专题三 类型1 线段问题 分类型综合训练-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 分考法综合训练 考法 1 　 定值问题 ( 2022. 13、 2020、 2018、 2017. 14) 1. 如图,将正方形纸片 ABCD 的∠B 和∠D 进 行折叠,使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上的点 P 处,EF,GH 分别是折痕,若点 P 沿 BD 从点 B 向点 D 移动,则阴影部分 的周长 (　 D　 ) 　 第 1 题图 A. 先变大,后变小 B. 先变小,后变大 C. 当点 P 在 BD 中点处时,阴影部分周长 最大 D. 保持不变 2. 如图,在菱形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上 一动点,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,作 PF ⊥AB 于点 F. 若菱形 ABCD 的周长为 20, 面积为 24,则 PE+PF 的值为 (　 B　 ) A. 4　 　 　 B. 24 5 　 　 　 C. 6　 　 　 D. 48 5 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. (2024 铁一中六模)如图,等边△ABC 的边长 是 4,D,E 分别是边 AB,AC 上的动点,且 BD=AE,F 为 DE 的中点,连接 AF,当 AF = 13 2 时,BD 的长为　 1　 . 4. ( 2024 达州) 如图, 在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,点 D 在线段 BC 上,且∠BAD = 45°,若 AC= 4,CD= 1,则△ABC 的面积是　 　 　 . 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. (2024 南通)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = BC = 5. 正方形 DEFG 的边长为 5 ,它的顶点 D,E,G 分别在△ABC 的边 上,则 BG 的长为　 3 2 　 . 6.多解法 ∙∙∙ 　 (2024 天津)如图,正方形 ABCD 的 边长为 3 2 ,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 在 CA 的延长线上,OE= 5,连接 DE. (Ⅰ)线段 AE 的长为　 2　 ; (Ⅱ)若 F 为 DE 的中点,则线段 AF 的长 为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 备用图 考法 2 　 最值问题(2023. 26 (2)、2023. 13、 2021. 13、2019. 14、2018. 25(3)、2017. 25(3) ) ◆根据两点之间线段最短确定最值 7. ( 2024 内江) 如图, 在 △ABC 中, ∠ABC = 60°,BC= 8,E 是 BC 边上一点,且 BE = 2, 点 I 是△ABC 的内心,BI 的延长线交 AC 于 点 D,P 是 BD 上一动点,连接 PE,PC,则 PE+PC 的最小值为 　 2 13 　 . 第 7 题图 　 　 备用图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 8. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 1,AD= 2,点 E 在 边 AD上,点 F 在边 BC 上,且 AE =CF,连接 CE,DF,则 CE+DF 的最小值为　 2 2 　 . 第 8 题图 9. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B= 90°,AB∥CD, BC=3,DC = 4,点 E 在 BC 上,且 BE = 1,F,G 为边 AB 上的两个动点,且 FG = 1,则四边形 DGFE 的周长的最小值为　 2 5 +6　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. (2024 大庆)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 10,BC= 6,点 M 是 AB 边的中点,点 N 是 AD 边上任意一点,将线段 MN 绕点 M 顺 时针旋转 90°, 点 N 旋 转 到 点 N′, 则 △MBN′周长的最小值为　 5+5 5 　 . 11. 如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,OD= 4,E 是 OD 的中点,PQ 是对角线 AC 上的一条动线段,若 BP-EQ 的最大值为 5 ,则 PQ 的长为　 1　 . 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. 如图,已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在对角线 AC 上,且 AF=CE,过点 E 作 CD 的垂线,与边 CD 交 于点 G,连接 DF. 若 AC= 8,BD= 6,则 EG+ DF 的最小值为　 4. 8　 . 13. (2024 铁一中八模)如图,矩形 ABCD 顶点 坐标分别为 A(0,0),B( -10,0),C( -10, 5),在线段 AC 和 AB 上各有一个动点 E, F,当 BE +EF 的值最小时,点 E 的坐标 为　 (-6,3) 　 . 第 13 题图 　 第 14 题图 ◆根据圆的有关性质确定最值 14. 多解法 ∙∙∙ 　 如图,已知正方形 ABCD 的边长 为 5,l 是过点 A 的任意一条直线,点 M 是 点 D 关于直线 l 的对称点. 连接 CM,则线 段 CM 长度的最大值是　 5 2 +5　 . 15. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 6,AD = 8,点 E,F 分别在 AB,AD 上,且 EF = 6,点 M 是 EF 的中点,连接 CM,则 CM 的最小值 为　 7　 . 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4,BC = 6,E 是矩形内部的一个动点,且 AE⊥BE,则线 段 CE 的最小值为　 2 10 -2　 . 17. (2024 广元)如图,在△ABC 中,AB= 5,tanC= 2,则 AC+ 5 5 BC 的最大值为　 5 2　 . 第 17 题图 　 　 备用图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 18. (2023 陕西 26 题 10 分)(1)如图①,在△OAB 中,OA=OB,∠AOB = 120°,AB = 24. 若☉O 的 半径为 4,点 P 在☉O 上,点 M 在 AB 上,连接 PM,求线段 PM 的最小值; (2)如图②所示,五边形 ABCDE 是某市工业新区的外环路,新区管委会在点 B 处,点 E 处是该市的一个交通枢纽. 已知:∠A = ∠ABC = ∠AED = 90°,AB = AE = 10000 m,BC = DE= 6000 m. 根据新区的自然环境及实际需求,现要在矩形 AFDE 区域内(含边界) 修一个半径为 30 m 的圆型环道☉O;过圆心 O,作 OM⊥AB,垂足为 M,与☉O 交于点 N. 连接 BN,点 P 在☉O 上,连接 EP. 其中,线段 BN,EP 及 MN 是要修的三条道路, 要在所修道路 BN,EP 之和最短的情况下,使所修道路 MN 最短,试求此时环道☉O 的圆心 O 到 AB 的距离 OM 的长. 图① 　 　 图② 第 18 题图 解:(1)线段 PM 的最小值为 4 3 -4; (2)如解图,分别在 BC,AE 上作 BB′=AA′= r=30 m, 连接 A′B′,B′O,OP,OE,B′E. ∵OM⊥AB,BB′⊥AB,ON=BB′, ∴四边形 BB′ON 是平行四边形, ∴BN=B′O. ∵B′O+OP+PE≥B′O+OE≥B′E, ∴BN+PE≥B′E-r, ∴当点 O 在 B′E 上时,BN+PE 取得最小值. 作☉O′,使圆心 O′在 B′E 上,半径 r=30 m, 作 O′M′⊥AB,垂足为 M′,并与 A′B′交于点 H,与☉O′交于点 N′. ∴O′H∥A′E,∴△B′O′H∽△B′EA′,∴O′H EA′ = B′H B′A′ , ∵☉O′在矩形 AFDE 区域内(含边界), ∴当☉O′与 FD 相切时,B′H 最短, 即 B′H=10000-6000+30=4030(m) . 此时,O′H 也最短. ∵M′N′=O′H,∴M′N′也最短, ∴O′H=EA′·B′H B′A′ =(10000-30)×4 030 10000 =4017. 91(m), ∴O′M′=O′H+30=4047. 91(m) . 答:此时环道☉O 的圆心 O 到 AB 的距离 OM 的长为4047. 91 m. 36 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 19. (2023 交大附中九上期末)【问题提出】 (1)如图①,在线段 AB 的上方画出一点 C,使得∠ACB= 60°. 【问题探究】 (2)如图②,在矩形 ABCD 中,AB = 2 3 ,AD = 6. 点 P 是圆心角为 120°的圆弧 AD 上的一 点,点 E 在 BC 边上,且 BE= 1. 连接 EP,求 EP 的最大值. 【问题解决】 (3)如图③,四边形 ABCD 是一个仓库的平面图,设计者想在 DC 边上的点 E 处安装一个 监测仪,以监测门口 AB 处人员进出情况,此时∠AEB = 45°. 在四边形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ABC= 90°,∠BCD = 60°,CE = 2DE = 24 m. 求此时监测仪 E 到大门 AB 的水平 距离. 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 19 题图 解:(1)如解图①,分别以 A 和 B 为圆心,AB 的长为半径画弧,二者在 AB 上方交于点 C,点 C 即为所 求; (2)PE 的最大值为 2 3 + 7 ; (3)如解图②,过点 D 作 DH⊥BC 于 H,则四边形 ABHD 是矩形, ∴AB=DH, ∵∠BCD=60°,∴∠CDH=30°, ∵CE=2DE=24 m,∴CD=CE+DE=36 (m), ∴AB=DH= 3 2 CD=18 3 (m), 作△ABE 的外接圆,圆心设为 O,连接 OA,OB,OE,过点 O 作 OM⊥AB 于 M,过点 E 作 EF⊥AB 于 F,过点 O 作 ON⊥EF 于 N,则四边形 OMFN 是矩形, ∴NF=OM,ON=MF, ∵∠AEB=45°,∴∠AOB=2∠AEB=90°, ∵OA=OB,∴NF=OM=AM= 1 2 AB=9 3 (m),OA=OB=OE= 2 2 AB=9 6 (m), ∵AD∥EF∥BC,∴AF BF =DE CE = 1 2 ,∴BF=2AF,∴AF= 1 3 AB=6 3 (m), ∴ON=MF=AM-AF=3 3 (m), 在 Rt△ONE 中,由勾股定理得 NE= OE2-ON2 =3 51 (m), ∴EF=NE+NF=(3 51 +9 3 )m. 答:此时监测仪 E 到大门 AB 的水平距离为(3 51 +9 3 )m. 46 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 OB= 3 2 r,∴ BC = 3 r,∵ OA+OE≥AD,∴ r+ 1 2 r≥4, 解得 r≥ 8 3 ,∴ BC≥ 8 3 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD≥ 1 2 × 8 3 3 ×4 = 16 3 3 ,∴ △ABC 面积的最小值为 16 3 3 . 例 27 题解图 分考法综合训练 1. D　 【解析】由于折叠,△BEF≌△PEF,△DGH≌△PGH, ∴ EP = EB,FP = FB,∠EPF = ∠EBF = ∠GPH = ∠GDH = 90°,∴ ∠EPG= ∠FPH= 90°,∵ 两个直角的顶点重合于对 角线 BD 上的点 P 处,∴ EF 是 BP 的垂直平分线,GH 是 PD 的垂直平分线,∵ AC 与 BD 互相垂直平分,∴ EF∥AC∥ GH,∴ ∠BEF = ∠BAC = 45°, ∴ ∠BEP = 90°, ∴ 四边形 BEPF 是矩形,∴ EF = BP,同理可得,GH = PD,∵ ∠AEP = ∠EPG= ∠EAG= 90°,∴ 四边形 AEPG 是矩形,∴ AE = PG, 同理可得,FC=PH,∴ 阴影部分的周长=EP+PG+GH+HP+ PF+FE=BE+AE+PD+FC+BF+BP=AB+BC+BD. 2. B　 【解析】如解图,连接 BP,∵ 菱形 ABCD 的周长为 20, 面积为 24,∴ BA=BC = 5,S△ABC = 1 2 S菱形ABCD = 12,∵ S△ABC = S△PAB+S△PBC,∴ 1 2 ×5PE+ 1 2 ×5PF= 12,∴ PE+PF= 24 5 . 第 2 题解图 3. 1　 【解析】过点 D 作 DH∥AC 交 BC 于 H,连接 HF,过点 A 作 AK⊥BC 于 K,如解图,∵ △ABC 为等边三角形,且边长 为 4,∴ ∠B= ∠C = 60°,BC = AC = 4,∵ DH∥AC,AK⊥BC, ∴ ∠DHB= ∠C= 60°,∠FDH= ∠FEA,BK =CK = 1 2 BC = 2, ∴ ∠DHB= ∠B= 60°,∴ △DBH 为等边三角形,∴ BD =DH =BH,∵ BD=AE,∴ DH=AE,∵ 点 F 为 DE 的中点,∴ DF = EF,在△DFH 和△EFA 中, DH=EA, ∠FDH= ∠FEA, DF=EF, { ∴ △DFH≌ △EFA(SAS),∴ AF =HF,∠DFH = ∠EFA,∴ 点 A,F,H 在 同一条直线上,∴ AH = AF+FH = 2AF = 13 ,在 Rt△ACK 中,AC= 4,CK = 2,由勾股定理得 AK = AC2 -CK2 = 2 3 , 在 Rt△AHK 中,由勾股定理得 HK = AH2 -AK2 = 1,∴ BH =BK-HK= 2-1 = 1,∴ BD=BH= 1. 第 3 题解图 4. 40 3 　 【解析】如解图,过 B 作 BE⊥AD,交 AD 延长线于点 E,∴ ∠DEB = 90°,∵ ∠C = 90°,∠ADC = ∠BDE,∴ △BDE ∽△ADC,∴ AC BE = CD DE , ∵ AC = 4,CD = 1, ∴ 4DE = BE, ∵ ∠BAD= 45°,∠DEB = 90°,∴ △ABE 是等腰直角三角形, 即 AE = BE = 4DE, ∴ AD = 3DE, ∵ 在 Rt △ACD 中,AD = AC2 +CD2 = 17 ,∴ DE = 17 3 ,∴ BE = 4DE = 4 17 3 ,∵ ∠DEB= 90°,∴ BD= BE2 +DE2 = 17 3 ,∴ BC = 20 3 ,∴ S△ ABC = 1 2 AC·BC= 40 3 . 第 4 题解图 5. 3 2 　 【解析】如解图,过点 G 作 GH⊥AC 于点 H,∵ ∠ACB = 90°,AC=BC = 5,∴ △ABC 是等腰直角三角形,∴ ∠A = 45°,AB= 2AC= 5 2 ,∵ GH⊥AC,∴ △AGH 是等腰直角三 角形,∴ AH=HG,AG= 2AH,∵ 四边形 DEFG 是正方形,∴ DG=DE,∠GDE= 90°,∴ ∠GDH = 90°-∠EDC = ∠DEC,在 △DGH 和 △EDC 中, ∠DHG= ∠ECD= 90°, ∠GDH= ∠DEC, DG=ED, { ∴ △DGH≌ △EDC(AAS),∴ GH=DC,DH=CE,∴ AH =HG =DC,设 AH =HG=DC=a,DH=CE= b,∵ 正方形 DEFG 的边长为 5 ,∴ DE= 5 ,∵ AC=AH+DH+DC,DC2 +CE2 =DE2 ,∴ 2a+b = 5, a2 +b2 = ( 5 ) 2 ,将 b= 5-2a 代入 a2 +b2 = ( 5 ) 2 整理得:a2 - 4a+4 = 0,解得 a1 =a2 = 2,∴ AH=a= 2,∴ AG = 2 AH = 2 2 , ∴ BG=AB-AG= 5 2 -2 2 = 3 2 . 第 5 题解图 6. (Ⅰ) 2;( Ⅱ) 10 2 　 【解析】 ( Ⅰ) ∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ OA=OC =OD =OB,∠DOC = 90°,∴ 在 Rt△DOC 中, OD2 +OC2 =DC2 ,∵ DC = 3 2 ,∴ OA = OD = OC = OB = 3,∵ OE= 5,∴ AE =OE-OA = 2;( Ⅱ)解法 1:如解图①,过点 D 作 AF 的平行线交 AC 于点 G,∵ F 为 DE 中点,∴ A 为 EG 中点,AF 为△DEG 的中位线,∴ AG = AE = 2,∴ OG = 1,∵ OA= OD = 3, ∴ DG = OG2 +OD2 = 10 , ∴ AF = 1 2 DG = 10 2 . 解法 2:如解图②,延长 DA 到点 G,使 AG=AD,连接 EG,过 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 E 作 EH⊥AG 于 H,∵ F 为 DE 中点,A 为 DG 中点,∴ AF 为△DGE 中位线,∴ AF = 1 2 EG,在 Rt△EAH 中,∠EAH = ∠DAC= 45°,∴ AH = EH,∵ AH2 +EH2 = AE2 ,∴ AH = EH = 2 ,∴ GH=AG-AH= 3 2 - 2 = 2 2 ,在 Rt△EGH 中,EG2 = EH2 +GH2 = 10,∴ EG= 10 ,∴ AF= 1 2 EG= 10 2 . 图① 　 　 图② 第 6 题解图 7. 2 13 　 【解析】如解图,在 AB 取点 F,使 BF=BE= 2,连接 PF,CF,过点 F 作 FH⊥BC 于 H,∵ 点 I 是△ABC 的内心, ∴ BI 平分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = ∠CBD, 又 ∵ BP = BP, ∴ △BFP≌△BEP( SAS),∴ PF = PE,∴ PE+PC = PF+PC≥ CF,当 C,P,F 三点共线时,PE+PC 最小,最小值为 CF,∵ FH⊥BC,∠ABC= 60°,∴ ∠BFH= 30°,∴ BH= 1 2 BF = 1,∴ FH = BF2 -BH2 = 3 , CH = BC - BH = 7, ∴ CF = CH2 +FH2 = 2 13 ,∴ PE+PC 的最小值为 2 13 . 第 7 题解图 8. 2 2 　 【解析】如解图,连接 BE,∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB= CD,∠BAE = ∠DCF = 90°,∵ AE = CF,∴ △ABE≌ △CDF(SAS),∴ BE=DF,∴ CE+DF=CE+BE,作点 B 关于 A 点的对称点 B′,连接 CB′交 AD 于 E′,CB′即为 CE+BE 的 最小值, ∵ AB = 1, AD = 2, ∴ BB′ = 2, BC = 2, ∴ B′ C = BB′2 +BC2 = 22 +22 = 2 2 . 第 8 题解图 9. 2 5 +6　 【解析】∵ ∠ABC = 90°,AB∥CD,∴ ∠ABC+∠C = 180°,∴ ∠C= 90°,∵ BE= 1,BC= 3,∴ CE =BC-BE = 3-1 = 2,在 Rt △DCE 中,DC = 4,CE = 2, ∴ DE = DC2 +CE2 = 42 +22 = 2 5 ,∵ FG= 1,∴ 四边形 DEFG 的周长=DG+EF +2 5 +1,要使四边形 DEFG 的周长最小,只要 DG+EF 最 小即可,如解图,过点 F 作 FP∥DG 交 DC 于点 P,则四边 形 DGFP 是平行四边形,∴ FP=DG,DP=FG= 1,∵ DC = 4, ∴ CP=DC-DP= 4-1 = 3,延长 CB 到点 Q,使 BQ = BE = 1, 连接 QF,OP,则 QF=EF,∴ CQ =BC+BQ = 3+1 = 4,∴ DG+ EF=PF+QF,当 Q,F,P 三点共线时,QF+PF 的值最小,为 QP,∴ DG + EF 的最小值为 QP, 在 Rt △PCQ 中, QP = PC2 +QC2 = 32 +42 = 5,∴ 四边形 DEFG 的周长 = DG+ EF+2 5 +1≥QP+ 2 5 + 1 = 5+ 2 5 + 1 = 2 5 + 6,∴ 四边形 DEFG 的周长的最小值为 2 5 +6. 第 9 题解图 10. 5+5 5 　 【解析】如解图,过点 N′作 EF∥AB,交 AD,BC 于 E、F,过点 M 作 MG⊥EF 垂足为 G,∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ AB∥CD,∴ EF∥CD,∴ 四边形 AMGE 和 BMGF 都是 矩形,∴ ∠A = ∠MGN′ = 90°,由旋转的性质得∠NMN′ = 90°, MN′ = MN, ∴ ∠AMN = 90° - ∠NMG = ∠GMN′, ∴ △AMN≌△GMN′(AAS),∴ MG = AM = 5,∴ 点 N′在平行 于 AB,且与 AB 的距离为 5 的直线 EF 上运动,作点 M 关 于直线 EF 的对称点 M′,连接 M′B 交直线 EF 于点 N′,此 时△MBN′周长取得最小值,最小值为 BM+BM′,∵ BM = 1 2 AB= 5,MM′= 5+5 = 10,∴ BM+BM′ = 5+ 52 +102 = 5+ 5 5 . 第 10 题解图 11. 1　 【解析】如解图,作点 E 关于 AC 的对称点 E′,连接 QE′,则 QE′ = QE,平移 PQ 使点 Q 与点 E′重合,得到 P′E′,连接 BP′,PP′,则四边形 PP′E′Q 为平行四边形,∴ P′E′=PQ,QE′=PP′,∴ BP-EQ=BP-PP′≤BP′,当 B,P′, P 三点共线时,BP-PP′取最大值,为 BP′的长,∴ BP′ = 5 ,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ OA = OD = OB = 4,∵ E 是 OD 的中点,∴ OE′ =OE = 2,∴ BE′ =OB-OE′ = 2,∵ P′ E′∥AC,∴ ∠BE′P′= ∠BOA= 90°,在 Rt△BE′P′中,P′E′= BP′2 -BE′2 = 1,∴ PQ=P′E′= 1. 第 11 题解图 12. 4. 8　 【解析】如解图,连接 BE,DE,∵ 四边形 ABCD 为菱 形,∴ AD=CD,AC 垂直平分 BD,∴ ∠DAF = ∠DCE,DE = BE,在△DAF 和△DCE 中, AD=CD, ∠DAF= ∠DCE, AF=CE, { ∴ △DAF≌ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 △DCE(SAS),∴ DF = DE,∴ DF = BE,当 B,E,G 三点共 线时,EG+BE 有最小值,即 EG+DF 有最小值,最小值为 BG 的长, ∵ 四边形 ABCD 为菱形, AC = 8,BD = 6, ∴ ∠BOC= 90°,CO = 4,BO = 3,∴ CD = BC = CO2 +BO2 = 42 +32 = 5,∵ BG2 =BC2 -CG2 =BD2 -DG2 ,∴ 52 -CG2 = 62 - ( 5 - CG ) 2 , 解 得 CG = 1. 4, ∴ BG = BC2 -CG2 = 52 -1. 42 = 4. 8,∴ EG+DF 的最小值为 4. 8. 第 12 题解图 13. ( -6,3)　 【解析】如解图,作点 B 关于 AC 的对称点 B′, 过点 B′作 OB 的垂线,垂足即为点 F,该垂线与 AC 的交 点即为点 E,∵ B′F = B′E+EF = BE+EF,∴ B′F 的长就是 BE+EF 的最小值. 连接 OB′,交 DC 于 P. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ DC∥AB,∴ ∠BAC = ∠PCA,∵ 点 B 关于 AC 的 对称点是 B′,∴ ∠PAC = ∠BAC,∴ ∠PAC = ∠PCA,∴ PA =PC. 令 PA= x,则 PC = x,PD = 10-x. 在 Rt△ADP 中,∵ PA2 =PD2 +AD2 ,∴ x2 = (10-x) 2 +52 ,∴ x = 25 4 ,∴ AP =PC = 25 4 ,PD= 10- 25 4 = 15 4 ,∵ AB∥CD,∴ ∠B′OF = ∠APD,∴ cos∠B′OF= cos∠APD,∴ AF AB′ = DP AP ,即 AF 10 = 15 4 25 4 ,∴ AF = 6. ∵ tan∠EOF= tan∠ACD,∴ EF AF = AD CD ,即 EF 6 = 5 10 ,∴ EF = 3, ∴ 点 E 的坐标是( -6,3) . 第 13 题解图 14. 5 2 +5　 【解析】解法 1:如解图①,连接 AM,AC,由题意 可得 AD 和 AM 关于直线 l 对称,且点 M 的运动轨迹在以 点 A 为圆心,AD 长为半径的☉A 上,此时 CM 最大值为 CM′,∵ 正方形 ABCD 边长为 5,∴ AC = 5 2 ,∴ CM′= AC+ AM′=AC+AD= 5 2 +5. 第 14 题解图① 解法 2:如解图②,连接 AC,AM. ∵ 四边形 ABCD 是边长 为 5 的正方形,∴ ∠D = 90°,AD = CD = 5,∴ AC = 5 2 ,∵ D,M 关于直线 l 对称,∴ AM = AD = 5,∵ CM≤AC+AM = 5 2 +5,∴ CM 的最大值为5 2 +5. 第 14 题解图② 15. 7　 【解析】如解图,连接 AM,∵ EF = 6,M 是 EF 的中点, ∴ AM= 3,∴ 点 M 的轨迹是以点 A 为圆心,3 为半径的一 段弧,连接 AC 交圆弧于点 M′,∵ AM+MC≥AC,∴ 当点 M 在 M′处时,CM 取得最小值,最小值为 CM′的长,∵ AB = 6,AD=BC= 8,∴ AC= AB2 +BC2 = 10,∴ CM′=AC-3 = 7, ∴ CM 的最小值为 7. 第 15 题解图 16. 2 10 -2　 【解析】如解图,∵ AE⊥BE,∴ 点 E 在以 AB 为 直径的半☉O 上,连接 CO 交☉O 于点 E′,∴ 当点 E 位于 点 E′位置时,线段 CE 取得最小值,∵ AB= 4,∴ OA=OB = OE′= 2,∵ BC= 6,∴ OC= BC2 +OB2 = 62 +22 = 2 10 , 则 CE′=OC-OE′= 2 10 -2. 第 16 题解图 17. 5 2 　 【解析】过点 B 作 BD⊥AC,垂足为 D,如解图①,∵ tanC= 2,∴ 在 Rt△BCD 中,设 DC = x,则 BD = 2x,由勾股 定理可得 BC= 5 x,∴ DC BC = x 5 x = 5 5 ,即 5 5 BC =DC,∴ AC + 5 5 BC=AC+DC,延长 DC 到 E,使 EC =CD = x,连接 BE, 如解图②,则 AC+ 5 5 BC = AC+DC = AC+CE = AE,∵ BD⊥ DE,DE= 2x = BD,∴ △BDE 是等腰直角三角形,则∠E = 45°,在△ABE 中,AB= 5,∠E= 45°,由辅助圆———定弦定 角模型,作△ABE 的外接圆,如解图③,由圆周角定理可 知,点 E 在☉O 上运动,AE 是☉O 的弦,求 AC+ 5 5 BC 的 最大值就是求弦 AE 的最大值,根据圆的性质可知,当弦 AE 过圆心 O,即 AE 是直径时,弦最大,如解图④,∵ AE 是☉O 的直径,∴ ∠ABE = 90°,∵ ∠E = 45°,∴ △ABE 是 等腰直角三角形,∵ AB = 5,∴ BE = AB = 5,则由勾股定理 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 可得 AE= AB2 +BE2 = 5 2 ,即 AC+ 5 5 BC 的最大值为 5 2 . 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 第 17 题解图 18.解:(1)如解图①,连接 OP,OM,过点 O 作 OM′⊥AB,垂 足为 M′,则 OP+PM≥OM, ∵ ☉O 的半径为 4,∴ PM≥OM-4≥OM′-4, ∵ OA=OB,∠AOB= 120°, ∴ ∠A= 30°,AM′= 1 2 AB= 12, ∴ OM′=AM′·tan30° = 12×tan30° = 4 3 , ∴ PM≥OM′-4 = 4 3 -4, ∴ 线段 PM 的最小值为 4 3 -4; 图① 　 　 图② 第 18 题解图 (2)如解图②,分别在 BC,AE 上作 BB′=AA′= r= 30 m, 连接 A′B′,B′O,OP,OE,B′E. ∵ OM⊥AB,BB′⊥AB,ON=BB′, ∴ 四边形 BB′ON 是平行四边形, ∴ BN=B′O. ∵ B′O+OP+PE≥B′O+OE≥B′E, ∴ BN+PE≥B′E-r, ∴ 当点 O 在 B′E 上时,BN+PE 取得最小值. 作☉O′,使圆心 O′在 B′E 上,半径 r= 30 m, 作 O′M′⊥AB,垂足为 M′,并与 A′B′交于点 H,与☉O′交 于点 N′. ∴ O′H∥A′E,∴ △B′O′H∽△B′EA′, ∴ O′H EA′ = B′H B′A′ , ∵ ☉O′在矩形 AFDE 区域内(含边界), ∴ 当☉O′与 FD 相切时,B′H 最短, 即 B′H= 10000-6000+30 = 4 030(m) . 此时,O′H 也最短. ∵ M′N′=O′H,∴ M′N′也最短, ∴ O′H= EA′·B′H B′A′ = (10000 -30) ×4 030 10000 = 4017. 91(m), ∴ O′M′=O′H+30 = 4047. 91(m) . 答:此时环道☉O 的圆心 O 到 AB 的距离 OM 的长为 4047. 91 m. 19.解:(1)如解图①,分别以 A 和 B 为圆心,AB 的长为半径 画弧,二者在 AB 上方交于点 C,点 C 即为所求; (2)如解图②,连接 AC,BD 交于 O,连接 OE,OP, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ OA=OB=OD= 1 2 BD,∠BAD= ∠ABC= 90°, ∵ AB= 2 3 ,AD= 6, ∴ BD= AB2 +AD2 = 4 3 , ∴ OA=OB=OD= 2 3 , ∴ OA=OB=AB, ∴ △AOB 是等边三角形, ∴ ∠AOB= ∠ABO= 60°, ∴ ∠AOD= 120°, ∵ 点 P 是圆心角为 120°的圆弧 AD 上的一点,点 P 在以 点 O 为圆心,2 3 为半径的圆上运动. 当 O,E,P 三点共 线,且点 O 在线段 PE 上时,PE 有最大值,最大值为 OE+ OP,如解图②所示,过点 O 作 OH⊥BC 于 H, ∵ ∠OBC= ∠ABC-∠ABO= 30°, ∴ OH= 1 2 OB= 3 ,BH= 3OH= 3, ∵ BE= 1,∴ HE= 2,∴ OE= HE2 +OH2 = 7 , ∴ PE 的最大值为 2 3 + 7 ; (3)如解图③,过点 D 作 DH⊥BC 于 H,则四边形 ABHD 是矩形, ∴ AB=DH, ∵ ∠BCD= 60°,∴ ∠CDH= 30°, ∵ CE= 2DE= 24 (m),∴ CD=CE+DE= 36 (m), ∴ AB=DH= 3 2 CD= 18 3 (m), 作△ABE 的外接圆,圆心设为 O,连接 OA,OB,OE,过点 O 作 OM⊥AB 于 M,过点 E 作 EF⊥AB 于 F,过点 O 作 ON⊥EF 于 N,则四边形 OMFN 是矩形, ∴ NF=OM,ON=MF, ∵ ∠AEB= 45°,∴ ∠AOB= 2∠AEB= 90°, ∵ OA=OB,∴ NF=OM = AM = 1 2 AB = 9 3 ( m),OA =OB = OE= 2 2 AB= 9 6 (m), ∵ AD∥EF∥BC,∴ AF BF =DE CE = 1 2 ,∴ BF= 2AF, ∴ AF= 1 3 AB= 6 3 (m), ∴ ON=MF=AM-AF= 3 3 (m), 在 Rt△ONE 中,由勾股定理得 NE= OE2 -ON2 = 3 51 (m), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ EF=NE+NF= (3 51 +9 3 ) m. 答:此时监测仪 E 到大门 AB 的水平距离为( 3 51 + 9 3 )m. 图① 图② 图③ 第 19 题解图 类型 2　 面积问题 全角度突破设问 突破设问 1　 定值面积计算 例 1　 12　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA = OC,OB=OD,∵ OA= 4,∴ AC= 2OA= 8,∵ OH = 1. 5,DH ⊥BC,∴ 在 Rt△BDH 中,BD = 2OH = 3,∴ S菱形 ABCD = 1 2 AC·BD= 1 2 ×8×3 = 12. 例 2　 15 3 2 　 【解析】解法 1:如解图①,连接 PB,∵ AP∥BC, AP=BC,∴ 四边形 PBCA 为平行四边形,∵ CA=CB,∴ 平行四边形 PBCA 为菱形, ∴ PB = AC = 6, ∠PBC = 180°-∠C= 60°,∵ PE⊥BC,∴ BE = PB·cos∠PBC = 3,PE=PB·sin∠PBC= 3 3 ,∵ CA=CB,∠C= 120°,∴ ∠ABC= 30°,∴ OE=BE·tan∠ABC = 3 ,∴ S四边形OECA = S△ABC-S△BOE = 1 2 ×6×3 3 - 1 2 ×3× 3 = 15 3 2 . 解法 2:如解图②,连接 OC,∵ BC = AC = 6,∠ACB = 120°,∴ ∠ABC= ∠BAC = 30°. ∵ AP∥BC,PE⊥BC,∴ ∠PAB= 30°,∠EPA= 90°,又∵ AP = BC = AC,AO = AO, ∴ △PAO≌△CAO( SAS),∴ ∠OCA = ∠OPA = 90°,∴ ∠OCB= 30°,∴ OB=OC,∴ EC= 3,OE = 3 ,OC = 2 3 , ∴ S△EOC = 1 2 OE·EC= 3 3 2 ,S△AOC = 1 2 OC·AC= 6 3 , ∴ S四边形OECA =S△AOC+S△COE = 15 3 2 . 图① 　 　 图② 例 2 题解图 例 3　 2　 【解析】如解图,连接 BG,BH,∵ G,H 是 AC 的三等 分点,∴ AG=GH=HC,∴ S△ABG = S△BGH = S△BCH = 1 3 S△ABC = 1 6 S矩形ABCD,∵ AG = GH,∴ S△AEG = S△EGH,∵ BE = 2AE, ∴ S△AEG = 1 2 S△EBG = 1 3 S△ABG, ∴ S四边形EHFG = 2S△EGH = 2S△AEG = 2× 1 3 S△ABG = 2× 1 3 × 1 6 S矩形ABCD = 2× 1 3 × 1 6 ×3× 6 = 2. 例 3 题解图 例 4　 4 3 　 【解析】如解图,连接 BD,延长 NB 至点 H,使 BH =DP,连接 CH,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ ∠BCD = ∠A= 60°,AB = BC = CD = AD,∴ △ABD 和△CBD 都是 等边三角形, ∴ AD = BD, ∠ADB = ∠CDB = ∠CBD = ∠DCB= 60°,又∵ AM=DN,∴ △ADM≌△DBN( SAS), ∴ ∠ADM = ∠DBN, ∵ ∠ADM + ∠PDC = 180° - ∠A = 120°,∠DBN+∠HBC = 180°-∠CBD = 120°,∴ ∠PDC = ∠HBC,又∵ DP = BH,CD = CB, ∴ △CDP≌ △CBH (SAS),∴ ∠DCP = ∠BCH,CP = CH,S△CDP = S△CBH,∴ ∠PCH= 60°,∴ △CPH 是等边三角形,∴ S四边形CDPB = S△PCH = 3 4 ×42 = 4 3 . 例 4 题解图 突破设问 2　 面积等分问题 例 1　 2 7 　 【解析】如解图,过点 A 和点 E 作 AG⊥BC,EH⊥ BC 于点 G 和 H,得矩形 AGHE,∴ GH = AE = 2,∵ 在菱 形 ABCD 中,AB = 6,∠B = 60°,∴ BC = AB = 6,BG = 3, AG= 3 3 =EH,∴ HC = BC-BG-GH = 6- 3- 2 = 1,∵ EF 平分菱形 ABCD 面积,∴ EF 经过菱形 ABCD 对角线交 点,∴ FC = AE = 2, ∴ FH = FC -HC = 2 - 1 = 1,在 Rt △EFH 中, 根据勾股定理, 得 EF = EH2 +FH2 = 27+1 = 2 7 . 例 1 题解图 例 2　 9 4 　 【解析】如解图,连接 AC 交 l 于点 O. ∵ 直线 l 将 ▱ABCD 的面积平分,AC 为▱ABCD 的对角线,∴ O 为 AC 的中点,∴ OA = OC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,∴ AB∥CD,CD = AB = 3,∴ ∠NAO = ∠MCO,△EDM ∽△EAN,∴ DM AN = ED EA ,又∵ ∠AON = ∠COM,∴ △AON ≌△COM(ASA),∴ AN=CM,∴ DM CM = ED EA ,又∵ ED = 2, AD= 4,∴ 3-CM CM = 2 6 ,∴ CM= 9 4 . 例 2 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36