专题二 二次函数综合题 夯基础技能必备-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 专题二　 二次函数综合题(突破第 8 题、25 题) 夯基础技能必备 技能 1 　 画草图写性质等(详见《分层作业本》P34-P41) 技能 2 　 分类讨论要心细 例 1　 (2024 铁一中五模)在平面直角坐标系中,二次函数 y = 2x2 -2mx+m2 -2m(m 为常数)的 图象经过点(0,8),其对称轴在 y 轴右侧,则该二次函数有 (　 B　 ) A. 最大值 0　 　 　 　 B. 最小值 0　 　 　 　 C. 最大值 6　 　 　 　 D. 最小值 6 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 ①二次函数图象经过点(0,8)→将 x= 0,y= 8 代入解析式求 m; ②对称轴在 y 轴右侧→x= - -2m 2×2 = m 2 >0(取舍 m 值的关键,属隐含分类讨论) 技能 3 　 准确提取表格信息 例 2　 多解法 ∙∙∙ (2021 陕西 8 题 3 分)下表中列出的是一个二次函数的自变量 x 与函数 y 的几组 对应值: x … -2 0 1 3 … y … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中,正确的是 (　 C　 ) A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的图象与 x 轴无交点 C. 这个函数的最小值小于-6 D. 当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而增大 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】①表中数据显示随着 x 的增大,y 值先减小再增大→抛物线开口向上; ②当 x= -2 时,y= 6>0,当 x= 0 时,y= -4<0→在-2<x<0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; ③当 x= 0 和 x= 3 时,y 都是-4→对称轴是直线 x= 0+3 2 = 3 2 (此处易“误认为直线 x= 1 是 对称轴”出错); ④由③可知当 x>1 时,y 值随 x 值的增大先减小后增大 技能 4 　 待定系数法求函数表达式 例 3　 (2024 高新二中二模节选)抛物线 y = ax2 +bx+3 经过 A( -1,0),B(5,3)两点. 求该抛物线 的表达式. 解:将 A(-1,0),B(5,3)的坐标代入 y=ax2+bx+3,得 a-b+3=0, 25a+5b+3=3,{ 解得 a=- 1 2 , b= 5 2 , ì î í ï ï ï ï 则该抛物线的表达式为 y=- 1 2 x2+ 5 2 x+3. 83 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 例 4　 (2023 西安名校模拟节选)小静同学在手工课上制作了一个容器,经过该容器圆形开口中 心点的纵剖面为如图所示的抛物面形,即剖面边沿为一条抛物线. 经过测量可知该容器 的口径 OA= 20 cm,最大深度为 20 cm. 在如图所示的平面直角坐标系中,求出抛物线的 表达式. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 4 题图 解:∵OA=20 cm,最大深度为 20 cm, ∴点 A 的坐标为(20,0),顶点 P 的坐标为(0 +20 2 ,-20),即(10,-20), 由图可知,抛物线经过原点, ∴设抛物线的表达式为 y=a(x-10) 2-20, 将点 A 的坐标代入,可得 100a-20=0,解得 a= 1 5 , ∴抛物线的表达式为 y= 1 5 (x-10) 2-20. 例 5　 某公园要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管 OA 长 2. 25 m. 在水 管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到 最高,高度为 3 m. 建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线(第一象限)的表达式及点 B 的坐标. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 　 例 5 题图 解:由题意可知,抛物线在第一象限的顶点坐标为(1,3), ∴设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2+3, 将(0,2. 25)代入表达式中,得 a(0-1) 2+3=2. 25, 解得 a=- 3 4 , ∴抛物线的解析式为 y=- 3 4 (x-1) 2+3; 令 y=0,得 0=- 3 4 (x-1) 2+3, 解得 x=-1(舍)或 x=3, ∴点 B 的坐标为(3,0) . 93 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ BE=CE= 1 2 BC= 2, ∴ DE= CD2 -CE2 = ( 5 2 ) 2 -22 = 3 2 , ∵ S△BDE = 1 2 DE·BE= 1 2 BD·EF, ∴ EF= DE·BE BD = 6 5 , ∴ DF= DE2 -EF2 = ( 3 2 ) 2 -( 6 5 ) 2 = 9 10 . 8. (1)证明:如解图,连接 OD, 第 8 题解图 ∵ AD 平分∠CAB, ∴ ∠CAD= ∠DAB, ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD= ∠ODA, ∴ ∠CAD= ∠ADO, ∴ AE∥OD, ∵ AB 是☉O 直径, ∴ ∠ACB= 90°, ∵ EF 是☉O 的切线,D 为切点, ∴ OD⊥EF,又∵ AE∥OD, ∴ AE⊥EF, ∴ ∠E= ∠ACB= 90°, ∴ BC∥EF; (2)解:∵ sinF= 3 5 =OD OF ,且 BF= 2, ∴ OD OB+BF = OD OD+2 = 3 5 , 解得 OD=OB= 3, 又∵ OF=OB+BF= 5, ∴ DF= OF2 -OD2 = 4, ∵ OD∥AE, ∴ DF DE =OF AO , ∴ 4 DE = 5 3 , 解得 DE= 12 5 , ∴ DE 的长为 12 5 . 专题二　 二次函数综合题 夯基础技能必备 例 1　 B　 【解析】由 y= 2x2 -2mx+m2 -2m(m 为常数)的图象 经过点(0,8),其对称轴在 y 轴右侧,得 m2 -2m= 8,得 m= 4 或-2(舍),故二次函数为 y = 2x2 - 8x+ 8 = 2( x- 2) 2 ,故二次函数有最小值为 0. 例 2　 C　 【解析】解法 1:A. 表中数据显示随着 x 的增大,y 值先减小再增大,∴ 抛物线开口向上,A 选项错误; B. x= -2 时,y= 6>0,x = 0 时,y = - 4< 0,∴ 在- 2<x< 0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点,B 选项错误;C. x = 0 和 x= 3 时,y 都是-4,∴ 对称轴是直线 x = 0+3 2 = 3 2 ,∵ 当 x= 1 时,y= -6,且 1<x< 3 2 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 最小值小于-6,C 选项正确;D. 由对称轴为直线 x= 3 2 可知,当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大先减小后增大, 故 D 选项错误. 解法 2:设二次函数的表达式为 y = ax2 +bx+c,由题知 6 =a×( -2) 2 +b×( -2) +c, -4 = c, -6 =a+b+c, { 解得 a= 1, b= -3, c= -4, { ∴ 二次函数的 表达式为 y= x2 -3x-4 = (x-4)(x+1)= ( x- 3 2 ) 2 - 25 4 . A. 函数图象开口向上,故 A 选项不符合题意;B. 与 x 轴的交点为(4,0)和( -1,0),故 B 选项不符合题意; C. 当 x= 3 2 时,函数有最小值为- 25 4 ,故 C 选项符合 题意;D. 函数对称轴为直线 x = 3 2 ,根据图象可知当 x > 3 2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,故 D 选项不符合 题意. 故选 C. 例 3　 解:将 A( -1,0),B(5,3)的坐标代入 y=ax2 +bx+3,得 a-b+3 = 0, 25a+5b+3 = 3,{ 解得 a= - 1 2 , b= 5 2 , ì î í ï ï ïï 则该抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 + 5 2 x+3. 例 4　 解:∵ OA= 20 cm,最大深度为 20 cm, ∴ 点 A 的坐标为( 20,0),顶点 P 的坐标为( 0+20 2 , -20),即(10,-20), 由图可知,抛物线经过原点, ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-10) 2 -20, 将点 A 的坐标代入可得 100a-20 = 0, 解得 a= 1 5 , ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 5 (x-10) 2 -20. 例 5　 解:由题意可知,抛物线在第一象限的顶点坐标为(1, 3), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2 +3, 将(0,2. 25)代入表达式中,得 a(0-1) 2 +3 = 2. 25, 解得 a= - 3 4 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 3 4 (x-1) 2 +3; 令 y= 0,得 0 = - 3 4 (x-1) 2 +3, 解得 x= -1(舍)或 x= 3, ∴ 点 B 的坐标为(3,0) . 全角度突破设问 例 1　 解:令 y= 6,得- 9 25 (x-5) 2 +9 = 6, 解得 x1 = 5 3 3 +5,x2 = - 5 3 3 +5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15