专题一 圆的综合题 全角度突破设问-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 全角度突破设问 突破设问 1　 证明两角相等 例 1　 证明:∵ AD 与☉O 相切于点 A,AB 是☉O 的直径, ∴ AB⊥AD, ∴ ∠BAD= 90°, ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠AFB= 90°, ∴ ∠BAF+∠ABD= 90°,∠ADB+∠ABD= 90°, ∴ ∠BAF= ∠ADB. 例 2　 证明:如解图,取 BF ( 的中点 M,连接 AM, 则∠BAM= ∠FAM,∠BAF= 2∠BAM, 又∵ BF ( = 2BE ( , ∴ BM ( =MF ( =BE ( , ∴ ∠COB= 2∠BAM, ∴ ∠COB= ∠BAF. 例 2 题解图 突破设问 2　 证明两线平行或垂直 例 3　 证明:如解图,连接 OC, ∵ CE 与☉O 相切于点 C, ∴ ∠OCE= 90°, ∵ ∠ABC= 45°, ∴ ∠AOC= 90°, ∵ ∠AOC+∠OCE= 180°, ∴ AD∥EC. 例 3 题解图 【思考】解:OC⊥CE, 理由如下:∵ ∠ABC= 45°,∴ ∠AOC= 90°, ∵ CE∥CD,∴ OC⊥CE. 突破设问 3　 证明两线段相等 例 4　 证明:∵ AP 是☉O 的切线, ∴ ∠EAM= 90°, ∴ ∠BAE+∠MAB= 90°,∠AEB+∠AMB= 90°. 又∵ AB=BM, ∴ ∠MAB= ∠AMB, ∴ ∠BAE= ∠AEB, ∴ AB=BE. 例 5　 证明:解法 1:如解图,连接 DN, ∵ CD 为☉O 的直径, ∴ ∠CMD= ∠CND= 90°, 又∠MCB= 90°, ∴ 四边形 CMDN 为矩形, ∴ DM=CN, ∵ CD 为斜边 AB 上的中线, ∴ CD=AD=DB, ∵ DN⊥BC, ∴ CN=BN, ∴ MD=NB. 例 5 题解图 解法 2:提示:连接 DN,证明四边形 CMDN 为矩形后, 证明△AMD≌△DNB 即可得 MD=NB. 突破设问 4　 证明几条线段乘积关系 例 6　 证明: 如解图所示,连接 AC, ∵ AB⊥BG, ∴ AC 是☉O 的直径, ∵ FD 是☉O 的切线,切点为 C, ∴ ∠DCB+∠ACB= 90°,∠CAB+∠ACB= 90°, ∴ ∠DCB= ∠CAB, ∵ FC=FG,∴ ∠G= ∠GCF= ∠DCB, ∴ ∠CAB= ∠G, ∵ ∠CBA= ∠GBA= 90°, ∴ △ABC∽△GBA, ∴ AB GB =BC AB , ∴ AB2 =BC·BG. 例 6 题解图 突破设问 5　 求一条线段长 例 7　 解:如解图,连接 OA, ∵ PA 是☉O 的切线, ∴ ∠PAO= 90°, ∵ ∠P= 30°, ∴ ∠AOD= 60°, ∵ AC⊥PB,PB 过圆心 O, ∴ AD=DC= 1 2 AC, 在 Rt△ODA 中,AD=OA·sin60° = 5 3 2 , ∴ AC= 2AD= 5 3 . 例 7 题解图 例 8　 解:如解图,连接 CO 并延长交☉O 于点 D,连接 AD, 过点 A 作 AF⊥EC 于点 F, ∵ CE 是☉O 的切线,∴ ∠ECD= 90°, 又∵ ∠ABC= 45°,∴ ∠ADC= 45°, ∵ CD 是☉O 的直径,∴ ∠DAC= 90°, ∴ ∠ACD= 45°,∠ACE= 90°-∠ACD= 45°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ △ACF 是等腰直角三角形, ∵ AC= 4 6 ,∴ AF=CF= 4 3 , 又∵ ∠BAC= 75°,∴ ∠EAC= 180°-∠BAC= 105°, ∴ ∠EAF= 105°-45° = 60°, ∴ 在 Rt△AEF 中,EF=AF·tan60° = 4 3 × 3 = 12, ∴ CE=EF+CF= 12+4 3 . 例 8 题解图 分类型综合训练 类型 1　 非切线圆的证明与计算 1. (1)证明:如解图,连接 DC,则∠BDC= ∠BAC= 45°, ∵ BD⊥BC,∴ ∠DBC= 90°, ∴ ∠BCD= 90°-∠BDC= 45°, ∴ ∠BCD= ∠BDC,∴ BD=BC; (2)解:∵ BC⊥BD,∴ ∠DBC= 90°, ∴ CD 为☉O 的直径,∴ CD= 2r= 6, 由(1)知∠BDC= 45°, ∴ BC=CD·sin∠BDC= 6× 2 2 = 3 2 , ∵ BE= 6,∴ 在 Rt△EBC 中, EC= BE2 +BC2 = 62 +(3 2 ) 2 = 3 6 , ∵ BF⊥AC,∴ ∠BMC= ∠EBC= ∠FMC= 90°, 又∵ ∠BCM= ∠ECB, ∴ △BCM∽△ECB,∴ BC EC =BM EB =CM CB , ∴ BM= BC·EB EC = 3 2 ×6 3 6 = 2 3 ,CM= BC2 EC = (3 2 ) 2 3 6 = 6 , 如解图,连接 CF,则∠F= ∠BDC= 45°,∴ ∠MCF= 45°, ∴ MF=MC= 6 ,∴ BF=BM+MF= 2 3 + 6 . 第 1 题解图 2. (1)证明:由题意可得,∠DEB= 90°,∠EBC+∠CEB= 90°, ∴ ∠AED+∠CEB= 90°,∴ ∠AED= ∠EBC, ∵ ∠EBC= ∠A,∴ ∠A= ∠AED,∴ AD=DE; (2)解:∵ ∠C= 90°,tan∠BEC= 5 , ∴ BC= 5CE, ∵ ∠A= ∠CBE, ∴ 90°-∠A= 90°-∠CBE,即∠ABC= ∠BEC, ∴ tan∠ABC= tan∠BEC= 5 , ∴ AC BC = 5 , ∴ AC= 5BC= 5 ×( 5CE)= 5CE, ∵ AC-CE=AE= 4 5 , ∴ 5CE-CE= 4 5 , ∴ CE= 5 , ∴ BC= 5CE= 5,AC= 5CE= 5 5 , ∴ AB= BC2 +AC2 = 52 +(5 5 ) 2 = 5 6 , ∴ BE= BC2 +EC2 = 30 . 设 AD=DE= x,则 BD= 5 6 -x, 在 Rt△BDE 中,DE2 +BE2 = BD2 ,即 x2 +( 30 ) 2 = ( 5 6 - x) 2 ,解得 x= 2 6 , 则 BD=AB-AD= 3 6 ,即☉O 的直径为 3 6 . 3. (1)证明:∵ ∠CDE= 90°,∴ ∠BDE= 90°, 如解图,延长 BO 交☉O 于点 E, ∵ OA⊥OB,∠EOA= 90°,且 OE=OA, ∴ △AOE 是等腰直角三角形,则∠OEA= 45°; 即∠C+∠CBO= 45°; (2)解:如解图,连接 AB,则∠CAB= 90°, ∴ ∠CDE= ∠CAB, 又∵ ∠C= ∠C,∴ △CDE∽△CAB, ∴ DE CE = AB BC , ∵ CD = 2DE, 则 在 Rt △CDE 中, CE = CD2 +DE2 = (2DE) 2 +DE2 = 5DE, ∵ OA= 6,∴ AB= 6 2 , ∴ DE CE = 1 5 = 6 2 BC ,∴ BC= 6 10 . 第 3 题解图 4. (1)证明:∵ AB ( =BCD ( , ∴ ∠BCA= ∠BAD, 又∵ ∠BCA= ∠CAD+∠E,∠BAD= ∠CAD+∠BAC, ∴ ∠BAC= ∠E; (2)解:如解图,连接 CO 并延长交☉O 于点 F,连接 BF, 第 4 题解图 ∴ ∠BAC= ∠F, ∵ CF 为☉O 的直径, ∴ ∠CBF= 90°, ∴ sin∠BFC= BC CF =BC 10 = 3 5 , ∴ BC= 6, ∵ ∠BAC= ∠E,∠ABC= ∠EBA, ∴ △BAC∽△BEA, ∴ BC AB = AB BE , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 全角度突破设问 突破设问 1 　 证明两角相等(2024、2022、2021. 24(1);2015. 23(1)) 例 1　 (2024 陕西 24 题改编)如图,AB 是☉O 的直径,AD 与☉O 相切于点 A,连接 BD 交☉O 于 点 F,连接 AF. 求证:∠BAF= ∠ADB. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 　 例 1 题图 证明:∵AD 与☉O 相切于点 A,AB 是☉O 的直径, ∴AB⊥AD,∴∠BAD=90°, ∵AB 是☉O 的直径,∴∠AFB=90°, ∴∠BAF+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°, ∴∠BAF=∠ADB. 例 2　 (2021 陕西 24(1)题)如图,AB 是☉O 的直径,点 E、F 在☉O 上,且 BF ( = 2BE ( ,连接 OE、 AF,过点 B 作☉O 的切线,分别与 OE、AF 的延长线交于点 C、D. 求证:∠COB= ∠A. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 　 　 例 2 题图 　 　 　 例 2 题解图 证明:如解图,取 BF ( 的中点 M,连接 AM, 则∠BAM=∠FAM,∠BAF=2∠BAM, 又∵BF ( =2BE ( , ∴BM ( =MF ( =BE ( , ∴∠COB=2∠BAM, ∴∠COB=∠BAF. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【方法总结】证明“两角相等”的基本思路: ①有直角(平角)→找同角的余角(补角)相等; ②有平行线→找同位角相等、内错角相等; ③有等腰三角形→找两底角相等; ④有全等(相似)三角形→找对应角相等; ⑤有特殊平行四边形→找对角相等; ⑥有圆周角→找同弧,等弧所对圆周角相等. 03 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 突破设问 2 　 证明两线平行或垂直(2020、2018. 23(1);2017. 23(2)) 例 3　 (2020 陕西 24 题改编)如图,点 A,B,C 是☉O 上三点,∠ABC = 45°. 过点 C 作☉O 的切 线,与 BA 的延长线交于点 E,AD 是☉O 的直径. 求证:AD∥EC. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 3 题图 　 例 3 题解图 【思维拓展】证明两直线平行的基本思路: 应用平行线判定定理 应用平行线分线段成比例 (含中位线) 应用平行四边形对边 性质 图示 依据 同位角:证∠1 = ∠2 内错角:证∠1 = ∠3 同 旁 内 角: 证 ∠1 + ∠4 = 180° 由 PA ∶AB =PC ∶CD 及∠P 共用得 △PAC ∽ △PBD, 得∠PAC = ∠PBD,得 AC ∥BD 平行 四 边 形 的 对 边 平行 证明:如解图,连接 OC,∵CE 与☉O 相切于点 C,∴∠OCE = 90°,∵∠ABC = 45°,∴∠AOC = 90°,∵ ∠AOC+∠OCE=180°,∴AD∥EC. 【思考】若将题中“CE 是☉O 的切线”改为“连接 OC,作 CE∥AD”,猜想此时 OC 和 CE 的 位置关系,并说明理由. 解:OC⊥CE,理由如下:∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°,∵CE∥AD,∴OC⊥CE. 突破设问 3 　 证明两线段相等(2023. 24(1);2019. 23(1);2018. 23(2);2016. 23(1)) 例 4　 (2019 陕西 23(1)题)如图,AC 是☉O 的直径,AB 是☉O 的一条弦,AP 是☉O 的切线. 作 BM=AB 并与 AP 交于点 M,延长 MB 交 AC 于点 E,交☉O 于点 D,连接 AD. 求证:AB=BE. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 4 题图 【思维模型】 ①要证:AB = BE,发现:AB 和 BE 都在△ABE 中,转化为证:∠BAE = ∠BEA; ②已知:AB=BM→可证∠BAM= ∠BMA; ③ 已 知: AP 是 ☉O 的 切 线 → 可 证 ∠EAM = 90° → 可 证: ∠AEM+∠AME= 90° ∠EAB+∠MAB= 90°{ 证明:∵AP 是☉O 的切线,∴∠EAM=90°,∴∠BAE+∠MAB= 90°,∠AEB+∠AMB= 90°. 又∵AB = BM,∴∠MAB=∠AMB,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE. 13 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 例 5　 多解法 ∙∙∙ 　 (2018 陕西 23(2)题)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作☉O,分别与 AC、BC 交于点 M、N. 连接 MD,求证:MD=NB. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】①看到直径 CD 想直角→∠CMD= 90°,连接 DN 得∠CND= 90°; ②∠ACB= 90°+①→证四边形 MCND 是矩形; ③Rt△ACB,D 是斜边 AB 中点→CD=BD,结合∠DNC= 90°→CN=BN 例 5 题图 证明:解法 1:如解图,连接 DN,∵CD 为☉O 的直径,∴ ∠CMD =∠CND = 90°,又∠MCB = 90°,∴四 边形 CMDN 为矩形,∴DM=CN,∵ CD 为斜边 AB 上的中线,∴ CD =AD =DB,∵DN⊥BC,∴ CN = BN,∴MD=NB. 解法 2:提示:连接 DN,证明四边形 CMDN 为矩形后, 证明△AMD≌△DNB 即可得 MD=NB. 【方法总结】证明“两线段相等”的基本思路 类型 共线共端点 同一三角形中 两个三角形中 四边形两对边 图示 基本思路 证 M 是中点 证∠A= ∠B 证△ACM≌△BDM 证四边形 ABNM 是特殊的四边形 突破设问 4 　 证明几条线段乘积关系(2016. 23(2)) 例 6　 (2016 陕西 23(2)题)如图, 已知:AB 是☉O 的弦, 过点 B 作 BC⊥AB 交☉O 于点 C,过 点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 D,取 AD 的中点 E,过点 E 作 EF∥BC 交 DC 的延 长线于点 F,连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G. 若 FC=FG,求证 AB2 =BC·BG. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【思维模型】观察 AB2 = BC·BG,可转化为AB GB = BC AB ,连接 AC,可转化为求证△ABC∽ △GBA,即可得证 例 6 题图 证明: 如解图所示,连接 AC,∵ AB⊥BG,∴ AC 是☉O 的直径,∵ FD 是☉O 的切线,切点为 C,∴ ∠DCB+∠ACB=90°,∠CAB+∠ACB= 90°∴ ∠DCB =∠CAB,∵FC =FG,∴ ∠G =∠GCF =∠DCB, ∴∠CAB=∠G,∵∠CBA=∠GBA=90°,∴△ABC∽△GBA,∴AB GB =BC AB ,∴AB2 =BC·BG. 23 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 突破设问 5 　 求一条线段长 (1)直接求一条线段长(2024. 24(2);2021. 24(2);2019. 24(2);2015. 23) (2)分成几段求和差(2023. 24(2);2022. 24(2);2020. 24(2);2017. 23(1)) 例 7　 (2017 陕西 23(1)题)如图,已知☉O 的半径为 5,PA 是☉O 的一条切线,切点为 A,连接 PO 并延长,交☉O 于点 B,过点 A 作 AC⊥PB 交☉O 于点 C、交 PB 于点 D,连接 BC,当 ∠P= 30°时,求弦 AC 的长. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】①已知 AC⊥PB(PB 过圆心 O)于点 D→AC= 2AD(垂径定理); ②PA 是☉O 的切线→连接 OA 得∠PAO= 90°; ③∠P= 30°+②→∠AOD= 60°→在 Rt△AOD 中求 AD 例 7 题图 解:如解图,连接 OA,∵PA 是☉O 的切线,∴∠PAO = 90°,∵ ∠P = 30°,∴ ∠AOD = 60°,∵AC⊥PB, PB 过圆心 O,∴AD=DC= 1 2 AC,在 Rt△ODA 中,AD=OA·sin60° =5 3 2 ,∴AC=2AD=5 3 . 例 8　 (2020 陕西 23 题改编)如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,∠BAC = 75°,∠ABC = 45°,过 点 C 作☉O 的切线交 BA 的延长线于点 E. 若 AC= 4 6 ,求 CE 的长. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 8 题图 　 　 例 8 题解图 【模型总结】 看到 45°、30°→作垂直构造特殊三角形→应用三角函数求线段长(整段难求巧分割) 解:如解图,连接 CO 并延长交☉O 于点 D,连接 AD,过点 A 作 AF⊥EC 于点 F, ∵CE 是☉O 的切线,∴∠ECD=90°, 又∵∠ABC=45°,∴∠ADC=45°,∵CD 是☉O 的直径, ∴∠DAC=90°,∴∠ACD=45°,∠ACE=90°-∠ACD=45°, ∴△ACF 是等腰直角三角形,∵AC=4 6 , ∴AF=CF=4 3 ,又∵∠BAC=75°, ∴∠EAC=180°-∠BAC=105°,∴∠EAF=105°-45° =60°, ∴在 Rt△AEF 中,EF=AF·tan60° =4 3 × 3 =12, ∴CE=EF+CF=12+4 3 . 33