专题二 二次函数综合题 分类型综合训练-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 分类型综合训练 类型 1 　 二次函数性质的计算(必考) 1. (2024 交大附中一模)已知抛物线 y = 1 2 ax2 + (1-a)x-1(a<0),则它的顶点 M 一定在 (　 A　 ) A. 第一象限　 　 　 　 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. (2024 西安名校模拟)在平面直角坐标系中, 二次函数 y= m 3 x2 +mx+m2 -m(m 为常数)的 图象经过(0,6),且有最小值,则该二次函 数的图象与 x 轴交点的个数为 (　 A　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 不确定 3. (2024 高新三中六模)在同一平面直角坐标 系中,抛物线 M:y=ax2 -4ax+6 与坐标轴有 且只有一个交点,若抛物线 M 与抛物线 M′ 关于 x 轴对称,且两抛物线顶点之间的距 离为 4,则 a 的值为 (　 D　 ) A. ±2 　 　 B. ±1 　 　 C. 2　 　 　 D. 1 4. (2024 高新一中九模)在平面直角坐标系中, 二次函数 y=mx2 -4mx+4m+4(m≠0)的图 象只经过三个象限,则 m 的取值范围为 (　 C　 ) A. m<-1 B. -1<m<0 C. m≤-1 D. m<0 5. (2024 西安名校模拟)已知抛物线 y = ax2 +bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如 下表: x -2 0 1 3 y 6 -4 -6 -4 该抛物线的图象上有三点 A( -3,y1 ),B(2,y2 ), C( 1 2 ,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系是 (　 B　 ) A. y1 >y2 >y3 B. y1 >y3 >y2 C. y2 >y3 >y1 D. y2 >y1 >y3 6. (2024 铁一中六模)已知抛物线 y = ax2 -2ax+ b(a<0)上三个点的坐标分别为 A(x1,y1 ), B(x2,y2 ),C(1,y3 ),若 x1 <1<x2,x1 +x2 <2, 则 y1,y2,y3 的大小关系为 (　 D　 ) A. y3 <y1 <y2 B. y2 <y1 <y3 C. y3 <y2 <y1 D. y1 <y2 <y3 7. (2023 十堰)已知点 A(x1,y1)在直线 y = 3x+ 19 上,点 B(x2,y2),C(x3,y3 )在抛物线 y = x2 +4x-1 上,若 y1 = y2 = y3,x1 <x2 <x3,则 x1 + x2 +x3 的取值范围是 (　 A　 ) A. -12<x1 +x2 +x3 <-9 B. -8<x1 +x2 +x3 <-6 C. -9<x1 +x2 +x3 <0 D. -6<x1 +x2 +x3 <1 8. (2024 咸阳名校模拟)若点 A( x1,y1 ),B( x2, y2)均在二次函数 y= x2 +bx+c 的图象上(点 A 在点 B 的左侧),且当 x1 +x2 >2 时,y1 <y2, 则 b 的取值范围为 (　 D　 ) A. b<-2 B. b≤-2 C. b>-2 D. b≥-2 9. (2024 西安名校模拟)表中列出的是一个二 次函数 y = ax2 +bx+c 的自变量 x 与函数 y 的几组对应值: x … -1 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列选项中,正确的有 (　 C　 ) ①函数图象开口向上; ②函数图象不经过第四象限; ③当 x= 4 时,y= 6; ④在函数图象上有两点 A( - 3,y1 ),B(3, y2),则 y2 <y1 . A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 类型 2 　 二次函数实际应用问题(8 年 5 考) ◆抛物线型问题 10. 如图,悬索桥又名吊桥,其缆索几何形状由力的平衡条件决定,一般接近抛物线. 已知两 桥塔 AD=BC= 12 m,间距 AB 为 40 m,桥面 AB 水平,主索最低点 P 距离桥面 2 m,以 DC 的中点 O 为原点,直线 DC 为 x 轴,直线 PO 为 y 轴建立平面直角坐标系. (1)求主索抛物线的函数表达式; (2)距离点 P 水平距离为 4 m 和 10 m 处的吊索共四条需要更换,求四根吊索总长度为多 少米. 第 10 题图 解:(1)由题图可知,点 C 的坐标为(20,0) . 设该抛物线的函数表达式为 y=ax2+c(a≠0), 又∵点 P 的坐标为 (0,-10), ∴ 202·a+c=0, c=-10,{ ∴ a= 1 40 , c=-10, ì î í ïï ïï ∴主索抛物线的函数表达式为 y= 1 40 x2-10; (2)当 x=4 时,y= 1 40 ×42-10=-48 5 ,此时吊索的长度为 12-48 5 = 12 5 (m) . 由抛物线的对称性得,当 x=-4 时,此时吊索的长度也为12 5 m. 当 x=10 时,y= 1 40 ×102-10=-15 2 ,此时吊索的长度为 12-15 2 = 9 2 (m), 由抛物线的对称性得,当 x=-10 时,此时吊索的长度也为 9 2 m. ∵12 5 +12 5 + 9 2 + 9 2 = 69 5 (m), ∴四根吊索总长度为69 5 m. 34 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 11. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型,两小孔形状、大小都相同. 正常水位时,大孔水面 宽度 AB 为 10 m,顶点 M 距水面 6 m(即 MO = 6 m),小孔顶点 N 距水面 4 m(即 NC = 4 m),建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求出大孔抛物线的解析式; (2)现有一艘船高度是 4. 5 m,宽度是 4 m,为了保证安全,船顶距离桥拱顶部至少 0. 5 m, 则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔? (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时,求出此时大孔的水面宽度 EF. 第 11 题图 解:(1)设大孔抛物线的解析式为 y=ax2+6, 把点 A(-5,0)代入得:25a+6=0, 解得 a=- 6 25 , ∴大孔抛物线的解析式为 y=- 6 25 x2+6; (2)当 x=2 时,y=- 6 25 x2+6=- 6 25 ×22+6=126 25 , ∵126 25 -4. 5= 27 50 >0. 5, ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔; (3)由 NC=4 m,可知点 F 的纵坐标为 4, 代入解析式 y=- 6 25 x2+6 得:- 6 25 x2+6=4, 解得 x=±5 3 3 , 由抛物线的对称性可知点 E 的坐标为(-5 3 3 ,4),点 F 的坐标为(5 3 3 ,4), ∴EF=10 3 3 m. 答:此时大孔的水面宽度 EF 为10 3 3 m. 44 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 12. (2023 陕西副题 25 题 8 分)某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件,如图所示,该抛物线型 构件的底部宽度 OM= 12 米,顶点 P 到底部 OM 的距离为 9 米. 将该抛物线放入平面直角 坐标系中,点 M 在 x 轴上. 其内部支架有两个符合要求的设计方案: 方案一是“川”字形内部支架(由线段 AB,PN,DC 构成),点 B,N,C 在 OM 上,且 OB = BN=NC=CM,点 A,D 在抛物线上,AB,PN,DC 均垂直于 OM; 方案二是“H” 形内部支架(由线段 A′B′,D′C′,EF 构成),点 B′,C′在 OM 上,且 OB′ = B′C′=C′M,点 A′,D′在抛物线上,A′B′,D′C′均垂直于 OM,E,F 分别是 A′B′,D′C′的中点. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件,那么哪一个方案的内部支架节省材 料? 请说明理由. 方案一 　 　 方案二 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 12 题图 解:(1)∵该抛物线型构件的底部宽度 OM=12 米,顶点 P 到底部 OM 的距离为 9 米, ∴顶点 P 的坐标为(6,9),点 O 的坐标为(0,0),点 M 的坐标为(12,0), 设抛物线的表达式为:y=a(x-6) 2+9,将 O(0,0)代入, 得 0=a(0-6) 2+9, 解得 a=- 1 4 , ∴该抛物线的函数表达式为 y=- 1 4 (x-6) 2+9,即 y=- 1 4 x2+3x; (2)方案二的内部支架节省材料.理由如下: 方案一:∵OB=BN=NC=CM,OM=12 米, ∴OB=3 米,OC=9 米, 当 x=3 时,y=- 1 4 (3-6) 2+9=27 4 ,即 AB=27 4 米, 当 x=9 时,y=- 1 4 (9-6) 2+9=27 4 ,即 CD=27 4 米, ∴方案一内部支架材料长度为 AB+NP+CD=27 4 +9+27 4 = 45 2 (米); 方案二:∵OB′=B′C′=C′M,OM=12 米, ∴OB′=4 米,OC′=8 米,EF=B′C′=4 米, 当 x=4 时,y=- 1 4 (4-6) 2+9=8,即 A′B′=8 米, 当 x=8 时,y=- 1 4 (8-6) 2+9=8,即 C′D′=8 米, ∴方案二内部支架材料长度为 A′B′+EF+C′D′=8+4+8=20(米), ∵45 2 >20, ∴方案二的内部支架节省材料. 54 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 13. (新中考方向型试题)(2024 山西)综合与实践 问题情境:如图①,矩形 MNKL 是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由 抛物线的一部分与线段 AB 组成的封闭图形,点 A,B 在矩形的边 MN 上. 现要对该花坛内 种植区域进行划分,以种植不同花卉,学校面向全体同学征集设计方案. 方案设计:如图②,AB= 6 米,AB 的垂直平分线与抛物线交于点 P,与 AB 交于点 O,点 P 是抛物线的顶点,且 PO= 9 米. 欣欣设计的方案如下: 第一步:在线段 OP 上确定点 C,使∠ACB = 90°,用篱笆沿线段 AC,BC 分隔出△ABC 区 域,种植串串红; 第二步:在线段 CP 上取点 F(不与 C,P 重合),过点 F 作 AB 的平行线,交抛物线于点 D, E. 用篱笆沿 DE,CF 将线段 AC,BC 与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花 色的月季. 方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步△ABC 区域的分隔后,发现仅剩 6 米篱 笆材料. 若要在第二步分隔中恰好用完 6 米材料,需确定 DE 与 CF 的长. 为此,欣欣在图 ②中以 AB 所在直线为 x 轴,OP 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 请按照她的方法 解决问题: (1)在图②中画出坐标系,并求抛物线的函数表达式; (2)求 6 米材料恰好用完时 DE 与 CF 的长; (3)种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩 形. 她尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个 顶点分别在线段 AC,BC 上. 直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值. 图① 　 　 图② 　 　 　 　 第 13 题图 解:(1)画出坐标系如解图,抛物线的函数表达式为 y=-x2+9(-3≤x≤3); (2)∵点 D,E 在抛物线 y=-x2+9 上,∴设点 E 的坐标为(m,-m2+9), ∵DE∥AB,交 y 轴于点 F,∴DF=EF=m,OF=-m2+9,∴DE=2m. 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,OA=OB,∴OC= 1 2 AB= 1 2 ×6=3,∴CF=OF-OC=-m2+9-3=-m2+6, 根据题意得 CF+DE=6,∴-m2+6+2m=6,解得 m1 =2,m2 =0(不符合题意,舍去), ∴m=2,∴DE=2m=4,CF=-m2+6=2. 答:DE 的长为 4 米,CF 的长为 2 米; (3)矩形周长的最大值为33 2 米. 详解见本册 PX 64 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 ◆利用二次函数性质解决面积最值问题 14.问题探究 (1)如图①,在菱形 ABCD 中,∠A= 120°,AB= 4,点 P 为边 CD 的中点,Q 为边 AD 上一点, 且 DP+DQ= 5,连接 BP、PQ、BQ,求△BPQ 的面积; 问题解决 (2)为响应市政府“建设美丽城市,改善生活环境”的号召,某小区欲建造如图②所示的 四边形 ABCD 休闲广场,∠A = ∠ABC = ∠C = 90°,AB = 40 米,BC = 60 米. 按照规划要 求,点 P、Q 分别在边 CD、AD 上,满足 DP+DQ = 40 米,连接 BP、PQ、BQ,其中△PBQ 为健身休闲区,其他区域为景观绿化区,为了使绿化面积尽可能大,希望健身休闲区 的面积尽可能小,那么按此要求修建的这个健身休闲区( △PBQ) 是否存在最小面 积? 若存在,求出最小面积及此时 DP 的长;若不存在,请说明理由. 图① 　 　 图② 第 14 题图 解:(1)如解图,过点 B 作 BE⊥AD 交 DA 的延长线于点 E,过点 P 作 PM⊥AD 于点 M,延长 MP 交 BC 的延长线于点 N, ∴∠BAE=∠ABC=∠DCN=∠D=60°, 在菱形 ABCD 中,BC=CD=AD=AB=4,∵点 P 为边 CD 的中点, ∴DP=CP=2,∵DP+DQ=5,∴DQ=3,∴AQ=1, 在 Rt△ABE 中,BE=AB·sin60° =2 3 , 在 Rt△CPN 中,PN=CP·sin60° = 3 , 在 Rt△DPM 中,PM=DP·sin60° = 3 , ∴S△BPQ =S菱形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ =4×2 3 - 1 2 ×1×2 3 - 1 2 ×4× 3 - 1 2 ×3× 3 = 7 3 2 ; (2)存在. ∵∠A=∠ABC=∠C=90°,∴四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD= 40 米,BC=AD= 60 米,设 DP=x 米,则 CP=DQ=(40-x)米,AQ=(20+x)米, ∴S△BPQ =S矩形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ =40×60- 1 2 ×40×(20+x)- 1 2 ×60×(40-x)- 1 2 x(40-x) = 1 2 x2-10x+800 = 1 2 (x-10) 2+750, ∵ 1 2 >0,0≤x≤40, ∴当 x=10 时,S△BPQ 的最小值为 750, ∴按此要求修建的这个健身休闲区(△PBQ)存在最小面积,最小面积为 750 平方米,此时 DP 的长为 10 米. 74 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 ◆利润问题 15. (2024 贵州节选)某超市购入一批进价为 10 元 /盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售 单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价 x(元)是一次函数关系,下表是 y 与 x 的 几组对应值. 销售单价 x / 元 … 12 14 16 18 20 … 销售量 y / 盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求 y 与 x 的函数表达式; (2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少? 解:(1)设 y=kx+b(k≠0), ∴ 12k+b=56, 14k+b=52,{ 解得: k=-2, b=80,{ ∴ y=-2x+80(x≥10); (2)设日销售利润为 w 元. w =(x-10)(-2x+80) =-2x2+100x-800 =-2(x2-50x+625)-800+1250 =-2(x-25) 2+450. ∵-2<0,x≥10, ∴当 x=25 时,w 最大,最大为 450. 答:糖果销售单价定为 25 元时,所获日销售利润最大,最大利润是 450 元. 16. (2023 咸阳名校模拟)某文具店销售一种进价为每件 40 元的护眼台灯,销售过程中发现,每 月销售量 y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:y = -10x+700,在 销售过程中销售单价不低于进价,而每件的利润不高于成本价的 50%. (1)设文具店每月获得利润为 w(元),求每月获得利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的 函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围; (2)x 在什么范围内,该文具店每月获得利润逐渐增多? 在什么范围内,该文具店每月获 得利润逐渐减少? 解:(1)由题意,得 w=(x-40)(-10x+700)= -10x2+1 100x-28000, ∵40≤x≤40×(1+50%), ∴40≤x≤60, ∴w=-10x2+1 100x-28000(40≤x≤60); (2)w=-10x2+1 100x-28000=-10(x-55) 2+2250, ∵-10<0,40≤x≤60, ∴当 40≤x<55 时,w 随 x 的增大而增大;当 x=55 时,w 最大;当 55<x≤60 时,w 随 x 的增大而减小, ∴当 40≤x<55 时,该文具店每月获得利润逐渐增多;当 55<x≤60 时,该文具店每月获得利润逐渐 减少. 84 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ A(5- 5 3 3 ,6),B(5+ 5 3 3 ,6), ∴ 点 A 和点 B 的水平距离为 xB -xA = 10 3 3 . 例 2　 解:∵ ON= 12 米,PE= 4 米, ∴ 顶点 P(6,4), ∴ 设抛物线的解析式为 y=a(x-6) 2 +4, 将 O(0,0)代入,得 0 = 36a+4,解得 a= - 1 9 , ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 9 (x-6) 2 +4 = - 1 9 x2 + 4 3 x. 在 y= - 1 9 x2 + 4 3 x 中, 令 y= 3,得 3 = - 1 9 x2 + 4 3 x, 解得 x= 3 或 x= 9, ∴ AD= 9-3 = 6(m), ∴ S矩形ABCD =AB·AD= 3×6 = 18(m2 ) . 例 3　 解:根据题意可知 AP= 2t mm,BQ= 4t mm, ∵ AB= 12 mm, ∴ BP= (12-2t)mm, ∴ S= 1 2 BP·BQ= 1 2 ×(12-2t) ×4t= 24t-4t2 , ∵ BQ= 4t>0,BP= 12-2t>0,CQ= 24-4t>0, ∴ 0<t<6, 故 S 关于 t 的函数解析式为 S= 24t-4t2(0<t<6) . ∵ S= 24t-4t2 = -4( t-3) 2 +36,-4<0, ∴ 当 t= 3 时,△PBQ 的面积 S 有最大值为 36 mm2 . 例 4　 解:存在,如解图,分别延长 AE 与 CD 交于点 K,则四 边形 ABCK 是矩形, ∴ AK=BC= 1200 m,AB=CK= 800 m, 设 AN= x m,则 PC= x m,BO = 2x m,BN = (800-x) m, AM=OC= (1200-2x) m, ∴ MK=AK-AM= 1200-(1200-2x)= 2x m,PK=CK-CP = (800-x) m, ∴ S四边形OPMN =S矩形ABCK-S△AMN-S△BON-S△OCP-S△PKM = 800 × 1200 - 1 2 x ( 1200 - 2x) - 1 2 · 2x (800-x) - 1 2 x(1200-2x) - 1 2 ·2x(800- x) = 4(x-350) 2 +470000, ∴ 当 x= 350 时,S四边形OPMN 存在最小值为 470000 m2 , ∴ 符合设计要求的四边形 OPMN 面积的最小值 为 470000 m2 . 例 4 题解图 分类型综合训练 1. A　 【解析】∵ 抛物线 y= 1 2 ax2 +(1-a) x-1(a<0),∴ 抛物 线开口向下,对称轴为直线 x = - 1-a 2× 1 2 a = a -1 a ,∵ a< 0, ∴ a-1 a >0,∴ 对称轴在 y 轴的右侧,∵ Δ = (1-a) 2 - 4× 1 2 a ·( -1)= 1+a2 >0,∴ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴ 顶点 M 一定在第一象限. 2. A　 【解析】由二次函数 y= m 3 x2 +mx+m2 -m(m 为常数)的 图象经过(0,6),且有最小值,得 m2 -m = 6,即 m = 3 或-2 (舍),当 m= 3 时,y= x2 +3x+6 = ( x+1. 5) 2 +3. 75>0,故该 二次函数的图象与 x 轴交点的个数为 0. 3. D　 【解析】∵ 当 x = 0 时,y = 6,∴ 抛物线与 y 轴的交点为 (0,6) . 又∵ y = ax2 -4ax+6 与坐标轴有且只有一个交点, ∴ 抛物线 y=ax2 -4ax+6 与 x 轴没有交点,∴ Δ = 16a2 -24a <0,a>0,∴ 0<a< 3 2 . 易得抛物线的顶点坐标为(2,6-4a), ∵ 抛物线 M,M′关于 x 轴对称,且两顶点之间距离为 4,∴ 6-4a= 4÷2,解得 a= 1. 4. C　 【解析】∵ y=mx2 -4mx+4m+4 =m(x-2) 2 +4,∴ 顶点坐 标是(2,4),∵ 二次函数 y =mx2 -4mx+4m+4 的图象只经 过三个象限,∴ m<0, 4m+4≤0,{ 解得 m≤-1. 5. B　 【解析】由题知,当 x = 0 和 x = 3 时,函数值相等,∴ 抛 物线的对称轴为直线 x= 0+3 2 = 3 2 ,∵ -2<0,6>-4,则在对 称轴左侧,y 随 x 的增大而减小,∴ 抛物线的开口向上,则 抛物线上的点,离对称轴越远,其函数值越大. ∵ 3 2 -( - 3)= 9 2 ,2- 3 2 = 1 2 , 3 2 - 1 2 = 1,且 9 2 > 1> 1 2 ,所以 y1 >y3 >y2 . 6. D　 【解析】抛物线 y = ax2 - 2ax+b 的对称轴为直线 x = - -2a 2a = 1,∵ a<0,∴ 抛物线开口向下,∴ 当 x = 1 时有最大 值 y3 ,∵ x1 <1<x2 ,x1 +x2 <2,∴ 点 A,B 在直线 x = 1 的两侧, 且点 A 离对称轴较远,∴ y2 >y1 ,∴ y3 >y2 >y1 . 7. A　 【解析】令 3x+19 = x2 +4x-1,整理得 x2 +x-20 = 0,解得 x1 = -5,x2 = 4,∴ 直线 y= 3x+19 与抛物线的交点的横坐标 分别为-5,4,∵ y= x2 +4x-1 = ( x+2) 2 -5,∴ 抛物线开口向 上,对称轴为直线 x= -2,顶点为( -2,-5),把 y= -5 代入 y = 3x+19,解得 x= -8,若 y1 = y2 = y3 ,x1 <x2 <x3 ,则-8<x1 <- 5,x2 +x3 = -4,∴ -12<x1 +x2 +x3 <-9. 8. D　 【解析】∵ 1>0,∴ 该二次函数的图象开口向上. 又∵ 点 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )均在该二次函数的图象上,且 x1 +x2 > 2,∴ x1 +x2 2 >1,即线段 AB 的中点的横坐标大于 1. 又∵ y1 < y2 ,∴ 点 A 到对称轴的距离较近,∴ 对称轴在直线 x = 1 的 左侧,∴ - b 2 ≤1,∴ b≥-2. 9. C　 【解析】设抛物线的函数解析式为 y = ax2 + bx+ c,则 a-b+c= 6, c= 2, a+b+c= 0, { 解得 a= 1, b= -3, c= 2, { 所以抛物线的解析式为 y = x2 -3x +2,所以函数图象开口向上,故①正确. 因为 y= x2 -3x+2 = (x- 3 2 ) 2 - 1 4 ,所以抛物线的顶点坐标为( 3 2 ,- 1 4 ),所以 抛物线的顶点在第四象限,故②错误. 将 x = 4 代入函数解 析式得 y= 6,所以当 x= 4 时,y = 6,故③正确. 将 A,B 两点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 代入函数解析式得 y1 = 20,y2 = 2,所以 y1 >y2 ,故④正确. 故 选 C. 10.解:(1)由题图可知,点 C 的坐标为(20,0) . 设该抛物线的函数表达式为 y=ax2 +c(a≠0), 又∵ 点 P 的坐标为 (0,-10), ∴ 202 ·a+c= 0, c= -10,{ ∴ a= 1 40 , c= -10, { ∴ 主索抛物线的函数表达式为 y= 1 40 x2 -10; (2)当 x= 4 时,y = 1 40 ×42 -10 = - 48 5 ,此时吊索的长度为 12- 48 5 = 12 5 (m) . 由抛物线的对称性得,当 x= -4 时,此时吊索的长度也为 12 5 m. 当 x= 10 时,y= 1 40 ×102 -10 = - 15 2 ,此时吊索的长度为 12 - 15 2 = 9 2 (m), 由抛物线的对称性得,当 x = -10 时,此时吊索的长度也为 9 2 m. ∵ 12 5 + 12 5 + 9 2 + 9 2 = 69 5 (m), ∴ 四根吊索总长度为 69 5 m. 11.解:(1)设大孔抛物线的解析式为 y = ax2 +6,把点 A( -5, 0)代入得:25a+6 = 0, 解得 a= - 6 25 , ∴ 大孔抛物线的解析式为 y= - 6 25 x2 +6; (2)当 x= 2 时,y= - 6 25 x2 +6 = - 6 25 ×22 +6 = 126 25 , ∵ 126 25 -4. 5 = 27 50 >0. 5, ∴ 这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔; (3)由 NC= 4 m,可知点 F 的纵坐标为 4,代入解析式 y = - 6 25 x2 +6 得:- 6 25 x2 +6 = 4, 解得 x= ± 5 3 3 , 由抛物线的对称性可知点 E 的坐标为( - 5 3 3 ,4),点 F 的坐标为( 5 3 3 ,4), ∴ EF= 10 3 3 m. 答:此时大孔的水面宽度 EF 为 10 3 3 m. 12.解:(1)∵ 该抛物线型构件的底部宽度 OM = 12 米,顶点 P 到底部 OM 的距离为 9 米, ∴ 顶点 P 的坐标为(6,9),点 O 的坐标为(0,0),点 M 的 坐标为(12,0), 设抛物线的表达式为:y=a(x-6) 2 +9,将 O(0,0)代入, 得 0 =a(0-6) 2 +9, 解得 a= - 1 4 , ∴ 该抛物线的函数表达式为 y = - 1 4 (x-6) 2 + 9,即 y = - 1 4 x2 +3x; (2)方案二的内部支架节省材料. 理由如下: 方案一:∵ OB=BN=NC=CM,OM= 12 米, ∴ OB= 3 米,OC= 9 米, 当 x= 3 时,y= - 1 4 (3-6) 2 +9 = 27 4 ,即 AB= 27 4 米, 当 x= 9 时,y= - 1 4 (9-6) 2 +9 = 27 4 ,即 CD= 27 4 米, ∴ 方案一内部支架材料长度为 AB+NP+CD = 27 4 +9+ 27 4 = 45 2 (米); 方案二:∵ OB′=B′C′=C′M,OM= 12 米, ∴ OB′= 4 米,OC′= 8 米,EF=B′C′= 4 米, 当 x= 4 时,y= - 1 4 (4-6) 2 +9 = 8,即 A′B′= 8 米, 当 x= 8 时,y= - 1 4 (8-6) 2 +9 = 8,即 C′D′= 8 米, ∴ 方案二内部支架材料长度为 A′B′+EF+C′D′= 8+4+8 = 20(米), ∵ 45 2 >20, ∴ 方案二的内部支架节省材料. 13.解:(1)如解图①,建立平面直角坐标系, 第 13 题解图① ∵ OP 所在直线是 AB 的垂直平分线,且 AB= 6, ∴ OA=OB= 1 2 AB= 1 2 ×6 = 3, ∴ 点 B 的坐标为(3,0), ∵ OP= 9, ∴ 点 P 的坐标为(0,9), ∵ 点 P 是抛物线的顶点, ∴ 设抛物线的函数表达式为 y=ax2 +9, ∵ 点 B(3,0)在抛物线 y=ax2 +9 上, ∴ 9a+9 = 0, 解得 a= -1, ∴ 抛物线的函数表达式为 y= -x2 +9( -3≤x≤3); (2)∵ 点 D,E 在抛物线 y= -x2 +9 上, ∴ 设点 E 的坐标为(m,-m2 +9), ∵ DE∥AB,交 y 轴于点 F, ∴ DF=EF=m,OF= -m2 +9, ∴ DE= 2m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,OA=OB, ∴ OC= 1 2 AB= 1 2 ×6 = 3, ∴ CF=OF-OC= -m2 +9-3 = -m2 +6, 根据题意得 CF+DE= 6, ∴ -m2 +6+2m= 6, 解得 m1 = 2,m2 = 0(不符合题意,舍去), ∴ m= 2, ∴ DE= 2m= 4,CF= -m2 +6 = 2. 答:DE 的长为 4 米,CF 的长为 2 米; (3)如解图②,矩形灯带为 GHML, 第 13 题解图② 由点 A,B,C 的坐标得,直线 AC 和 BC 的函数表达式分别 为 y= x+3,y= -x+3, 设点 G(m,-m2 +9),H( -m,-m2 +9),L(m,m+3),M( -m, m+3),-3<m<0, 则矩形周长= 2(GH+GL)= 2×( -2m-m2 +9-m-3)= -2(m + 3 2 ) 2 + 33 2 ≤ 33 2 , 故矩形周长的最大值为 33 2 米. 14.解:(1)如解图,过点 B 作 BE⊥AD 交 DA 的延长线于点 E,过点 P 作 PM⊥AD 于点 M,延长 MP 交 BC 的延长线 于点 N, 第 14 题解图 ∴ ∠BAE= ∠ABC= ∠DCN= ∠D= 60°, 在菱形 ABCD 中,BC = CD = AD = AB = 4,∵ 点 P 为边 CD 的中点, ∴ DP=CP= 2, ∵ DP+DQ= 5, ∴ DQ= 3, ∴ AQ= 1, 在 Rt△ABE 中,BE=AB·sin60° = 2 3 , 在 Rt△CPN 中,PN=CP·sin60° = 3 , 在 Rt△DPM 中,PM=DP·sin60° = 3 , ∴ S△BPQ =S菱形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ = 4×2 3 - 1 2 ×1×2 3 - 1 2 ×4× 3 - 1 2 ×3× 3 = 7 3 2 ; (2)存在. ∵ ∠A= ∠ABC= ∠C= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD= 40 米,BC=AD= 60 米, 设 DP= x 米,则 CP=DQ= (40-x)米,AQ= (20+x)米, ∴ S△BPQ =S矩形ABCD-S△ABQ-S△BCP-S△DPQ = 40×60- 1 2 × 40×(20+x) - 1 2 × 60 × ( 40 -x) - 1 2 x(40-x) = 1 2 x2 -10x+800 = 1 2 (x-10) 2 +750, ∵ 1 2 >0,0≤x≤40, ∴ 当 x= 10 时,S△BPQ 的最小值为 750, ∴ 按此要求修建的这个健身休闲区(△PBQ)存在最小面 积,最小面积为 750 平方米,此时 DP 的长为 10 米. 15.解:(1)设 y= kx+b(k≠0), ∴ 12k+b= 56, 14k+b= 52,{ 解得: k= -2, b= 80,{ ∴ y= -2x+80(x≥10); (2)设日销售利润为 w 元. w = (x-10)( -2x+80) = -2x2 +100x-800 = -2(x2 -50x+625) -800+1250 = -2(x-25) 2 +450. ∵ -2<0,x≥10, ∴ 当 x= 25 时,w 最大,最大为 450. 答:糖果销售单价定为 25 元时,所获日销售利润最大,最 大利润是 450 元. 16.解:(1) 由题意,得 w = ( x- 40) ( - 10x+ 700) = - 10x2 + 1 100x-28000, ∵ 40≤x≤40×(1+50%), ∴ 40≤x≤60, ∴ w= -10x2 +1 100x-28000(40≤x≤60); (2)w= -10x2 +1 100x-28000 = -10(x-55) 2 +2250, ∵ -10<0,40≤x≤60, ∴ 当 40≤x< 55 时,w 随 x 的增大而增大;当 x = 55 时, w 最大;当 55<x≤60 时,w 随 x 的增大而减小, ∴ 当 40≤x<55 时,该文具店每月获得利润逐渐增多;当 55<x≤60 时,该文具店每月获得利润逐渐减少. 专题三　 综合与实践 类型 1　 线段问题 夯基础技能必备 略 全角度突破设问 突破设问 1　 计算线段长度 例 1　 5　 【解析】∵ AC = 9,EF =CE = AC-AE,∴ 设 AE = x,则 EF=CE= 9-x,在 Rt△AEF 中,由勾股定理得 AF2 +EF2 =AE2 ,即 32 +(9-x) 2 = x2 ,解得 x= 5. 例 2 　 C 　 【解析】 ∵ AD ⊥ BC 于点 D, ∴ ∠ADC = 90°, ∵ tan∠DAC = CD AD = 2, AD = 3, ∴ CD = 6, ∴ AC = AD2 +CD2 = 3 5 ,∵ E 是 AC 的中点,∴ DE = 1 2 AC = 3 5 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45