专题一 圆的综合题 夯基础技能必备-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 三、陕西中考培优———重难专题篇 重 难 专 题 篇 专题一　 圆的综合题(突破第 24 题) 夯基础技能必备 技能 1 　 辅助线是基本功 ①看到切点连半径(2020. 23;2018. 23;2017. 23;2014. 23;2013. 23) ②遇到直径想直角(2022. 24;2021. 24;2019. 23; 2015. 23) ③遇到直角连直径(2023. 24;2016. 23) ④延长半径构直角(2024. 11;2022. 7) 技能 2 　 勾股定理是必杀技 例 1　 (2023 陕西 24 题改编)如图,△ABC 内接于☉O,∠BAC= 45°,过点 B 作 BC 的垂线交☉O 于 D,交 CA 的延长线于 E. 若☉O 的半径为 3,BE= 6,求 CE 的长. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 1 题图 　 例 1 题解图 解:如解图,连接 CD,由题意可得 CD 是直径,CD=6,∠DBC=90°, 又∵∠BAC=45°,∴∠BDC=45°,BC=BD=3 2 , ∴CE= BE2+BC2 = 62+(3 2 ) 2 =3 6 . 72 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 例 2　 (2024 西安名校模拟改编)如图,AE 是☉O 的直径,半径 OD 与弦 AB 垂直,交于点 C,连接 EC. 若 AB= 8,CD= 2,求 CE 的长. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 2 题图 　 例 2 题解图 解:∵OD⊥AB,AB= 8,∴ AC =BC = 1 2 AB = 1 2 ×8 = 4,设☉O 的半径为 r,∴ OC =OD-CD = r-2,在 Rt△OAC 中,由勾股定理得 OA2 =OC2+AC2,∴ r2 =( r-2) 2+42,解得 r= 5,如解图,连接 BE,∵OD = 5,CD=2,∴OC=3,∵AE 是☉O 的直径,∴∠ABE = 90°,∴OC∥BE,又∵O 为 AE 的中点,∴OC 是 △ABE 的中位线,∴BE=2OC=6,在 Rt△CBE 中,CE= CB2+BE2 = 42+62 =2 13 . 技能 3 　 慧眼识相似 例 3　 (2022 陕西 24(2)题)如图,AB 是☉O 的直径,AM 是☉O 的切线,AC、CD 是☉O 的弦,且 CD⊥AB,垂足为 E,连接 BD 并延长,交 AM 于点 P. 若☉O 的半径 r= 5,AC= 8,求线段 PD 的长. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 3 题图 　 例 3 题解图 【对应结论】 在 Rt△ABP 中,∠BAP = 90°,AD⊥BP 于点 D,则△ABD∽△PAD∽△PBA(即射影定 理),由相似还可以得到以下结论:BA2 =BD·BP;AD2 =BD·PD;AP2 =PD·PB. 解:如解图,连接 AD,∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB = 90°,∴ ∠CDB+∠ADC = 90°,∵ CD⊥AB,∴ ∠AEC=90°,∴∠CAB+∠C= 90°,又∵ ∠CDB =∠CAB,∴ ∠ADC =∠C,∴ AD =AC = 8,∵ AB = 10, ∴在 Rt△ADB 中,由勾股定理得 BD = 6,∵AM 是☉O 的切线,∠ADB = 90°,∴ ∠BAP = 90°,∠ADP =90°,∴ ∠BAD +∠DAP = 90°,∠PAD +∠APD = 90°,∴ ∠APB = ∠DAB,∵ ∠BDA = ∠BAP,∴ △ADB∽△PAB,∴AB PB =BD AB ,∴PB=AB 2 BD =100 6 = 50 3 ,∴DP=PB-BD=50 3 -6= 32 3 . 82 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 例 4　 (2020 陕西 23 题改编)如图,点 A,C 在☉O 上,过点 C 作☉O 的切线 CE,连接 EA 并延长 交☉O 于点 B,连接 AC,BC. 求证:△EAC∽△ECB. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 例 4 题图 　 例 4 题解图 【对应结论】 在△AEC 与△CEB 中,∠AEC= ∠CEB,∠1 = ∠2,则△EAC∽△ECB→ CE BE = AE CE = AC CB 解:如解图,连接 CO 并延长交☉O 于点 D,连接 AD,∵CE 是☉O 的切线,∴∠ECO= 90°,易得∠2 = ∠3,又∵∠1+∠ACD=90°,∠3+∠ACD=90°,∴∠1=∠3=∠2,又∵∠E=∠E,∴△EAC∽△ECB. 例 5　 多解法 ∙∙∙ 　 (2024 陕西 24(2)题)如图,直线 l 与☉O 相切于点 A,AB 是☉O 的直径,点 C,D 在 l 上,且位于点 A 两侧,连接 BC,BD,分别与☉O 交于点 E,F,连接 EF,AF,若☉O 的半 径 r= 6,AD= 9,AC= 12,求 EF 的长. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 　 　 例 5 题图 　 　 　 例 5 题解图 【对应结论】 在△BEF 与△BDC 中,∠EBF= ∠DBC,∠1 = ∠3,则△BEF∽△BDC→ EF CD =BE BD =BF BC 解:如解图,由题意可得,BA⊥CA,AB=6×2 = 12,∴AC =AB = 12,∴∠2 =∠3 = 45°,在等腰 Rt△ABC 中,BC= 122+122 =12 2 ,∵AE⊥BC,∴点 E 是 BC 的中点,∴BE= 1 2 BC=6 2 ,∵∠BEF=∠BAF, 易得∠BAF = ∠CDB,∴ ∠BEF = ∠CDB,∵ ∠EBF = ∠DBC,∴ △BEF∽△BDC,∴ BE ∶BD = EF ∶ CD,即 6 2 ∶15=EF ∶21,解得 EF=42 2 5 ,即 EF 的长为42 2 5 . 92 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 陕西中考培优———重难专题篇 专题一　 圆的综合题 夯基础技能必备 例 1　 解:如解图,连接 CD,由题意可得 CD 是直径,CD = 6, ∠DBC= 90°, 又∵ ∠BAC= 45°,∴ ∠BDC= 45°,BC=BD= 3 2 , ∴ CE= BE2 +BC2 = 62 +(3 2 ) 2 = 3 6 . 例 1 题解图 例 2　 解:∵ OD⊥AB,AB= 8, ∴ AC=BC= 1 2 AB= 1 2 ×8 = 4, 设☉O 的半径为 r, ∴ OC=OD-CD= r-2, 在 Rt△OAC 中,由勾股定理,得 OA2 =OC2 +AC2 , ∴ r2 = ( r-2) 2 +42 , 解得 r= 5, 如解图,连接 BE, ∵ OD= 5,CD= 2, ∴ OC= 3, ∵ AE 是☉O 的直径, ∴ ∠ABE= 90°, ∴ OC∥BE,又∵ O 为 AE 的中点, ∴ OC 是△ABE 的中位线, ∴ BE= 2OC= 6, 在 Rt△CBE 中,CE= CB2 +BE2 = 42 +62 = 2 13 . 例 2 题解图 例 3　 解:如解图,连接 AD,∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°, ∴ ∠CDB+∠ADC= 90°, ∵ CD⊥AB,∴ ∠AEC= 90°,∴ ∠CAB+∠C= 90°, 又∵ ∠CDB= ∠CAB,∴ ∠ADC= ∠C, ∴ AD=AC= 8, ∵ AB= 10,∴ 在 Rt△ADB 中,由勾股定理,得 BD= 6, ∵ AM 是☉O 的切线,∠ADB= 90°, ∴ ∠BAP= 90°,∠ADP= 90°, ∴ ∠BAD+∠DAP= 90°,∠PAD+∠APD= 90°, ∴ ∠APB= ∠DAB, ∵ ∠BDA= ∠BAP,∴ △ADB∽△PAB,∴ AB PB =BD AB , ∴ PB= AB2 BD = 100 6 = 50 3 ,∴ DP=PB-BD= 50 3 -6 = 32 3 . 例 3 题解图 例 4　 解:如解图,连接 CO 并延长交☉O 于点 D,连接 AD, ∵ CE 是☉O 的切线,∴ OC⊥CE,∠OCE= 90°, 易得∠2 = ∠3,又∵ ∠1+∠ACD= 90°,∠3+∠ACD= 90°, ∴ ∠1 = ∠3 = ∠2, 又∵ ∠E= ∠E,∴ △EAC∽△ECB. 例 4 题解图 例 5　 解:解法 1:如解图①,由题意可得,BA⊥CA,AB = 6×2 = 12,∴ AC=AB= 12, ∴ ∠2 = ∠3 = 45°, 又∵ ∠AEB= 90°, ∴ ∠3+∠EAC= 90°,∠EAC+∠EAB= 90°, ∴ ∠3 = ∠EAB,∠EAB= ∠1,∴ ∠1 = ∠2 = ∠3. 在 Rt△ABD 中,AD= 9,AB= 12, ∴ BD= 92 +122 = 15, 由题知,CD=AC+AD= 21, 在等腰 Rt△ABC 中,BC= 122 +122 = 12 2 , ∵ AE⊥BC,∴ 点 E 是 BC 的中点,∴ BE= 1 2 BC= 6 2 , ∵ ∠BEF= ∠BAF,易得∠BAF= ∠CDB, ∴ ∠BEF= ∠CDB, ∵ ∠EBF= ∠DBC, ∴ △BEF∽△BDC, ∴ BE ∶BD=EF ∶CD,即 6 2 ∶15 =EF ∶21, 解得 EF= 42 2 5 , 即 EF 的长为 42 2 5 . 解法 2:由题意可得:AB= 2r= 12,∠BAC= 90°,∴ AB=AC, ∴ ∠CBA= 45°,BC= 12 2 , 由 AB 是☉O 的直径可得,∠BEA= 90°, ∴ 在等腰 Rt△ABC 中,AE 为 BC 边上的中线, ∴ BE= 1 2 BC= 6 2 , 如解图②,过点 B 作 BH⊥EF 于点 H, 易得∠BAF= ∠CDB, ∴ ∠BEH= ∠BAF= ∠CDB, 在 Rt△ABD 中,tan∠CDB= AB AD = 12 9 = 4 3 , ∴ 在 Rt△BEH 中,tan∠BEH= BH EH = 4 3 , EH= 3 5 BE= 18 5 2 ,HF=BH= 4 5 BE= 24 5 2 , ∴ EF=EH+HF= 18 5 2 + 24 5 2 = 42 5 2 . 图① 　 　 图② 例 5 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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