 DP 的长为 10 米. 15.解:(1)设 y= kx+b(k≠0), ∴ 12k+b= 56, 14k+b= 52,{ 解得: k= -2, b= 80,{ ∴ y= -2x+80(x≥10); (2)设日销售利润为 w 元. w = (x-10)( -2x+80) = -2x2 +100x-800 = -2(x2 -50x+625) -800+1250 = -2(x-25) 2 +450. ∵ -2<0,x≥10, ∴ 当 x= 25 时,w 最大,最大为 450. 答:糖果销售单价定为 25 元时,所获日销售利润最大,最 大利润是 450 元. 16.解:(1) 由题意,得 w = ( x- 40) ( - 10x+ 700) = - 10x2 + 1 100x-28000, ∵ 40≤x≤40×(1+50%), ∴ 40≤x≤60, ∴ w= -10x2 +1 100x-28000(40≤x≤60); (2)w= -10x2 +1 100x-28000 = -10(x-55) 2 +2250, ∵ -10<0,40≤x≤60, ∴ 当 40≤x< 55 时,w 随 x 的增大而增大;当 x = 55 时, w 最大;当 55<x≤60 时,w 随 x 的增大而减小, ∴ 当 40≤x<55 时,该文具店每月获得利润逐渐增多;当 55<x≤60 时,该文具店每月获得利润逐渐减少. 专题三　 综合与实践 类型 1　 线段问题 夯基础技能必备 略 全角度突破设问 突破设问 1　 计算线段长度 例 1　 5　 【解析】∵ AC = 9,EF =CE = AC-AE,∴ 设 AE = x,则 EF=CE= 9-x,在 Rt△AEF 中,由勾股定理得 AF2 +EF2 =AE2 ,即 32 +(9-x) 2 = x2 ,解得 x= 5. 例 2 　 C 　 【解析】 ∵ AD ⊥ BC 于点 D, ∴ ∠ADC = 90°, ∵ tan∠DAC = CD AD = 2, AD = 3, ∴ CD = 6, ∴ AC = AD2 +CD2 = 3 5 ,∵ E 是 AC 的中点,∴ DE = 1 2 AC = 3 5 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 例 3　 B　 【解析】∵ ▱ABCD 中,AD = 12,∴ AD∥BC,BC = AD =12,∴ △ADF∽ △EBF, ∴ AD BE = S△ADF S△BEF , ∵ S△ADF = 18,S△BEF = 8,∴ AD BE = 3 2 ,∴ BE= 8,∴ CE= 12-8 = 4. 例 4　 2 10 3 　 【解析】如解图,过点 D 作 DM∥EF 交 AB 于 点 M,则∠AMD = ∠AEF,∵ 四边形 ABCD 是矩形,AD = 6, tan ∠AMD = tan ∠AEF = 3, ∴ AM = 2, ∴ DM = AD2 +AM2 = 2 10 . ∵ AB = 8,∴ BM = 6,∵ EF∥DM, ∴ △BEF∽ △BMD, ∴ EF MD = BE BM = 1 3 , ∴ EF = 1 3 DM = 2 10 3 . 例 4 题解图 突破设问 2　 计算线段最值 例 1　 D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,且 AB = 5,AD = 3, ∴ S矩形ABCD = 3× 5 = 15. 又∵ S矩形ABCD = 3S△PAB,∴ S△PAB = 1 3 ×15 = 5. 令点 P 到 AB 边的距离为 h,则 1 2 AB·h = 5,解得 h= 2. 如解图,过点 P 作 AB 的平行线 MN,过 点 A 作 MN 的对称点 A′,连接 A′B 与 MN 交于点 P′, ∵ 点 A′和点 A 关于 MN 对称,则 A′P′= AP′. 又由两点 之间,线段最短可知,当点 P 在 P′处时,PA+PB 有最 小值. 在 Rt△A′AB 中,A′B = 42 +52 = 41 ,即 PA+ PB 的最小值为 41 . 例 1 题解图 例 2　 84°　 【解析】如解图,作点 P 关于 OA 的对称点 E,连 接 EP, EO, EM, OP, ∴ EM = MP, ∠MPO = ∠OEM, ∠EOM= ∠MOP,作点 P 关于 OB 的对称点 F,连接 NF,PF, OF, ∴ PN = FN, ∠OPN = ∠OFN, ∠PON = ∠NOF,∴ △PMN 的周长 = PM+PN+MN = EM+NF+ MN≥EF,∴ 当 E,M,N,F 四点共线时,△PMN 的周长 最小. ∵ ∠EOF = ∠EOM + ∠MOP + ∠PON + ∠NOF, ∠AOB = ∠MOP + ∠PON, ∴ ∠EOF = 2 ∠AOB, 又 ∵ ∠AOB= 48°,∴ ∠EOF = 96°,∵ 在△EOF 中,∠OEM+ ∠OFN+∠EOF = 180°,∴ ∠OEM+∠OFN = 180° - 96° = 84°,∵ ∠MPO = ∠OEM,∠OPN = ∠OFN,∴ ∠MPO +∠OPN= 84°,即∠MPN= 84°. 例 2 题解图 例 3　 2 17 　 【解析】如解图,作点 O 关于 BC 的对称点 P, 连接 PM,将 MP 沿着 MN 的方向平移 MN 长的距离, 得到 NQ,连接 PQ,OQ,则四边形 MNQP 是平行四边 形,∴ MN = PQ = 2,PM = NQ = MO,∴ OM+ON = QN+ ON,∴ 当 O,N,Q 在同一直线上时,OM+ON 的最小值 等于 OQ 的长,连接 PO 交 BC 于 E,由轴对称的性质, 可得 BC 垂直平分 OP,又∵ 矩形 ABCD 中,OB=OC,∴ E 是 BC 的中点,∴ OE 是△ABC 的中位线,∴ OE = 1 2 AB= 4,∴ OP= 2×4 = 8,又∵ PQ∥MN,∴ PQ⊥OP,∴ 在 Rt△OPQ 中,OQ = OP2 +PQ2 = 82 +22 = 2 17 ,∴ OM+ON 的最小值是 2 17 . 例 3 题解图 例 4　 5　 【解析】如解图,将 C 点向左平移 1 个单位长度至 G 点,连接 EG,AG,AG 交 PQ 于点 E′,∵ PQ∥AD∥BC, CG=EF,∴ 四边形 EFCG 是平行四边形,EG=CF,∵ 四 边形 ABCD 是矩形,∴ ∠B = 90°,BC = AD = 5,∴ BG = BC-CG= 5-1 = 4,∴ AG = AB2 +BG2 = 32 +42 = 5,∵ EG=CF,∴ AE+FC=AE+EG≥AE′+E′G=AG,即 AE+CF 的最小值为 AG 的长,∴ AE+CF 的最小值为 5. 例 4 题解图 例 5　 13 　 【解析】如解图,将点 A 向上移动 1 个单位长度 得到点M,连接 CM,∵ CD=AM= 1,且 CD∥AM,∴ 四边 形 AMCD 是平行四边形,∴ MC=AD,∴ BC+AD 的最小 值即为 BC+MC 的最小值. 作点 M 关于直线 x= 1 的对 称点 N,连接 BN,则 BC+MC 的最小值即为 BN 的长. ∵ 点 M 的坐标为( -1,1),∴ 点 N 的坐标为(3,1),∴ BN= (3-0) 2 +(1-3) 2 = 13 ,∴ BC+AD 的最小值 为 13 . 例 5 题解图 例 6　 120　 【解析】如解图,将点 C 向上平移 10 个单位长度 得到点 C′,连接 AC′,OC′,易得 CM=OC′,则 AN+CM = AN+OC′=AO-NO+OC′≥AC′-NO =AC′-10,∵ CD = AB = 60,AF = 80,FD = 40,∴ AD = 120,DC′ = 50,∴ AC′ = 1202 +502 = 130, ∴ AN + CM 的最小值为 130 - 10 = 120. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 例 6 题解图 例 7　 16　 【解析】如解图,过点 P 作 PE⊥l1 于 E,交 l2 于 F, 在 PF 上截取 PC= 8,连接 QC 交 l2 于 B,过点 B 作 BA ⊥l1 于 A,此时 PA+AB+BQ 的值最小. 过点 CP 作 QD ⊥PF 交 PF 的延长线于 D. 在 Rt△PQD 中,∵ ∠D = 90°,PQ = 4 30 , PD = 18, ∴ DQ = PQ2 -PD2 = 156 ,CD=PD-PC = 18- 8 = 10,∵ AB = PC = 8,AB∥ PC,∴ 四边形 ABCP 是平行四边形,∴ PA = BC,∴ PA+ BQ=CB+BQ=QC= DQ2 +CD2 = 156+102 = 16. 例 7 题解图 例 8　 B　 【解析】如解图,将 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 AG,连接 CG,EG,则∠GAC= 90°,∵ 等边△ABC 的边长 为 1,AF 为 BC 边上的高,∴ AG = AC = CB = 1,∠BAC = ∠BCD= 60°,AF 平分∠BAC,∴ ∠CAF = 30°,∴ ∠GAE = ∠GAC-∠CAF = 90° - 30° = 60°,∴ ∠BCD = ∠GAE, 在△BCD 和△GAE 中, CB=AG, ∠BCD= ∠GAE, CD=AE, { ∴ △BCD≌ △GAE(SAS),∴ BD=GE,∴ BD+CE =GE+CE,当点 C, E,G 共线时,GE+CE 的值最小,∴ BD+CE 的最小值 = CG= AC2 +AG2 = 2 . 例 8 题解图 例 9　 4+3 3 　 【解析】如解图,把△AMD 绕点 A 逆时针旋转 60°得△AGF,连接 GM,则△AMG 为等边三角形,AM = MG,∴ MA+MD+ME =ME+MG+GF,∴ 当 E,M,G,F 共 线且与 BC 垂直时,EM+MG+GF 最小,过点 F 作 FE′ ⊥BC 于点 E′,则线段 FE′的长即为所求的最小值. ∵ AB= 4,BC = 6,∠DAF = 60°,∴ FE′ = AB+ 3 2 AF = 4 + 3 3 . 例 9 题解图 例 10　 C　 【解析】如解图,当 DE⊥AB 时,线段 DE 的长度 最小. 在 Rt△ABC 中,tanB = AC BC ,∴ AC = 3 3 ×6 = 2 3 . ∵ ∠C = 90°, ∠B = 30°, ∴ ∠CAB = 60°, ∵ AD 平分 ∠CAB, ∴ ∠CAD = 1 2 × 60° = 30°. 在 Rt △ACD 中, tan∠CAD = CD AC , ∴ CD = 3 3 × 2 3 = 2. ∵ AD 平分 ∠CAB,且 DC⊥AC,DE⊥AB,∴ 点 D 到 AB 边的距离 等于线段 CD 的长,即线段 DE 长度的最小值为 2. 例 10 题解图 例 11　 A　 【解析】在矩形 ABCD 中,CD = AB = 3,∠ADC = 90°,∵ ED = 3 = CD,∴ ∠DCE = 45°,∴ ∠BCE = 45°, 如解图①,作点 N 关于 EC 对称的点 N′,连接 PN′, MN′,则 PM+PN = PM+PN′ = 4 = BC,易得 MN′∥BC, 如解图②,易得四边形 PNCN′,MPNB 均是矩形,∵ ∠BCE= 45°,∴ PN=NC,∴ 矩形 PNCN′是正方形,又 ∵ BN=BM,∴ 矩形 MPNB 是正方形,∴ PN =NC = BN = 1 2 BC= 2,由勾股定理得 PC= PN2 +NC = 2 2 . 图① 　 　 图② 例 11 题解图 例 12　 2 　 【解析】如解图,延长 FE 与 DH 的延长线交于点 M,连接 AC,∵ 四边形 ABCD,DEFG 都是正方形,∴ AD=CD,EF = DE,由题意得,FM∥GC, ∴ ∠MFH = ∠DCH,∠FMH= ∠CDH,又∵ H 为 CF 的中点,∴ FH =HC,∴ △FMH≌△CDH,∴ MH =DH,FM =CD = AD, ∴ FM-EF = AD-DE,即 EM = AE,又∵ AD⊥FM,∴ ∠EAM= 45°,∴ 点 M 在 AC 上运动,∵ DH= 1 2 DM,∴ 当 DM 取最小值时,DH 最小,此时 DM⊥AC. 在正方 形 ABCD 中,AC= 2AB= 4 2 ,∴ DM= 1 2 AC= 2 2 ,∴ DH= 1 2 DM= 2 . 例 12 题解图 例 13　 A　 【解析】如解图,连接 PQ,以 AB 为边向右作等边 △ABF,作射线 FQ 交 AD 于点 E,过点 D 作 DH⊥QE 交 QE 的延长线于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABP= ∠BAD = 90°,∵ △ABF,△APQ 都是等边三 角形,∴ ∠BAF = ∠PAQ = 60°,BA = FA,PA = QA, ∴ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 65 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∠BAP = ∠FAQ, 在 △BAP 和 △FAQ 中, BA=FA, ∠BAP= ∠FAQ, PA=QA, { ∴ △BAP≌△FAQ( SAS),∴ ∠ABP = ∠AFQ= 90°,∵ ∠FAE = 90°-60° = 30°,∴ ∠AEF = 90°- 30° = 60°,∵ AB = AF = 5,AE = AF cos30° = 10 3 3 ,∴ 点 Q 在射线 FE 上运动,∵ AD= BC = 5 3 ,∴ DE = AD -AE= 5 3 3 ,∵ DH⊥EF,∠DEH = ∠AEF = 60°,∴ DH = DE·sin60° = 5 3 3 × 3 2 = 5 2 ,根据垂线段最短可知,当 点 Q 与 H 重合时,DQ 的值最小,最小值为 5 2 . 例 13 题解图 例 14　 3 3 　 【解析】如解图,连接 DE, ∵ DP+PE≥DE≥ DEmin ,∴ PD+PE 的最小值为 DE 的最小值,当 DE⊥ AB 时,DE 取最小值. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 相交于点 O,AC= 6 3 ,BD = 6,∴ AO = 1 2 AC = 3 3 ,BO = 1 2 BD = 3,AC⊥BD,∴ AB = AO2 +BO2 = (3 3 ) 2 +32 = 6,∴ AB = AD = BD = 6,∴ △ABD 是等 边三角形,∴ ∠DAE = 60°,∵ DE⊥AB,∴ 在 Rt△ADE 中,sin∠DAE= DE AD = 3 2 ,∴ DEmin = 3 3 ,即 PD+PE 的 最小值为 3 3 . 例 14 题解图 例 15　 2 　 【解析】如解图,连接 AQ,过点 A 作 AH⊥BC 于 H,∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = CB, ∠ABQ = ∠CBQ,∵ BQ=BQ,∴ △ABQ≌△CBQ(SAS),∴ AQ = CQ,∴ CQ+PQ=AQ+PQ,∴ 当点 A,Q,P 共线且 AP⊥ BC 时,AQ+PQ 的值最小,为 AP 的长,此时点 P 与点 H 重合,∴ AQ+PQ 的最小值为 AH 的长,∵ AB = 2, ∠ABC= 45°,∴ AH= 2 ,∴ CQ+PQ 的最小值为 2 . 例 15 题解图 例 16　 4 3 　 【解析】如解图,过点 A 作 AT⊥BC 于点 T,过点 M 作 MH ⊥ BC 于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠ABC= 60°,∴ ∠DBC = 1 2 ∠ABC = 30°,∵ MH⊥BC, ∴ ∠BHM= 90°,∴ MH = 1 2 BM,∴ AM+ 1 2 BM = AM+ MH,∵ AT⊥BC,∴ ∠ATB = 90°,∴ AT = AB·sin60° = 4 3 ,∵ AM+MH≥AT,∴ AM+MH≥4 3 ,∴ AM+ 1 2 BM ≥4 3 ,∴ AM+ 1 2 BM 的最小值为 4 3 . 例 16 题解图 例 17　 4 2 　 【解析】如解图,过点 A 作射线 AE,使得∠DAE = 30°,过点 P 作 PH⊥AE 于点 H,连接 BH,则 PH = 1 2 PA,∴ PA+2PB= 2(PB+ 1 2 PA)= 2(PB+PH),过点 B 作 BF⊥AE 于点 F,则 PB+PH≥BH≥BF,即所求最 小值为 2BF 的长. 由题知∠BAD = 15°, ∴ ∠BAF = ∠BAD+∠DAE= 45°,∵ AB = 4,∴ BF = 2 2 ,∴ 2BF = 4 2 ,即 PA+2PB 的最小值为 4 2 . 例 17 题解图 例 18　 2 5 -2　 【解析】如解图,连接 OP,OC,OC 交半圆 O 于点 P′,∵ 正方形 ABCD 的边长为 4,AB 为半圆 O 的 直径, ∴ OB = 1 2 AB = 2, BC = 4, ∠OBC = 90°, 在 Rt△OBC 中,OC = OB2 +BC2 = 2 5 , ∵ CP + OP≥ OC,∴ CP≥OC-OP = 2 5 -2,∴ 当点 P 与点 P′重合 时,CP 取得最小值 2 5 -2. 例 18 题解图 例 19　 3 2 +1　 【解析】解法 1:当☉O 与 CB,CD 相切时,点 A 到☉O 上的点 Q 的距离最大,如解图①,过点 O 分 别作 OE⊥BC 于点 E,OF⊥CD 于点 F,∴ OE = OF = 1,∴ CO 平分∠BCD,∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ 点 O 在 AC 上,∵ AC = 2 BC = 4 2 ,OC = 2 OE = 2 ,∴ AQ=AC-OC+OQ= 4 2 - 2 +1 = 3 2 +1,即点 A 到☉O 上的点的距离的最大值为 3 2 +1. 图① 　 　 图② 例 19 题解图 解法 2:如解图②,取☉O 上任一点 E,连接 OE,AO, AE,则 AE≤OA+OE =OA+1,过点 O 分别作 OF⊥AB 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 75 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 于点 F,OG⊥AD 于点 G,设 AF = a,AG = b,则 FB = 4- a,GD = 4 - b, 则 OA2 = OG2 + AG2 = a2 + b2 , ∵ 4-a≥1, 4-b≥1,{ ∴ a≤3, b≤3,{ 当 a= 3,b= 3 时,OA 有最大值,∴ OAmax = 3 2 ,∴ AEmax = 3 2 +1. 例 20　 2 3 -1　 【解析】如解图,当 OM⊥BA 于点 M,交半圆 O 于点 N,此时 MN 最小,MN 的最小值为 OM-ON = OB·sinB-ON= 2 3 -1. 例 20 题解图 例 21　 4+2 5 　 【解析】如解图,在 Rt△ABC 中,∵ AB= 4,BC = 2, ∠ABC = 90°, ∴ S△ABC = 1 2 AB · BC = 4, AC = AB2 +BC2 = 2 5 , ∵ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = 4 + S△ACD,∴ 当△ACD 的面积最大时,四边形 ABCD 的面 积最大. ∵ ☉O 在斜边 AC 上滚动,点 D 是☉O 上一 点,∴ 当过点 D 的直径 DE ⊥ AC 时,DE 最大, 即 △ACD 的面积最大,此时 DE= 2,∴ S△ACD最大 = 1 2 AC· DE= 2 5 ,∴ 四边形 ABCD 的最大面积为 4+2 5 . 例 21 题解图 例 22　 C　 【解析】如解图,过点 P 作 CE⊥OP 交☉O 于点 C,E,连接 OC,由勾股定理得 CP= OC2 -OP2 = 6,则 CE = 2CP= 12,∴ 过点 P 的最短的弦长为 12,∵ ☉O 的半径 为 10,∴ ☉O 的直径为 20,即过点 P 的最长的弦长为 20, ∴ 12≤过点 P 的弦长≤20. 结合选项知选 C. 例 22 题解图 例 23　 2 7 　 【解析】如解图,连接 MP,MQ,∵ PQ 是☉M 的 切线,∴ MQ⊥PQ,∴ PQ = PM2 -MQ2 = PM2 -4 ,∴ 当 PM 最小时,PQ 最小,当 MP⊥AB 时,PM 最小,即 PQ 最 小,直线 y = x+ 4 与 x 轴的交点 A 的坐标为( - 4,0),与 y 轴的交点 B 的坐标为(0,4),∴ OA =OB = 4,∴ ∠BAO = 45°,AM= 8,当 MP⊥AB 时,MP=AM·sin∠BAO= 8× 2 2 = 4 2 ,∴ PQ 的最小值为 (4 2 ) 2 -4 = 28 = 2 7 . 例 23 题解图 例 24　 B　 【解析】如解图,过点 A,B 作☉P,☉P 与 x 轴相切 于点 C 时,∠ACB 最大,连接 PA、PC,作 PH⊥y 轴于 点 H,∵ 点 A,B 的坐标分别是(0,1),(0,3),∴ OA = 1,OB= 3,∴ AB = 3-1 = 2,∵ PH⊥AB,∴ AH = BH = 1, ∴ OH= 2,∵ ☉P 与 x 轴相切于点 C,∴ PC⊥x 轴,∴ 四边形 PCOH 为矩形,∴ PC = OH = 2,OC = PH,∴ PA = 2,在 Rt △PAH 中,PH = PA2 -AH2 = 22 -12 = 3 ,∴ OC= 3 ,∴ 点 C 的坐标为( 3 ,0) . 例 24 题解图 例 25　 4 5 　 【解析】如解图,作一个圆,使该圆经过 B,C 点 且和 AD 相切于点 P′,连接 BP′,CP′,令 CP 与圆交于 点 G,连接 BG. ∵ ∠BGC = ∠BPC+ ∠PBG,∴ ∠BPC ≤∠BGC = ∠BP′ C. 当 P, G 两点重合时取等号, ∠BPC 最大,此时点 P 为 AD 的中点,即为点 P′,∴ BP′=CP′,作 BH⊥CP′于点 H. ∵ AD =AB = 4,∴ AP′= 2,由勾股定理得 BP′= AB2 +AP′2 = 42 +22 = 2 5 , ∵ S△P′BC = 1 2 CP′·BH = 1 2 BC·AB,即 1 2 × 2 5 BH = 1 2 ×4×4,解得 BH = 8 5 5 ,∴ sin∠BP′C = BH BP′ = 8 5 5 2 5 = 4 5 ,∴ sin∠BPC 的最大值为 4 5 . 例 25 题解图 例 26　 B　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆☉O,连接 OA, OB,OC,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H,∵ ∠ABC = 120°, ∴ ∠AOC= 2( 180° - ∠ABC) = 120°,∴ ∠AOH = 60°, 设☉O 的半径为 r,则 OH = r 2 ,AC = 2AH = 3 r,又∵ OB≥OH+BD,即 r≥ r 2 + 3,解得 r≥6,∴ AC = 3 r≥ 6 3 ,∴ AC 的最小值为 6 3 . 例 26 题解图 例 27　 16 3 3 　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆☉O,连接 OA,OB,OC,过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,∵ ∠BAC = 60°,∴ ∠BOC= 120°,∵ OB=OC,∴ ∠OBC= ∠OCB = 30°,设☉O 的半径为 r,则 OE = 1 2 OB = 1 2 r,BE = 3 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 85 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 OB= 3 2 r,∴ BC = 3 r,∵ OA+OE≥AD,∴ r+ 1 2 r≥4, 解得 r≥ 8 3 ,∴ BC≥ 8 3 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD≥ 1 2 × 8 3 3 ×4 = 16 3 3 ,∴ △ABC 面积的最小值为 16 3 3 . 例 27 题解图 分考法综合训练 1. D　 【解析】由于折叠,△BEF≌△PEF,△DGH≌△PGH, ∴ EP = EB,FP = FB,∠EPF = ∠EBF = ∠GPH = ∠GDH = 90°,∴ ∠EPG= ∠FPH= 90°,∵ 两个直角的顶点重合于对 角线 BD 上的点 P 处,∴ EF 是 BP 的垂直平分线,GH 是 PD 的垂直平分线,∵ AC 与 BD 互相垂直平分,∴ EF∥AC∥ GH,∴ ∠BEF = ∠BAC = 45°, ∴ ∠BEP = 90°, ∴ 四边形 BEPF 是矩形,∴ EF = BP,同理可得,GH = PD,∵ ∠AEP = ∠EPG= ∠EAG= 90°,∴ 四边形 AEPG 是矩形,∴ AE = PG, 同理可得,FC=PH,∴ 阴影部分的周长=EP+PG+GH+HP+ PF+FE=BE+AE+PD+FC+BF+BP=AB+BC+BD. 2. B　 【解析】如解图,连接 BP,∵ 菱形 ABCD 的周长为 20, 面积为 24,∴ BA=BC = 5,S△ABC = 1 2 S菱形ABCD = 12,∵ S△ABC = S△PAB+S△PBC,∴ 1 2 ×5PE+ 1 2 ×5PF= 12,∴ PE+PF= 24 5 . 第 2 题解图 3. 1　 【解析】过点 D 作 DH∥AC 交 BC 于 H,连接 HF,过点 A 作 AK⊥BC 于 K,如解图,∵ △ABC 为等边三角形,且边长 为 4,∴ ∠B= ∠C = 60°,BC = AC = 4,∵ DH∥AC,AK⊥BC, ∴ ∠DHB= ∠C= 60°,∠FDH= ∠FEA,BK =CK = 1 2 BC = 2, ∴ ∠DHB= ∠B= 60°,∴ △DBH 为等边三角形,∴ BD =DH =BH,∵ BD=AE,∴ DH=AE,∵ 点 F 为 DE 的中点,∴ DF = EF,在△DFH 和△EFA 中, DH=EA, ∠FDH= ∠FEA, DF=EF, { ∴ △DFH≌ △EFA(SAS),∴ AF =HF,∠DFH = ∠EFA,∴ 点 A,F,H 在 同一条直线上,∴ AH = AF+FH = 2AF = 13 ,在 Rt△ACK 中,AC= 4,CK = 2,由勾股定理得 AK = AC2 -CK2 = 2 3 , 在 Rt△AHK 中,由勾股定理得 HK = AH2 -AK2 = 1,∴ BH =BK-HK= 2-1 = 1,∴ BD=BH= 1. 第 3 题解图 4. 40 3 　 【解析】如解图,过 B 作 BE⊥AD,交 AD 延长线于点 E,∴ ∠DEB = 90°,∵ ∠C = 90°,∠ADC = ∠BDE,∴ △BDE ∽△ADC,∴ AC BE = CD DE , ∵ AC = 4,CD = 1, ∴ 4DE = BE, ∵ ∠BAD= 45°,∠DEB = 90°,∴ △ABE 是等腰直角三角形, 即 AE = BE = 4DE, ∴ AD = 3DE, ∵ 在 Rt △ACD 中,AD = AC2 +CD2 = 17 ,∴ DE = 17 3 ,∴ BE = 4DE = 4 17 3 ,∵ ∠DEB= 90°,∴ BD= BE2 +DE2 = 17 3 ,∴ BC = 20 3 ,∴ S△ ABC = 1 2 AC·BC= 40 3 . 第 4 题解图 5. 3 2 　 【解析】如解图,过点 G 作 GH⊥AC 于点 H,∵ ∠ACB = 90°,AC=BC = 5,∴ △ABC 是等腰直角三角形,∴ ∠A = 45°,AB= 2AC= 5 2 ,∵ GH⊥AC,∴ △AGH 是等腰直角三 角形,∴ AH=HG,AG= 2AH,∵ 四边形 DEFG 是正方形,∴ DG=DE,∠GDE= 90°,∴ ∠GDH = 90°-∠EDC = ∠DEC,在 △DGH 和 △EDC 中, ∠DHG= ∠ECD= 90°, ∠GDH= ∠DEC, DG=ED, { ∴ △DGH≌ △EDC(AAS),∴ GH=DC,DH=CE,∴ AH =HG =DC,设 AH =HG=DC=a,DH=CE= b,∵ 正方形 DEFG 的边长为 5 ,∴ DE= 5 ,∵ AC=AH+DH+DC,DC2 +CE2 =DE2 ,∴ 2a+b = 5, a2 +b2 = ( 5 ) 2 ,将 b= 5-2a 代入 a2 +b2 = ( 5 ) 2 整理得:a2 - 4a+4 = 0,解得 a1 =a2 = 2,∴ AH=a= 2,∴ AG = 2 AH = 2 2 , ∴ BG=AB-AG= 5 2 -2 2 = 3 2 . 第 5 题解图 6. (Ⅰ) 2;( Ⅱ) 10 2 　 【解析】 ( Ⅰ) ∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ OA=OC =OD =OB,∠DOC = 90°,∴ 在 Rt△DOC 中, OD2 +OC2 =DC2 ,∵ DC = 3 2 ,∴ OA = OD = OC = OB = 3,∵ OE= 5,∴ AE =OE-OA = 2;( Ⅱ)解法 1:如解图①,过点 D 作 AF 的平行线交 AC 于点 G,∵ F 为 DE 中点,∴ A 为 EG 中点,AF 为△DEG 的中位线,∴ AG = AE = 2,∴ OG = 1,∵ OA= OD = 3, ∴ DG = OG2 +OD2 = 10 , ∴ AF = 1 2 DG = 10 2 . 解法 2:如解图②,延长 DA 到点 G,使 AG=AD,连接 EG,过 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 全角度突破设问 突破设问 1 　 计算线段长度(必考) ◆利用勾股定理(或三角函数)计算 例 1　 如图,在△ABC 中,点 E 是 AC 上一点,EF⊥AB 于点 F,若 AF= 3,AC= 9,EF=CE,则 AE 的长为　 5　 . 　 例 1 题图 　 　 　 例 2 题图 例 2　 (2024 咸阳名校模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,点 E 为 AC 的中点,连 接 DE,若 AD= 3,tan∠DAC= 2,则 DE 的长为 (　 C　 ) A. 5 　 　 　 　 　 　 B. 3 　 　 　 　 　 　 C. 3 5 2 　 　 　 　 　 　 D. 3 5 ◆利用相似计算 例 3　 如图,在▱ABCD 中,点 E 在 BC 上,连接 BD,AE 交于点 F,若 S△ADF = 18,S△BEF = 8,且 AD= 12,则 CE 的长为 (　 B　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例 3 题图 　 　 例 4 题图 　 　 例 4 题解图 例 4　 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 8,AD= 6,点 E 在 AB 上,BE= 2,点 F 在 BD 上,tan∠AEF = 3,则 EF= 　 　 　 　 . 突破设问 2 　 计算线段最值(必考) ◆利用轴对称转化———将军饮马问题 (1)异侧两定点+定直线上动点 问题 图示 作图 总结 点 P 是直线 m 上一动点,定 点 A,B 分别在直线 m 两侧, 连接 AP,BP,在图中画出 AP +BP 最小时点 P 的位置 异侧两定点,连线定 位置 (2)同侧两定点+定直线上动点(见例 1) 问题 图示 作图 总结 点 P 是直线 m 上一动点,定 点 A,B 均在直线 m 上方,连 接 AP,BP,在图中画出 AP+ BP 最小时点 P 的位置 同侧两定点,对称化 两边,连线定位置 (3)一定点(角内)两动点(角两边)周长最值(见例 2) 15 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 问题 图示 作图 总结 点 A 在∠MON 内,点 P 和点 Q 分别在 ON,OM 上运动,在 图中画出△AQP 周长最小时 点 P,Q 的位置 分别向两边作对称, 连 线 与 边 交 点 定 位置 例 1　 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5,AD = 3, 动点 P 满足 S矩形ABCD = 3S△PAB,则点 P 到 A,B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 (　 D　 ) 例 1 题图 A. 29 　 B. 34 　 C. 5 2 　 D. 41 例 2　 如图,已知∠AOB = 48°,点 P 为∠AOB 内部一点,点 M,N 分别为射线 OA,OB 上 的两个动点,当△PMN 的周长最小时, ∠MPN= 　 84°　 . 例 2 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ◆利用平移转化———造桥选址问题 (1)动线段(定长)与一定点线段和最值(见例 3) 问题 图示 作图 总结 长度为 a 的线段 PQ 在直线 m 上运动,点 A 是直线 m 上方一 定点,在图中画出当 AP+AQ 最 小时,线段 PQ 的位置 先找定点对称点化 为异侧,再平移连线 定位置 结论:AP+AQ 最小时, PA=AQ (2)动线段(定长)与异侧两定点线段和最值(见例 4) 问题 图示 作图 总结 长度为 a 的线段 PQ 在直线 m 上运动,点 A,B 是直线 m 两侧的定点,在图中画出当 AP+BQ 最小时,线段 PQ 的 位置 平移—四点化三点, 异侧连线定位置 (3)动线段(定长)与同侧两定点线段和最值(见例 5) 问题 图示 作图 总结 长度为 a 的线段 PQ 在直线 m 上运动,点 A,B 是直线 m 上方的定点,在图中画出当 AP+BQ 最小时,线段 PQ 的 位置 先对称再平移,异侧 连线定位置 25 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 (4)动圆与异侧两定点线段和最值(见例 6) 问题 图示 作图 总结 已知∠ACB = 90°,☉O 的半 径为 r,OP⊥AC 于 M,交☉O 于 P,M 是 AC 的中点,点 Q 是☉O 上一点,在图中画出 AP+BQ 最小时,☉O 的位置 平移半径得定点,连 线交点定位置 (5)平行线两侧两定点(造桥选址)(见例 7) 问题 图示 作图 总结 已知直线 m∥n,m 与 n 间 的距离 MN = a,点 A,B 是 两个定点,在图中画出当 AN+BM 取最小值时 MN 的位置 平移定长得定点,连线 交点定位置 例 3　 如图,O 为矩形 ABCD 对角线 AC,BD 的交点, AB = 8,M,N 是直线 BC 上的 动点,且 MN = 2,则 OM + ON 的最小值 是　 2 17 　 . 例 3 题图 例 4　 (2024 榆林名校模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,AD = 5,点 P,Q 分别在 AB,CD 上,PQ∥AD,线段 EF 在 PQ 上,且满足 EF = 1,连接 AE,CF,则 AE+CF 的最小值为 　 5　 . 例 4 题图 例 5　 如图,CD 是直线 x = 1 上长度固定为 1 的一条动线段,已知点 A( - 1,0),B( 0, 3),连接 BC,AD,则 BC+AD 的最小值是 　 13 　 . 例 5 题图 例 6　 (2024 西安名校模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 60,点 F,E 分别在 AD,BC 上,AF =BE= 80,FD =CE = 40. 半径为 10 的☉O 在线段 EF 上移动,并与 EF 交于点 M(M 在圆心 O 的下方,圆心 O 在 EF 上),N 为 ☉O 上任意一点,连接 AN,CM,则 AN+CM 的最小值为　 120　 . 例 6 题图 例 7　 如图,已知直线 l1∥l2,l1,l2 之间的距离 为 8,点 P 到直线 l1 的距离为 6,点 Q 到直 线 l2 的距离为 4,PQ= 4 30 ,在直线 l1 上 有一动点 A,直线 l2 上有一动点 B,满足 AB⊥ l2,且 PA+AB +BQ 最小,此时 PA+ BQ= 　 16　 . 例 7 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 ◆利用旋转转化———费马点问题 (1)等线段型(见例 8) 问题 图示 作图 总结 在 △ABC 中, AB = AC, ∠BAC= 90°,点 P,Q 分别 在 AC,BC 上,AP = CQ,在 图中画出 AQ+BP 取最小 值时点 Q 的位置 结合等线段构造全等, 两动点化为一直线两 侧两 定 点, 连 交 点 定 位置 (2)“丫”字型———费马点(见例 9) 问题 图示 作图 总结 点 P 是锐角△ABC 内一点, 连接 AP,BP,CP,在图中画 出当 AP+BP+CP 取得最小 值时的等价线段 旋转 60°,三线共线 取最小 例 8 　 如图,等边△ABC 的边长为 1,AF 为 BC 边上的高,点 D,E 分别为 AC,AF 的上 两个动点,且满足 CD = AE,连接 BD,CE, 则 BD+CE 的最小值为 (　 B　 ) 例 8 题图 A. 1　 　 　 B. 2 　 　 C. 3 　 　 D. 2 2 例 9　 如图,已知矩形 ABCD,AB = 4,BC = 6, 点 M 为矩形内一点,点 E 为 BC 边上任意 一 点, 则 MA + MD + ME 的 最 小 值 为　 　 　 　 . 例 9 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ◆应用“垂线段最短”求最值 (1)“一动一定”或两平行线上动点间单一线段最小值(动点在线上) 问题 图示 作图 总结 已知直线 l 上一动点 P 和 l 外一定点 A,在图中画出 线段 PA 最小时点 P 的 位置 连接直线外一点与直 线上各点的所有线段 中,垂线段最短 平行线 m 和 n 之间的距 离为 a,动点 M 在直线 m 上,动点 N 在直线 n 上, 求 MN 的最小值 化动 为 定, 找 垂 线 段 最短 45 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 例 10　 (2024 南充)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠B = 30°,BC = 6,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,点 E 为边 AB 上一点,则线段 DE 长度的最小值为 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 例 10 题图 A. 2 　 　 B. 3 　 　 C. 2　 　 　 D. 3 例 11　 (2023 陕西 13 题 3 分)如图,在矩形 AB- CD 中,AB= 3,BC = 4. 点 E 在边 AD 上,且 ED= 3,M,N 分别是边 AB,BC 上的动点, 且 BM=BN,P 是线段 CE 上的动点,连接 PM,PN. 若 PM+PN= 4,则线段 PC 的长为 (　 A　 ) 例 11 题图 A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 3 2 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (2)“豆随瓜动”单一线段最值(直线型瓜豆) 问题 图示 作图 依据 已知直线 m 和定点 A, 点 M 在 直 线 m 上 运 动,点 N 在 AM 上,AN = nAM(0 <n< 1),在图 中 画 出 点 N 的 运 动 轨迹 以定点为媒,由瓜定 豆,平行线分线段成比 例定豆线与瓜线平行 已知点 M 在直线 m 上, 将点M 绕定点 A 逆时针 旋转α 得点N,试画出点 N 的运动轨迹 以定点为媒,同向旋 转由瓜找豆(旋转手 拉手),对 角 互 补 定 夹角 例 12　 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在线段 AD 上,以 DE 为边构造正方形 DEFG,使点 G 在 CD 的延长线上,连接 CF,取 CF 的中点 H,连接 DH. 当点 E 在 AD 边上运动(不含 A,D)时,DH 的最小值 为　 2 　 . 例 12 题图 例 13 　 (2021 泰安)如图,在矩形 ABCD 中, AB= 5,BC = 5 3 ,点 P 在线段 BC 上运动 (含 B,C 两点),连接 AP,以点 A 为中心, 将线段 AP 逆时针旋转 60°到 AQ,连接 DQ,则线段 DQ 的最小值为 (　 A　 ) 例 13 题图 A. 5 2 　 　 B. 5 2 　 　 C. 5 3 3 　 　 D. 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 (3)一定两动线段和最值 问题 图示 作图 作法总结 已知点 M,N 分别在 OP, OQ 上,点 A 是∠POQ 外 一点,在图中画出当 AM +MN 取最小值时点 M,N 的位置 连接 AN,AM +MN≥ AN,当 AN⊥OQ 时取 最小值 点 A 是 ON 上一定点,点 P,Q 分别在 ON,OM 上 运动,在图中画出 AQ + PQ 最 小 时 点 P, Q 的 位置 作点 A 关于 OM 的对 称点 A′,连接 A′P,当 A′P ⊥ ON 时取最小 值,此时 A′ P 交 OM 于点 Q 例 14　 (2020 贺州改编)如图,四边形 ABCD 是 菱形,对角线 AC,BD 相交于点 O,AC = 6 3 ,BD= 6,点 P 是 AC 上一动点,点 E 是 AB 上一动点,连接 PD,PE,则 PD+PE 的 最小值为　 3 3 　 . 例 14 题图 例 15　 (2022 娄底)如图,菱形 ABCD 的边长 为 2,∠ABC = 45°,点 P,Q 分别是 BC,BD 上 的 动 点, 则 CQ + PQ 的 最 小 值 为　 2 　 . 例 15 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (4)“AB+kBC”型———胡不归 问题 图示 作图 作法点拨 点 P 是 直 线 m 上一动点,点 A, B 是 两 个 定 点, 求 PA + kPB (0 < k<1)的最小值 作直线 BN 使得sin∠PBN= k,点 N 和 点 A 在 点 P 的 两 侧, 作 PQ⊥BN 于点 Q,则 PQ = kPB, AP+kPB=AP+PQ≥AQ≥AQ′,当 AQ⊥BN 时取等号 例 16　 如图,四边形 ABCD 是菱形,AB= 8,且 ∠ABC= 60°,M 为对角线 BD(不含 B 点) 上任意一点, 则 AM + 1 2 BM 的最小值 为　 4 3 　 . 例 16 题图 例 17　 (2022 鄂尔多斯)如图,在△ABC 中,AB= AC= 4,∠CAB = 30°,AD⊥BC,垂足为 D,P 为线段 AD 上的一动点,连接 PB,PC,则 PA+2PB 的最小值为　 4 2 　 . 例 17 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 65 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 ◆点圆最值 模型特征:平面内一定点 A 与半径为 r(定值)的圆上一动点 P 之间距离的最值. 基本思路:有圆找圆心,“两点”化“三点”,三点共线取最值. 模型构建 类型 定点在圆外(最常考) 定点在圆上 定点在圆内 图形 作图 解法 提炼 基本方法:“一箭穿心”找最值,“近”定最小“远”最大. 基本依据:三角形三边关系,三点共线,圆中最长弦是直径 最大值 AP2 =OA+r AP2 =OA+r= 2r AP2 =OA+r 最小值 AP1 =OA-r AP1 = 0 AP1 = r-AO 拓展———夹角问题 问题 图形 作图 推理与依据 点 A 是☉O 外一 点, 点 P 在 ☉O 上, 当 ∠PAO 最 大 时, 确 定 点 P 的位置 作 OQ⊥AP 于点 Q,则 OQ ≤r,sin∠PAO = OQ OA ≤ r OA , 当 OQ= r 时,∠PAO 最大, 此时 AP 和☉O 相切 例 18　 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 P 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,连接 CP,则 CP 的最小值为　 2 5 -2　 . 例 18 题图 　 　 　 　 例 19 题图 例 19　 多解法 ∙∙∙ 　 (2021 陕西 13 题 3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,☉O 的半径为 1. 若☉O 在正方形 ABCD 内平移(☉O 可以与该正方形的边相切),则点 A 到☉O 上的点的距离的 最大值为　 3 2 +1　 . 75 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 ◆线圆最值 (1)圆上动点到定直线距离最值问题 模型特征:半径为 r(定值)的圆上一动点 P 与定直线 m 间距离的最值. 模型构建(记圆心 O 到定直线 m 的距离为 d,圆半径为 r) 类型 图形 作图(及依据) 依据与总结 线圆 相离 最大值 PQ≤PM≤OM+OP=OM+ OP1 =d+r 最小值 PQ ≥ OQ - OP ≥ OM - OP2 =d-r 线圆 相切 最大值 PQ最大 =P1M= 2r 最小值 PQ最小 =P2M= 0 线圆 相交 △ABP 面积最大 当 PT 与 P1M 重合时取 最大 四边形 APBQ 面积最大 P2Q2 为 直 径 且 P2Q2 ⊥AB 依据 1:垂线 段最短. 依据 2:三边 关 系 及 三 点 共线. 总结:过圆心 作 定 直 线 的 垂 线 与 圆 相 交,近垂足取 最小,远垂足 取最大 拓展:半径为 r 的圆上动点 P 与定直线 m 上一动点 Q 间距离最值问题 图形 作图 推理与依据 线圆 相离 ∵ PQ≥PQ′(垂线段最短), PQ′≥MP最小(线圆最小问题), ∴ PQ≥P最小 M=OM-r 例 20 题图 例 20　 如图,∠ABC= 60°,点 O 在射线 BC 上,OB = 4,以 O 为圆心在 BC 的上方作半径为 1 的半圆,点M,N 分别是射线 BA、半圆上的动点,连 接 MN,则 MN 的最小值为　 2 3 -1　 . 85 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 例 21　 如图,在 Rt△ABC 中,AB= 4,BC= 2,∠ABC= 90°,半径为 1 的☉O 在斜边 AC 上滚动, 点 D 是☉O 上一点,则四边形 ABCD 的最大面积为　 4+2 5 　 . 例 21 题图 (2)经过圆内一点弦的最值问题 问题 点 A 是半径为 r 的☉O 内一定点,OA = a,点 M,N 均在☉O 上,且 MN 经过 点 A 图形与结论 MN 的最小值 MN最小 = 2 r2 -a2 MN 的最大值 MN最大 = 2r 理论基础 作 OD⊥MN 于点 D,连接 OM,则 MN= 2MD,MD2 =OM2 -OD2 = r2 -OD2,∵ 0≤ OD2≤OA2,∴ 当 OD=a 时,MN 取最小值;当 OD= 0 时,MN 取最大值 (3)切线长问题 问题 图形 作图 推理与依据 点 P 是半径为 r 的☉O 上一 动 点, 过 点 P 作 ☉O 的切线交直 线 m 于点 Q,点 O 到 m 的距 离为 d(d>r),求 PQ 的 最小值 推理:PQ2 = OQ2 -OP2 =OQ2 - r2,则当 OQ 最 小时,PQ 最小,即 OQ 垂 直 于 m 时, PQ 最小; 依据:勾股定理转化; 垂线段最短 例 22　 (北师九下 P106 第 17 题改编)如图,☉O 的半径为 10,若 OP = 8,则经过点 P 的弦 长可能是 (　 C　 ) 例 22 题图 A. 10　 　 　 B. 6　 　 　 C. 19　 　 　 D. 22 例 23 　 (2024 凉山州) 如图, ☉M 的圆心为 M(4,0),半径为 2,P 是直线 y = x+4 上的 一个动点,过点 P 作☉M 的切线,切点为 Q,则 PQ 的最小值为 　 2 7 　 . 例 23 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 ◆两个变化的辅助圆 类型 图示与作图 思路说明 定角 定高 辅助圆 作 △ABC 的 外 接 圆 O,设半径为 r, 则 ON = rcosα,BC = 2CN = 2rsinα. r+ ON= r(1+cosα)≥ AN ≥ AD, 从 而 当 A, O, D 共 线 时 r 最小,BC 最小 最大 张角 辅助圆 作 △APB 的 外 接 圆 O,当☉O 和直 线 KN 相交时,必 然在 ☉O 内 有 一 点 P′,使得∠AP′B >∠APB,∴ 当☉O 和 直 线 KN 相 切 时,∠APB 最大 题后总结:最大张角找相切. 例 24　 如图,已知点 A,B 的坐标分别是(0,1),(0,3),点 C 为 x 轴正半轴上一动点,当 ∠ACB 最大时,点 C 的坐标是 (　 B　 ) A. (2,0)　 　 　 　 　 　 B. ( 3 ,0)　 　 　 　 　 　 C. ( 2 ,0)　 　 　 　 　 　 D. (1,0) 例 24 题图 　 　 　 　 　 　 例 25 题图 例 25　 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 P 在 AD 上,连接 BP,CP,则 sin∠BPC 的最大值 为　 　 　 　 . 例 26　 名师原创 已知在△ABC 中,∠ABC= 120°,BD⊥AC 于点 D,BD= 3,则 AC 的最小值是 (　 B　 ) A. 5 B. 6 3 C. 9 3 D. 18 3 例 26 题图 　 　 　 　 　 例 27 题图 例 27　 如图,在△ABC 中,∠BAC = 60°,AD⊥BC 于点 D,且 AD = 4,则△ABC 面积的最小值 为　 　 　 　 . 06