专题三 类型1 线段问题 夯基础技能必备-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,OA=OB, ∴ OC= 1 2 AB= 1 2 ×6 = 3, ∴ CF=OF-OC= -m2 +9-3 = -m2 +6, 根据题意得 CF+DE= 6, ∴ -m2 +6+2m= 6, 解得 m1 = 2,m2 = 0(不符合题意,舍去), ∴ m= 2, ∴ DE= 2m= 4,CF= -m2 +6 = 2. 答:DE 的长为 4 米,CF 的长为 2 米; (3)如解图②,矩形灯带为 GHML, 第 13 题解图② 由点 A,B,C 的坐标得,直线 AC 和 BC 的函数表达式分别 为 y= x+3,y= -x+3, 设点 G(m,-m2 +9),H( -m,-m2 +9),L(m,m+3),M( -m, m+3),-3<m<0, 则矩形周长= 2(GH+GL)= 2×( -2m-m2 +9-m-3)= -2(m + 3 2 ) 2 + 33 2 ≤ 33 2 , 故矩形周长的最大值为 33 2 米. 14.解:(1)如解图,过点 B 作 BE⊥AD 交 DA 的延长线于点 E,过点 P 作 PM⊥AD 于点 M,延长 MP 交 BC 的延长线 于点 N, 第 14 题解图 ∴ ∠BAE= ∠ABC= ∠DCN= ∠D= 60°, 在菱形 ABCD 中,BC = CD = AD = AB = 4,∵ 点 P 为边 CD 的中点, ∴ DP=CP= 2, ∵ DP+DQ= 5, ∴ DQ= 3, ∴ AQ= 1, 在 Rt△ABE 中,BE=AB·sin60° = 2 3 , 在 Rt△CPN 中,PN=CP·sin60° = 3 , 在 Rt△DPM 中,PM=DP·sin60° = 3 , ∴ S△BPQ =S菱形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ = 4×2 3 - 1 2 ×1×2 3 - 1 2 ×4× 3 - 1 2 ×3× 3 = 7 3 2 ; (2)存在. ∵ ∠A= ∠ABC= ∠C= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD= 40 米,BC=AD= 60 米, 设 DP= x 米,则 CP=DQ= (40-x)米,AQ= (20+x)米, ∴ S△BPQ =S矩形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ = 40×60- 1 2 × 40×(20+x) - 1 2 × 60 × ( 40 -x) - 1 2 x(40-x) = 1 2 x2 -10x+800 = 1 2 (x-10) 2 +750, ∵ 1 2 >0,0≤x≤40, ∴ 当 x= 10 时,S△BPQ 的最小值为 750, ∴ 按此要求修建的这个健身休闲区(△PBQ)存在最小面 积,最小面积为 750 平方米,此时 DP 的长为 10 米. 15.解:(1)设 y= kx+b(k≠0), ∴ 12k+b= 56, 14k+b= 52,{ 解得: k= -2, b= 80,{ ∴ y= -2x+80(x≥10); (2)设日销售利润为 w 元. w = (x-10)( -2x+80) = -2x2 +100x-800 = -2(x2 -50x+625) -800+1250 = -2(x-25) 2 +450. ∵ -2<0,x≥10, ∴ 当 x= 25 时,w 最大,最大为 450. 答:糖果销售单价定为 25 元时,所获日销售利润最大,最 大利润是 450 元. 16.解:(1) 由题意,得 w = ( x- 40) ( - 10x+ 700) = - 10x2 + 1 100x-28000, ∵ 40≤x≤40×(1+50%), ∴ 40≤x≤60, ∴ w= -10x2 +1 100x-28000(40≤x≤60); (2)w= -10x2 +1 100x-28000 = -10(x-55) 2 +2250, ∵ -10<0,40≤x≤60, ∴ 当 40≤x< 55 时,w 随 x 的增大而增大;当 x = 55 时, w 最大;当 55<x≤60 时,w 随 x 的增大而减小, ∴ 当 40≤x<55 时,该文具店每月获得利润逐渐增多;当 55<x≤60 时,该文具店每月获得利润逐渐减少. 专题三　 综合与实践 类型 1　 线段问题 夯基础技能必备 略 全角度突破设问 突破设问 1　 计算线段长度 例 1　 5　 【解析】∵ AC = 9,EF =CE = AC-AE,∴ 设 AE = x,则 EF=CE= 9-x,在 Rt△AEF 中,由勾股定理得 AF2 +EF2 =AE2 ,即 32 +(9-x) 2 = x2 ,解得 x= 5. 例 2 　 C 　 【解析】 ∵ AD ⊥ BC 于点 D, ∴ ∠ADC = 90°, ∵ tan∠DAC = CD AD = 2, AD = 3, ∴ CD = 6, ∴ AC = AD2 +CD2 = 3 5 ,∵ E 是 AC 的中点,∴ DE = 1 2 AC = 3 5 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 专题三　 综合与实践(突破第 13 题、26 题) 类型 1　 线段问题 夯基础技能必备 技能 1 　 辅助线是基本功 ①遇到中点、角平分线、一线三等角、对角互补等模型构造辅助线详见模型篇 P10-P26; ②遇到等腰作三线合一 ③遇到特殊角(30°,45°,60°,120°)作垂直; (2024 陕西 13 题) ④对边平行且相等构造平行四边形 ⑤遇到菱形作对角线 (2019 陕西 25(1)题) (2024 陕西 26(2)题) (2022 陕西 13 题) (2014 陕西 9 题) 技能 2 　 正确画图是关键 ①点 E 是菱形 AB- CD 的对称中心,画 出 菱 形 ABCD 和 点 E. ②点 E 在菱形 AB- CD 的边 AD 上, 直 线 l 经过点 E 且平 分该菱形的面积. 请 画出直线 l ③矩形中作出一个 面积最大的△BPC, 且使∠BPC= 90°,画 出满足条件的点 P ④在等边三角形 ABC 中画等边三角形的内 心 O (2023 陕西 11 题) (2020 陕西 14 题) (2019 陕西 25(2)题) (2017 陕西 25(1)题) ⑤在菱形 ABCD 中,∠ABC = 60°,点 P 在菱形 ABCD 的内部或边上,请画出以点 P、B、C 为 顶点的三角形是等腰三角形时点 P 的位置. 　 　 (2016 陕西 14 题) 94 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 技能 3 　 快速定位,隐圆现形记 ◆定点定长辅助圆 类型 定距成圆 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 斜边中点轨迹 图形 与描述 已知 AP = r,画 出点 P 的轨迹 OA =OB=OC= r AP 绕点 A 旋转 将△ABD 沿 AD 折叠 ∠MON = 90°, AB = 2r,点 C 是 AB 中点 作图 ◆定角定弦辅助圆 类型 90°(垂直)型 60°或 120°型 45°或 135°型 30°或 150°型 图示 作图 说明 圆心:AB 中点 O 半径: 1 2 AB 以 AB 为底构造顶角为 120°的等腰 △AOB,点 O 在锐角△APB 内部 圆心:点 O 半径: 3 3 AB 以 AB 为底构造等腰 Rt △AOB,点 O 在 锐 角△APB 内部 圆心:点 O 半径: 2 2 AB 以 AB 为底构 造等边△AOB, 点 O 在 锐 角 △APB 内部 圆心:点 O 半径:AB ◆常见“四点共圆”模型 类型 对角互补模型 90°对角互补 “对等角”模型 90°“对等角” 图形 与描述 四边 形 ABCD 中, ∠A+∠C= 180° 四边形 ABCD 中, ∠B= ∠D= 90° 定线:BC; 对等角:∠1 = ∠2 定线:BC 对等角: ∠A = ∠D = 90° 作图 05