专题27.3 实际问题与反比例函数（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，系统梳理用反比例函数解决问题的“审、设、列、写、解”步骤，通过物理（电流电阻关系）、几何（面积与压强）、工程、行程、分段函数等题型构建学习支架，衔接理论与实际应用。 资料特色在于跨学科整合与探究式设计，如结合物理中电流电阻实验、几何中矩形面积问题培养数学眼光，通过分段函数情境分析发展数学思维，课后检测与复盘笔记助力学生用数学语言表达和查漏补缺，提升应用意识与实践能力。

简一数理 初中专题讲义 专题27.3 实际问题与反比例函数 （新教材人教版） 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 2 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 2 【题型1 物理问题】 2 【题型2 几何问题】 5 【题型3 工程问题】 9 【题型4 行程问题】 12 【题型5 分段函数问题】 14 【探究式学习】 20 【课后检测】 22 【复盘笔记】 40 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【题型1 物理问题】 【例1】一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 【变式1-1】某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 【变式1-2】【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 【变式1-3】某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 【题型2 几何问题】 【例2】如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出地面受到的压强，求出比即可求解． 【详解】解：设长方体砖块的重力为， ∵两个面的面积比是， ∴可设面的面积为，面的面积为，面的面积为， 由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强， 当面向下放在水平地面上，压强， 当面向下放在水平地面上，压强， ∴． 【变式2-1】某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 【答案】0.4 【分析】根据圆柱体积公式，已知储水量（体积）不变，因此可得反比例关系：． 【详解】解：由题意可知：，即． 当原底面积时，原高度； 当底面积变为时，新高度； 则当储水罐底面积由变为时，其高增加了． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质． （1）当为的中点时，点的坐标为，由此代入求得函数解析式，把代入解析式即可求得坐标； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数、二次函数的性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴该函数的解析式为， 把代入， 得， ∴； （2）由题意知E，F两点坐标分别为，， ∴， ， 在边上，不与A，B重合，即， 解得， ∴当时，有最大值，． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．    (1)求k； (2)直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解； （2）由（1）可先求出直线的解析式为，然后联立直线的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，如图所示：    ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，， ∴设直线的解析式为， 则把点A、C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与反比例函数可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 【题型3 工程问题】 【例3】成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 【变式3-1】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 【变式3-2】某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】(1)①；② (2)125辆 【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可； （2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可； 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵函数在上递减， ∴当x=80时，函数值最小，此时， ∴y≥12500； （2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米， ∴至少需要卡车：12500÷100=125辆； 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键． 【变式3-3】.“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．    （1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式． （2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？ 【答案】（1）当1≤x≤5时，y＝；当x≥5时，y＝20x−60；（2）8个月 【分析】（1）待定系数法可得反比例函数解析式，求得x＝5时的函数值y＝40，再根据“改造后月利润＝第5个月的利润＋20×超出的月份”可得答案； （2）求出y＝20x−60中，y＝200时x的值即可得． 【详解】（1）当1≤x≤5时，设y＝， 将（1，200）代入，得：k＝200， ∴y＝； 当x＝5时，y＝＝40， ∴当x≥5时，y＝40＋20（x−5）＝20x−60； （2）在y＝20x−60中，y＝200时，可得：20x−60＝200， 解得：x＝13， ∴治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用、一次函数的应用，正确求出一次函数、反比例函数的解析式是解题的关键． 【题型4 行程问题】 【例4】汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】(1) 反比例， (2) 不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【变式4-1】小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【答案】(1) (2)不够用 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确列出函数解析式是关键． （1）根据题意可得到速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，即可求出函数解析式； （2）求出总路程所需油量，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，所以y与x之间的函数表达式为 （2）当保持的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为    因为，所以油箱中的油不够用． 【变式4-2】某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 【答案】（1）S＝；（2）0.1＜a≤0.17． 【分析】（1）利用路程＝总容积平均油耗，即可得出函数关系式； （2）分别得出往返需要的油量进而得出答案． 【详解】解：（1）汽车能够行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）之间的函数关系为：S＝； （2）去省城的耗油量＝200×0.1＝20（L）， 设返回时的平均油耗量为a L/km， ∵20+200a≤60﹣6，且a＞0.1， ∴0.1＜a≤0.17． 答：平均耗油量的范围是0.1＜a≤0.17． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【变式4-3】五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回． （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式； （2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油． 【分析】（1）由题意直接根据耗油量×行驶里程=50升列出函数关系式即可； （2）根据题意分别求得每千米耗油0.1升的速度的耗油量和0.2升的耗油量，与50比较即可得到答案． 【详解】解：（1）∵耗油量×行驶里程＝50升； ∴xy＝50， ∴y＝（x＞0）； （2）去时耗油：200×0.1＝20L， 返回时耗油：200×0.2＝40L， 20L+40L＝60L＞50L， 答：不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出反比例函数模型． 【题型5 分段函数问题】 【例5】老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 【变式5-1】如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【答案】(1)； (2)米； (3)米． 【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 【变式5-2】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图象解决实际问题是中考的常考题型。 【变式5-3】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间x的函数关系式； (2)解释线段BC的实际意义； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1)y＝； (2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； (3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害． 【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可； （2）根据函数图象结合题意回答即可； （3）把y＝10代入y＝中，即可求得结论． 【详解】（1）解：设线段AB解析式为y＝k1x＋b（k1≠0）， ∵线段AB过点（0，10），（3，15）， 代入得，解得：， ∴线段AB的解析式为：y＝x＋10（0≤x＜6）， ∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20， ∴点B坐标为（6，20）， ∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10）， 设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0）， ∵C（10，20）， ∴k2＝200， ∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）； ∴y关于x的函数解析式为：y＝； （2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； （3）把y＝10代入y＝中，解得：x＝20， ∴20−10＝10， 答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系式．解答时应注意临界点的应用． 【探究式学习】 1．在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【答案】(1) (2)当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的、对应值代入，求出比例系数，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【详解】（1）解：设（）， 将代入上式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 2．某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 【答案】8 【分析】根据，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴当时，． 3．在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【答案】(1) (2)电流变为原来的 【分析】（1）将已知的、数值代入，求出常数，再写出关于的函数表达式． （2）设原来电阻为，表示出原电流；再表示电阻增大为原来的倍后的电阻，求出新电流，对比得出电流变化规律． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：设原电阻为，原电流． 电阻增大为原来的倍后，新电阻． ， ， ， 电流变为原来的． 【课后检测】 1．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，变形得． 2．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状． 【详解】解：的面积为，一边长为，这边上的高为， ， ， 表示三角形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支， 观察选项，只有C选项符合． 3．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 4．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 5．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 6．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】B 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 7．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 8．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 9．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 10．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 11．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 12．根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【答案】20 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，利用待定系数法求出的值，将值代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数， ∴设该函数为， 将，代入，得， 解得， ， 当时，，解得． 13．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 14．某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据压强P的取值范围列出不等式，结合S的实际意义求解即可． 【详解】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 15．如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【答案】 【详解】解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 16．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时 (3)当时，该路段将出现轻度拥堵 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的特征分析即可得出结果； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）求出，再结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由表格可得，随着的变化，先增大后减小， 函数①，随的增大而增大，显然不符合题意； 函数②，时，随的增大而减小，显然不符合题意； 函数③，随先增大后减小，符合题意； 故刻画，关系最准确的是③； （2）解：由（1）知，． ， 时，q达到最大值，最大值为1800， 即当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，此时， 当时，此时， ∴当时，该路段将出现轻度拥堵． 17．综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 【答案】(1) (2)该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天 【分析】（1）把数值代入求出即可得出表达式； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天． 18．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1) (2)0.8；1.4 (3) 【分析】（1）因为已知是的反比例函数，所以先设反比例函数的一般形式为，再将表格中水的、代入，求出常数，即可得到关于的函数解析式． （2）因为已经得到函数解析式，所以将酒精对应的代入解析式可求出，将蜂蜜对应的代入解析式可求出． （3）因为随的增大而减小，所以将最小浸没深度代入解析式得到最大密度，将最大浸没深度代入解析式得到最小密度，即可确定的范围． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 反比例函数解析式为． （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； （3）解：当时，； 当时，， 该密度计能测量的液体密度的范围为． 19．下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长y/cm 1 2 3 4 5 宽x/cm 2 1 (1)把表格补充完整，并把表中的8个点在如图所示平面直角坐标系中描出来，顺次连接； (2)设矩形的长为y（单位：cm），宽为x（单位：cm），求出这条曲线对应的函数表达式（不用写自变量的取值范围） (3)若点，是该函数图象上的两个点，且，试说明：． 【答案】(1) 补全表格： 长 1 2 3 4 5 6 8 10 宽 10 5 2 1 如图所示： (2) (3)，， 随的增大而减小， ∴当时，． 【分析】（1）因为所有矩形面积相等，所以先根据已知的一组长和宽计算矩形面积，再利用面积=长×宽的公式，代入已知的长计算对应宽，代入已知的宽计算对应长，补充完整表格．以x为横坐标、y为纵坐标，将表格中的8组数值对应的点在坐标系中描出，再顺次连接各点． （2）由矩形面积公式得，可得函数表达式． （3）利用反比例函数的增减性，结合该函数的比例系数k的符号，即可说明的结论． 【详解】（1）解：∵8个矩形面积相等，从已知的长、宽，可得矩形面积为， 即， 当时，； 当时，； 当时，​； 当时，； 当​时，； 当时，； 当时，． 据此补全空白： 补充后宽行从左到右依次为：；长行最后三个空白依次为：． 描点连线：在坐标系中描出，顺次连接得到第一象限内的反比例函数曲线． （2）解：由矩形面积公式得， 可得函数表达式：​． （3）略 20．我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度（） 50 60 70 80 90 基础能耗（） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 实际续航里程． (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， (2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在和之间（含和）时，求其实际续航里程的最小值． 【答案】(1) (2)最符合的是二次函数，函数表达式为： (3)420 千米 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； （3）根据题意求出实际续航里程，从而得当最大时，取最小值，求出二次函数在范围内的最大值即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：观察点的分布：数据先降后升，且和、和均关于对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 设函数表达式为（对称轴为，顶点为）：， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为：（展开也可写为）； （3）解：根据题意： 实际能耗为， 代入续航里程公式：实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，，当时，， ∴在范围内的最大值为12， ∴， 故实际续航里程的最小值为420 千米． 【复盘笔记】 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题27.3 实际问题与反比例函数 （新教材人教版） 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 2 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 2 【题型1 物理问题】 2 【题型2 几何问题】 4 【题型3 工程问题】 5 【题型4 行程问题】 6 【题型5 分段函数问题】 7 【探究式学习】 10 【课后检测】 11 【复盘笔记】 20 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【题型1 物理问题】 【例1】一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【变式1-1】某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-3】某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【题型2 几何问题】 【例2】如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．    (1)求k； (2)直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积． 【题型3 工程问题】 【例3】成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【变式3-1】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式3-2】某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2) 若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【变式3-3】.“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．    （1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式． （2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？ 【题型4 行程问题】 【例4】汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【变式4-1】小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【变式4-2】某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 【变式4-3】五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回． （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式； （2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？ 【题型5 分段函数问题】 【例5】老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【变式5-1】如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【变式5-2】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【变式5-3】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间x的函数关系式； (2)解释线段BC的实际意义； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【探究式学习】 1．在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 2．某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 3．在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【课后检测】 1．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 3．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 4．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 5．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 6．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 7．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 8．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 10．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 12．根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 13．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 14．某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 15．如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 16．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 17．综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 18．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 19．下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长y/cm 1 2 3 4 5 宽x/cm 2 1 (1)把表格补充完整，并把表中的8个点在如图所示平面直角坐标系中描出来，顺次连接； (2)设矩形的长为y（单位：cm），宽为x（单位：cm），求出这条曲线对应的函数表达式（不用写自变量的取值范围） (3)若点，是该函数图象上的两个点，且，试说明：． 20．我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度（） 50 60 70 80 90 基础能耗（） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 实际续航里程． (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， (2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在和之间（含和）时，求其实际续航里程的最小值． 【复盘笔记】 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $