专题二 二次函数综合题 全角度突破设问-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ BE=CE= 1 2 BC= 2, ∴ DE= CD2 -CE2 = ( 5 2 ) 2 -22 = 3 2 , ∵ S△BDE = 1 2 DE·BE= 1 2 BD·EF, ∴ EF= DE·BE BD = 6 5 , ∴ DF= DE2 -EF2 = ( 3 2 ) 2 -( 6 5 ) 2 = 9 10 . 8. (1)证明:如解图,连接 OD, 第 8 题解图 ∵ AD 平分∠CAB, ∴ ∠CAD= ∠DAB, ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD= ∠ODA, ∴ ∠CAD= ∠ADO, ∴ AE∥OD, ∵ AB 是☉O 直径, ∴ ∠ACB= 90°, ∵ EF 是☉O 的切线,D 为切点, ∴ OD⊥EF,又∵ AE∥OD, ∴ AE⊥EF, ∴ ∠E= ∠ACB= 90°, ∴ BC∥EF; (2)解:∵ sinF= 3 5 =OD OF ,且 BF= 2, ∴ OD OB+BF = OD OD+2 = 3 5 , 解得 OD=OB= 3, 又∵ OF=OB+BF= 5, ∴ DF= OF2 -OD2 = 4, ∵ OD∥AE, ∴ DF DE =OF AO , ∴ 4 DE = 5 3 , 解得 DE= 12 5 , ∴ DE 的长为 12 5 . 专题二　 二次函数综合题 夯基础技能必备 例 1　 B　 【解析】由 y= 2x2 -2mx+m2 -2m(m 为常数)的图象 经过点(0,8),其对称轴在 y 轴右侧,得 m2 -2m= 8,得 m= 4 或-2(舍),故二次函数为 y = 2x2 - 8x+ 8 = 2( x- 2) 2 ,故二次函数有最小值为 0. 例 2　 C　 【解析】解法 1:A. 表中数据显示随着 x 的增大,y 值先减小再增大,∴ 抛物线开口向上,A 选项错误; B. x= -2 时,y= 6>0,x = 0 时,y = - 4< 0,∴ 在- 2<x< 0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点,B 选项错误;C. x = 0 和 x= 3 时,y 都是-4,∴ 对称轴是直线 x = 0+3 2 = 3 2 ,∵ 当 x= 1 时,y= -6,且 1<x< 3 2 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 最小值小于-6,C 选项正确;D. 由对称轴为直线 x= 3 2 可知,当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大先减小后增大, 故 D 选项错误. 解法 2:设二次函数的表达式为 y = ax2 +bx+c,由题知 6 =a×( -2) 2 +b×( -2) +c, -4 = c, -6 =a+b+c, { 解得 a= 1, b= -3, c= -4, { ∴ 二次函数的 表达式为 y= x2 -3x-4 = (x-4)(x+1)= ( x- 3 2 ) 2 - 25 4 . A. 函数图象开口向上,故 A 选项不符合题意;B. 与 x 轴的交点为(4,0)和( -1,0),故 B 选项不符合题意; C. 当 x= 3 2 时,函数有最小值为- 25 4 ,故 C 选项符合 题意;D. 函数对称轴为直线 x = 3 2 ,根据图象可知当 x > 3 2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,故 D 选项不符合 题意. 故选 C. 例 3　 解:将 A( -1,0),B(5,3)的坐标代入 y=ax2 +bx+3,得 a-b+3 = 0, 25a+5b+3 = 3,{ 解得 a= - 1 2 , b= 5 2 , ì î í ï ï ïï 则该抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 + 5 2 x+3. 例 4　 解:∵ OA= 20 cm,最大深度为 20 cm, ∴ 点 A 的坐标为( 20,0),顶点 P 的坐标为( 0+20 2 , -20),即(10,-20), 由图可知,抛物线经过原点, ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-10) 2 -20, 将点 A 的坐标代入可得 100a-20 = 0, 解得 a= 1 5 , ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 5 (x-10) 2 -20. 例 5　 解:由题意可知,抛物线在第一象限的顶点坐标为(1, 3), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2 +3, 将(0,2. 25)代入表达式中,得 a(0-1) 2 +3 = 2. 25, 解得 a= - 3 4 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 3 4 (x-1) 2 +3; 令 y= 0,得 0 = - 3 4 (x-1) 2 +3, 解得 x= -1(舍)或 x= 3, ∴ 点 B 的坐标为(3,0) . 全角度突破设问 例 1　 解:令 y= 6,得- 9 25 (x-5) 2 +9 = 6, 解得 x1 = 5 3 3 +5,x2 = - 5 3 3 +5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ A(5- 5 3 3 ,6),B(5+ 5 3 3 ,6), ∴ 点 A 和点 B 的水平距离为 xB -xA = 10 3 3 . 例 2　 解:∵ ON= 12 米,PE= 4 米, ∴ 顶点 P(6,4), ∴ 设抛物线的解析式为 y=a(x-6) 2 +4, 将 O(0,0)代入,得 0 = 36a+4,解得 a= - 1 9 , ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 9 (x-6) 2 +4 = - 1 9 x2 + 4 3 x. 在 y= - 1 9 x2 + 4 3 x 中, 令 y= 3,得 3 = - 1 9 x2 + 4 3 x, 解得 x= 3 或 x= 9, ∴ AD= 9-3 = 6(m), ∴ S矩形ABCD =AB·AD= 3×6 = 18(m2 ) . 例 3　 解:根据题意可知 AP= 2t mm,BQ= 4t mm, ∵ AB= 12 mm, ∴ BP= (12-2t)mm, ∴ S= 1 2 BP·BQ= 1 2 ×(12-2t) ×4t= 24t-4t2 , ∵ BQ= 4t>0,BP= 12-2t>0,CQ= 24-4t>0, ∴ 0<t<6, 故 S 关于 t 的函数解析式为 S= 24t-4t2(0<t<6) . ∵ S= 24t-4t2 = -4( t-3) 2 +36,-4<0, ∴ 当 t= 3 时,△PBQ 的面积 S 有最大值为 36 mm2 . 例 4　 解:存在,如解图,分别延长 AE 与 CD 交于点 K,则四 边形 ABCK 是矩形, ∴ AK=BC= 1200 m,AB=CK= 800 m, 设 AN= x m,则 PC= x m,BO = 2x m,BN = (800-x) m, AM=OC= (1200-2x) m, ∴ MK=AK-AM= 1200-(1200-2x)= 2x m,PK=CK-CP = (800-x) m, ∴ S四边形OPMN =S矩形ABCK-S△AMN-S△BON-S△OCP-S△PKM = 800 × 1200 - 1 2 x ( 1200 - 2x) - 1 2 · 2x (800-x) - 1 2 x(1200-2x) - 1 2 ·2x(800- x) = 4(x-350) 2 +470000, ∴ 当 x= 350 时,S四边形OPMN 存在最小值为 470000 m2 , ∴ 符合设计要求的四边形 OPMN 面积的最小值 为 470000 m2 . 例 4 题解图 分类型综合训练 1. A　 【解析】∵ 抛物线 y= 1 2 ax2 +(1-a) x-1(a<0),∴ 抛物 线开口向下,对称轴为直线 x = - 1-a 2× 1 2 a = a -1 a ,∵ a< 0, ∴ a-1 a >0,∴ 对称轴在 y 轴的右侧,∵ Δ = (1-a) 2 - 4× 1 2 a ·( -1)= 1+a2 >0,∴ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴ 顶点 M 一定在第一象限. 2. A　 【解析】由二次函数 y= m 3 x2 +mx+m2 -m(m 为常数)的 图象经过(0,6),且有最小值,得 m2 -m = 6,即 m = 3 或-2 (舍),当 m= 3 时,y= x2 +3x+6 = ( x+1. 5) 2 +3. 75>0,故该 二次函数的图象与 x 轴交点的个数为 0. 3. D　 【解析】∵ 当 x = 0 时,y = 6,∴ 抛物线与 y 轴的交点为 (0,6) . 又∵ y = ax2 -4ax+6 与坐标轴有且只有一个交点, ∴ 抛物线 y=ax2 -4ax+6 与 x 轴没有交点,∴ Δ = 16a2 -24a <0,a>0,∴ 0<a< 3 2 . 易得抛物线的顶点坐标为(2,6-4a), ∵ 抛物线 M,M′关于 x 轴对称,且两顶点之间距离为 4,∴ 6-4a= 4÷2,解得 a= 1. 4. C　 【解析】∵ y=mx2 -4mx+4m+4 =m(x-2) 2 +4,∴ 顶点坐 标是(2,4),∵ 二次函数 y =mx2 -4mx+4m+4 的图象只经 过三个象限,∴ m<0, 4m+4≤0,{ 解得 m≤-1. 5. B　 【解析】由题知,当 x = 0 和 x = 3 时,函数值相等,∴ 抛 物线的对称轴为直线 x= 0+3 2 = 3 2 ,∵ -2<0,6>-4,则在对 称轴左侧,y 随 x 的增大而减小,∴ 抛物线的开口向上,则 抛物线上的点,离对称轴越远,其函数值越大. ∵ 3 2 -( - 3)= 9 2 ,2- 3 2 = 1 2 , 3 2 - 1 2 = 1,且 9 2 > 1> 1 2 ,所以 y1 >y3 >y2 . 6. D　 【解析】抛物线 y = ax2 - 2ax+b 的对称轴为直线 x = - -2a 2a = 1,∵ a<0,∴ 抛物线开口向下,∴ 当 x = 1 时有最大 值 y3 ,∵ x1 <1<x2 ,x1 +x2 <2,∴ 点 A,B 在直线 x = 1 的两侧, 且点 A 离对称轴较远,∴ y2 >y1 ,∴ y3 >y2 >y1 . 7. A　 【解析】令 3x+19 = x2 +4x-1,整理得 x2 +x-20 = 0,解得 x1 = -5,x2 = 4,∴ 直线 y= 3x+19 与抛物线的交点的横坐标 分别为-5,4,∵ y= x2 +4x-1 = ( x+2) 2 -5,∴ 抛物线开口向 上,对称轴为直线 x= -2,顶点为( -2,-5),把 y= -5 代入 y = 3x+19,解得 x= -8,若 y1 = y2 = y3 ,x1 <x2 <x3 ,则-8<x1 <- 5,x2 +x3 = -4,∴ -12<x1 +x2 +x3 <-9. 8. D　 【解析】∵ 1>0,∴ 该二次函数的图象开口向上. 又∵ 点 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )均在该二次函数的图象上,且 x1 +x2 > 2,∴ x1 +x2 2 >1,即线段 AB 的中点的横坐标大于 1. 又∵ y1 < y2 ,∴ 点 A 到对称轴的距离较近,∴ 对称轴在直线 x = 1 的 左侧,∴ - b 2 ≤1,∴ b≥-2. 9. C　 【解析】设抛物线的函数解析式为 y = ax2 + bx+ c,则 a-b+c= 6, c= 2, a+b+c= 0, { 解得 a= 1, b= -3, c= 2, { 所以抛物线的解析式为 y = x2 -3x +2,所以函数图象开口向上,故①正确. 因为 y= x2 -3x+2 = (x- 3 2 ) 2 - 1 4 ,所以抛物线的顶点坐标为( 3 2 ,- 1 4 ),所以 抛物线的顶点在第四象限,故②错误. 将 x = 4 代入函数解 析式得 y= 6,所以当 x= 4 时,y = 6,故③正确. 将 A,B 两点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 全角度突破设问 突破设问 1 　 与抛物线上点有关的计算(2022. 25(2)) 例 1　 (2022 陕西 25 题改编)如图,一隧道截面为抛物线,其表达式为 y= - 9 25 (x-5) 2 +9. 现计划 在隧道内壁安装照明灯 A,B,要求 A,B 到 OE 的距离均为 6,求点 A 和点 B 的水平距离. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 1 题图 解:令 y=6,得- 9 25 (x-5) 2+9=6, 解得 x1 = 5 3 3 +5,x2 =- 5 3 3 +5, ∴A(5-5 3 3 ,6),B(5+5 3 3 ,6), ∴点 A 和点 B 的水平距离为 xB-xA = 10 3 3 . 突破设问 2 　 计算抛物线内接矩形面积(2023. 25(2)) 例 2　 (2023 陕西 25 题改编)某校为新建的图书楼正门设计了一个抛物线型拱门如图所示,已 知跨度 ON= 12 米,拱高 PE= 4 米,要在拱门中设计一个高为 3 米的矩形框架 ABCD(点 A,D 均在抛物线上,BC 在 ON 上),求矩形 ABCD 的面积. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 　 例 2 题图 解:∵ON=12 米,PE=4 米, ∴顶点 P(6,4), ∴设抛物线的解析式为 y=a(x-6) 2+4, 将 O(0,0)代入,得 0=36a+4,解得 a=- 1 9 , ∴抛物线的解析式为 y=- 1 9 (x-6) 2+4=- 1 9 x2+ 4 3 x. 在 y=- 1 9 x2+ 4 3 x 中, 令 y=3,得 3=- 1 9 x2+ 4 3 x, 解得 x=3 或 x=9, ∴AD=9-3=6(m) ∴S矩形ABCD =AB·AD=3×6=18(m2) . 04 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 突破设问 3 　 利用二次函数性质确定面积最值(2021. 26(2)、2020. 25(3)) 例 3　 如图,在△ABC 中,∠B= 90°,AB= 12 mm,BC= 24 mm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 mm / s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 mm / s 的速度移动,如 果 P、Q 两点分别从 A、B 两点同时出发,设运动时间为 t s,那么△PBQ 的面积 S 的最大值 为多少呢? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 3 题图 【思维模型】 ①动点 P 从…以 2 mm / s 的速度移动,动点 Q 从…以 4 mm / s 的速度 移动,则 AP = 2t mm,BQ = 4t mm,BP = (12 - 2t) mm,CQ = (24 - 4t)mm; ②利用三角形的面积公式 S = 1 2 BP·BQ,用含 t 的式子代入可得二 次函数表达式; ③利用二次函数的性质即可求得△PBQ 的面积 S 的最大值. 解:根据题意可知 AP=2t mm,BQ=4t mm,∵AB=12 mm,∴BP=(12-2t)mm,∴S= 1 2 BP·BQ= 1 2 ×(12-2t)×4t=24t-4t2,∵BQ=4t>0,BP=12-2t>0,CQ = 24-4t>0,∴0<t<6,故 S 关于 t 的函数解析 式为 S=24t-4t2(0<t<6) . ∵S=24t-4t2 = -4( t-3) 2+36,-4<0,∴当 t = 3 时,△PBQ 的面积 S 有最大 值为 36 mm2 . 例 4　 (2021 陕西 26 题节选)如图,在五边形 ABCDE 内挖一个四边形 OPMN,使点 O,P,M,N 分别在边 BC,CD,AE,AB 上,且满足 BO = 2AN = 2CP,AM = OC. 已知五边形 ABCDE 中, ∠A= ∠B= ∠C= 90°,AB= 800 m,BC= 1 200 m,CD= 600 m,AE= 900 m. 请问,是否存在面 积最小的四边形 OPMN? 若存在,求四边形 OPMN 面积的最小值;若不存在,请说明 理由. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】①已知∠A = ∠B = ∠C = 90°→有三个直角想到构造矩形→延长 AE,CD 交 于点 K;②四边形 OPMN 形状不确定→割补法表示面积:S四边形OPMN = S矩形ABCK -S△AMN - S△BNO-S△COP-S△KPM . 例 4 题图 解:存在,如解图,分别延长 AE 与 CD 交于点 K,则四边形 ABCK 是矩形, ∴AK=BC=1200 m,AB=CK=800 m, 设 AN=x m,则 PC=x m,BO=2x m,BN=(800-x) m,AM=OC=(1200-2x) m, ∴MK=AK-AM=1200-(1200-2x)= 2x m,PK=CK-CP=(800-x) m, ∴S四边形OPMN =S矩形ABCK-S△AMN-S△BON-S△OCP-S△PKM =800×1200- 1 2 x(1200-2x)- 1 2 ·2x(800-x)- 1 2 x(1200-2x)- 1 2 ·2x(800-x) =4(x-350) 2+470000, ∴当 x=350 时,S四边形OPMN 存在最小值为 470000 m2, ∴符合设计要求的四边形 OPMN 面积的最小值为 470000 m2 . 14