专题一 圆的综合题 分类型综合训练-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 分类型综合训练 类型 1 　 非切线圆的证明与计算(2023. 24) 1. (2023 陕西 24 题 8 分)如图,△ABC 内接于 ☉O,∠BAC= 45°,过点 B 作 BC 的垂线,交 ☉O 于点 D,并与 CA 的延长线交于点 E, 作 BF⊥AC,垂足为 M,交☉O 于点 F. (1)求证:BD=BC; (2)若☉O 的半径 r = 3,BE = 6,求线段 BF 的长. 第 1 题图 (1)证明:如解图,连接 DC,则∠BDC = ∠BAC =45°, ∵BD⊥BC,∴∠DBC=90°, ∴∠BCD=90°-∠BDC=45°, ∴∠BCD=∠BDC,∴BD=BC; (2)解:∵BC⊥BD,∴∠DBC=90°, ∴CD 为☉O 的直径,∴CD=2r=6, 由(1)知∠BDC=45°, ∴BC=CD·sin∠BDC=6× 2 2 =3 2 , ∵BE=6,∴在 Rt△EBC 中, EC= BE2+BC2 = 62+(3 2 ) 2 =3 6 , ∵BF⊥AC, ∴∠BMC=∠FMC=∠EBC=90°, 又∵∠BCM=∠ECB, ∴△BCM∽△ECB, ∴BC EC =BM EB =CM CB , ∴BM=BC·EB EC =3 2 ×6 3 6 =2 3 , CM=BC 2 EC =(3 2 ) 2 3 6 = 6 , 如解图,连接 CF,则∠F=∠BAC=45°, ∴∠MCF=45°, ∴MF=MC= 6 , ∴BF=BM+MF=2 3 + 6 . 2. (2024 成都改编)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,D 为斜边 AB 上一点,以 BD 为直径作 ☉O,交 AC 于点 E,连接 BE,DE, ∠CBE = ∠A. (1)求证:AD=DE; (2)若 tan∠BEC = 5 ,AE = 4 5 ,求☉O 的 直径. 第 2 题图 (1)证明:由题意可得,∠DEB = 90°,∠EBC + ∠CEB=90°, ∴∠AED+∠CEB=90°, ∴∠AED=∠EBC, ∵∠EBC=∠A, ∴∠A=∠AED,∴AD=DE; (2)解:∵∠C=90°,tan∠BEC= 5 , ∴BC= 5CE, ∵∠A=∠CBE, ∴90°-∠A=90°-∠CBE,即∠ABC=∠BEC, ∴tan∠ABC=tan∠BEC= 5 , ∴AC BC = 5 , ∴AC= 5BC= 5 ×( 5CE)= 5CE, ∵AC-CE=AE=4 5 , ∴5CE-CE=4 5 , ∴CE= 5 , ∴BC= 5CE=5,AC=5CE=5 5 , ∴AB= BC2+AC2 = 52+(5 5 ) 2 =5 6 , ∴BE= BC2+EC2 = 30 . 设 AD=DE=x,则 BD=5 6 -x, 在 Rt△BDE 中,DE2+BE2 =BD2,即 x2+( 30 ) 2 =(5 6 -x) 2,解得 x=2 6 , 则 BD=5 6 -x=3 6 ,即☉O 的直径为 3 6 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 3. 名师原创 如图,点 A,B 在☉O 上,OA⊥OB, 点 C 是☉O 外一点,BC,AC 分别交☉O 于 点 D,E,且∠CDE= 90°. (1)求证:∠C+∠CBO= 45°; (2)若 OA= 6,CD= 2DE,求 BC 的长. 第 3 题图 (1)证明:∵∠CDE=90°,∴∠BDE=90°, 如解图,延长 BO 交☉O 于点 E, ∵OA⊥OB,∠EOA=90°,且 OE=OA, ∴△AOE 是等腰直角三角形,则∠OEA=45°, 即∠C+∠CBO=45°; (2)解:如解图,连接 AB,则∠CAB=90°, ∴∠CDE=∠CAB, 又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB, ∴DE CE =AB BC , ∵CD=2DE,则在 Rt△CDE 中, CE= CD2+DE2 = (2DE) 2+DE2 = 5DE, ∵OA=6,∴AB=6 2 , ∴DE CE = 1 5 = 6 2 BC ,∴BC=6 10 . 4. (2024 西安名校模拟)如图,四边形 ABCD 为 ☉O 的内接四边形,AB ( = BCD ( ,连接 AC,延 长 AD,BC 交于点 E. (1)求证:∠BAC= ∠E; (2)若☉O 的半径为 5,AB= 4 5,sin∠BAC = 3 5 ,求 CE 的长. 第 4 题图 (1)证明:∵AB ( =BCD ( , ∴∠BCA=∠BAD, 又∵ ∠BCA = ∠CAD + ∠E, ∠BAD = ∠CAD +∠BAC, ∴∠BAC=∠E; (2)解:如解图,连接 CO 并延长交☉O 于点 F, 连接 BF, ∴∠BAC=∠F, ∵CF 为☉O 的直径, ∴∠CBF=90°, ∴sin∠BFC=BC CF =BC 10 = 3 5 , ∴BC=6, ∵∠BAC=∠E,∠ABC=∠EBA, ∴△BAC∽△BEA, ∴BC AB =AB BE , ∴ 6 4 5 =4 5 BE , ∴BE=40 3 , ∴CE=40 3 -6= 22 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 类型 2 　 切线圆的证明与计算 ( 2024、 2022、2021. 24;2017 ~ 2020. 23) 5. (2024 西安名校模拟)如图, △ABC 内接于 ☉O,BC 为☉O 的直径,D 为☉O 上一点, 过点 D 作☉O 的切线分别交 AB,AC 的延 长线于点 E,F,且 BC∥EF,连接 AD. (1)求证:∠BAD= ∠CAD; (2)多解法 ∙∙∙ 若 AB= 3,AC= 3 3 ,求 CF 的长. 第 5 题图 (1)证明:如解图,连接 OD, ∵EF 是☉O 的切线, ∴∠EDO=90°, ∵BC∥EF, ∴∠BOD=∠COD=90°, ∴BD ( =CD ( , ∴∠BAD=∠CAD; (2)解:如解图,延长 DO 交 AC 于点 G, ∵BC 为☉O 的直径, ∴∠BAC=90°, ∵AB=3,AC=3 3 , ∴BC= AB2+AC2 =6, ∴OB=OC=OD=3, ∵∠GOC=∠BAC,∠GCO=∠BCA, ∴△GCO∽△BCA, ∴GO BA =OC AC =GC BC , ∴GO 3 = 3 3 3 =GC 6 , ∴GO= 3 ,GC=2 3 , ∵BC∥EF, ∴CF GC =OD OG , ∴ CF 2 3 = 3 3 , ∴CF=6. 6. 如图,△ABC 内接于☉O,AB 为☉O 的直 径,点 D 在☉O 上,连接 CD、BD,AB 交 CD 于点 F,BD=BC,延长 DB 到点 E,使得 BE= BD,连接 CE. (1)求证:∠A+∠E= 90°; (2) 若 ☉O 的半径为 25 6 , BC = 5, 求 CE 的长. 第 6 题图 (1)证明:∵BD=BC, ∴∠BCD=∠D, ∵BE=BD,BD=BC, ∴BC=BE, ∴∠BCE=∠E, ∵∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°, ∴∠E+∠D= 1 2 ×180° =90°, ∵BC ( =BC ( , ∴∠A=∠D, ∴∠A+∠E=90°; (2)解:如解图,连接 OC, 则 OC=OB=25 6 , ∵BC=BD, ∴BC ( =BD ( , ∴OB⊥CD,CF=DF, 在 Rt△OCF 中,CF2 =OC2 -OF2 = (25 6 ) 2 -(25 6 - BF) 2, 在 Rt△BCF 中, CF2 =BC2-BF2 =52-BF2, ∴ (25 6 ) 2-(25 6 -BF) 2 =52-BF2, 解得 BF=3, ∵BD=BE,DF=CF, ∴BF 为△DCE 的中位线, ∴CE=2BF=6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 专项培优练·陕西数学 重 难 专 题 篇 7. (2023 高新一中七模)如图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB= 90°,点 D 是 AB 的中点,以 CD 为 直径作☉O,与 BC 交于点 E,过点 E 作☉O 的切线 EF,交 AB 于点 F. (1)求证:EF⊥AB; (2)若☉O 的半径是 5 4 ,tan∠ACD = 4 3 ,求 DF 的长. 第 7 题图 (1)证明:如解图,连接 OE, ∵∠ACB=90°,点 D 是 AB 的中点, ∴DC=DB=DA, ∵CD 是☉O 的直径, ∴∠CED=90°,即 DE⊥BC, ∴CE=EB, ∵OC=OD,CE=BE, ∴OE 是△CDB 的中位线, ∴OE∥BD, ∵EF 是☉O 的切线, ∴∠OEF=90°, ∴∠EFB=∠OEF=90°, ∴EF⊥AB; (2)解:如解图,连接 DE, 在 Rt△ABC 中, ∵点 D 是 AB 的中点,CD=2× 5 4 = 5 2 , ∴CD=AD=BD= 5 2 ,∴AB=5, ∵tan∠ACD=tanA=BC AC = 4 3 , 设 BC=4x,AC=3x, 则 AC2+BC2 =AB2, 即(3x) 2+(4x) 2 =52,解得 x=1, ∴AC=3,BC=4, ∵CD 是☉O 的直径, ∴∠CED=90°,∴BE=CE= 1 2 BC=2, ∴DE= CD2-CE2 = ( 5 2 ) 2-22 = 3 2 , ∵S△BDE = 1 2 DE·BE= 1 2 BD·EF, ∴EF=DE·BE BD = 6 5 , ∴DF= DE2-EF2 = 9 10 . 8. (2024 咸阳名校模拟)如图,☉O 是△ABC 的 外接圆,AB 为直径,∠CAB 的平分线交☉O 于点 D,过点 D 作☉O 的切线,分别交 AC, AB 的延长线于点 E,F. (1)求证:BC∥EF; (2)若 BF= 2,sinF= 3 5 ,求 DE 的长. 第 8 题图 (1)证明:如解图,连接 OD, ∵AD 平分∠CAB, ∴∠CAD=∠DAB, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ADO, ∴AE∥OD, ∵AB 是☉O 直径, ∴∠ACB=90°, ∵EF 是☉O 的切线,D 为切点, ∴OD⊥EF,又∵AE∥OD, ∴AE⊥EF, ∴∠E=∠ACB=90°, ∴BC∥EF; (2)解:∵sinF= 3 5 =OD OF ,且 BF=2, ∴ OD OB+BF = OD OD+2 = 3 5 , 解得 OD=OB=3, 又 OF=OB+BF=5, ∴DF= OF2-OD2 =4, ∵OD∥AE, ∴DF DE =OF AO , ∴ 4 DE = 5 3 , 解得 DE=12 5 , ∴DE 的长为12 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ △ACF 是等腰直角三角形, ∵ AC= 4 6 ,∴ AF=CF= 4 3 , 又∵ ∠BAC= 75°,∴ ∠EAC= 180°-∠BAC= 105°, ∴ ∠EAF= 105°-45° = 60°, ∴ 在 Rt△AEF 中,EF=AF·tan60° = 4 3 × 3 = 12, ∴ CE=EF+CF= 12+4 3 . 例 8 题解图 分类型综合训练 类型 1　 非切线圆的证明与计算 1. (1)证明:如解图,连接 DC,则∠BDC= ∠BAC= 45°, ∵ BD⊥BC,∴ ∠DBC= 90°, ∴ ∠BCD= 90°-∠BDC= 45°, ∴ ∠BCD= ∠BDC,∴ BD=BC; (2)解:∵ BC⊥BD,∴ ∠DBC= 90°, ∴ CD 为☉O 的直径,∴ CD= 2r= 6, 由(1)知∠BDC= 45°, ∴ BC=CD·sin∠BDC= 6× 2 2 = 3 2 , ∵ BE= 6,∴ 在 Rt△EBC 中, EC= BE2 +BC2 = 62 +(3 2 ) 2 = 3 6 , ∵ BF⊥AC,∴ ∠BMC= ∠EBC= ∠FMC= 90°, 又∵ ∠BCM= ∠ECB, ∴ △BCM∽△ECB,∴ BC EC =BM EB =CM CB , ∴ BM= BC·EB EC = 3 2 ×6 3 6 = 2 3 ,CM= BC2 EC = (3 2 ) 2 3 6 = 6 , 如解图,连接 CF,则∠F= ∠BDC= 45°,∴ ∠MCF= 45°, ∴ MF=MC= 6 ,∴ BF=BM+MF= 2 3 + 6 . 第 1 题解图 2. (1)证明:由题意可得,∠DEB= 90°,∠EBC+∠CEB= 90°, ∴ ∠AED+∠CEB= 90°,∴ ∠AED= ∠EBC, ∵ ∠EBC= ∠A,∴ ∠A= ∠AED,∴ AD=DE; (2)解:∵ ∠C= 90°,tan∠BEC= 5 , ∴ BC= 5CE, ∵ ∠A= ∠CBE, ∴ 90°-∠A= 90°-∠CBE,即∠ABC= ∠BEC, ∴ tan∠ABC= tan∠BEC= 5 , ∴ AC BC = 5 , ∴ AC= 5BC= 5 ×( 5CE)= 5CE, ∵ AC-CE=AE= 4 5 , ∴ 5CE-CE= 4 5 , ∴ CE= 5 , ∴ BC= 5CE= 5,AC= 5CE= 5 5 , ∴ AB= BC2 +AC2 = 52 +(5 5 ) 2 = 5 6 , ∴ BE= BC2 +EC2 = 30 . 设 AD=DE= x,则 BD= 5 6 -x, 在 Rt△BDE 中,DE2 +BE2 = BD2 ,即 x2 +( 30 ) 2 = ( 5 6 - x) 2 ,解得 x= 2 6 , 则 BD=AB-AD= 3 6 ,即☉O 的直径为 3 6 . 3. (1)证明:∵ ∠CDE= 90°,∴ ∠BDE= 90°, 如解图,延长 BO 交☉O 于点 E, ∵ OA⊥OB,∠EOA= 90°,且 OE=OA, ∴ △AOE 是等腰直角三角形,则∠OEA= 45°; 即∠C+∠CBO= 45°; (2)解:如解图,连接 AB,则∠CAB= 90°, ∴ ∠CDE= ∠CAB, 又∵ ∠C= ∠C,∴ △CDE∽△CAB, ∴ DE CE = AB BC , ∵ CD = 2DE, 则 在 Rt △CDE 中, CE = CD2 +DE2 = (2DE) 2 +DE2 = 5DE, ∵ OA= 6,∴ AB= 6 2 , ∴ DE CE = 1 5 = 6 2 BC ,∴ BC= 6 10 . 第 3 题解图 4. (1)证明:∵ AB ( =BCD ( , ∴ ∠BCA= ∠BAD, 又∵ ∠BCA= ∠CAD+∠E,∠BAD= ∠CAD+∠BAC, ∴ ∠BAC= ∠E; (2)解:如解图,连接 CO 并延长交☉O 于点 F,连接 BF, 第 4 题解图 ∴ ∠BAC= ∠F, ∵ CF 为☉O 的直径, ∴ ∠CBF= 90°, ∴ sin∠BFC= BC CF =BC 10 = 3 5 , ∴ BC= 6, ∵ ∠BAC= ∠E,∠ABC= ∠EBA, ∴ △BAC∽△BEA, ∴ BC AB = AB BE , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ 6 4 5 = 4 5 BE , ∴ BE= 40 3 , ∴ CE= 40 3 -6 = 22 3 . 类型 2　 切线圆的证明与计算 5. (1)证明:如解图①,连接 OD, ∵ EF 是☉O 的切线, ∴ ∠EDO= 90°, ∵ BC∥EF, ∴ ∠BOD= ∠COD= 90°, ∴ BD ( =CD ( , ∴ ∠BAD= ∠CAD; (2)解:解法 1:如解图①,延长 DO 交 AC 于点 G, ∵ BC 为☉O 的直径, ∴ ∠BAC= 90°, ∵ AB= 3,AC= 3 3 , ∴ BC= AB2 +AC2 = 6, ∴ OB=OC=OD= 3, ∵ ∠GOC= ∠BAC,∠GCO= ∠BCA, ∴ △GCO∽△BCA, ∴ GO BA =OC AC =GC BC , ∴ GO 3 = 3 3 3 =GC 6 , ∴ GO= 3 ,GC= 2 3 , ∵ BC∥EF, ∴ CF GC =OD OG , ∴ CF 2 3 = 3 3 , ∴ CF= 6. 解法 2:提示:如解图②,连接 OD,过点 C 作 CG⊥DF 于 G, 易证四边形 DOCG 是正方形,得 CG = OD,在 Rt△ABC 中 由勾股定理求得 BC = 6, 得 OB = AB = CG, 证 △CGF ≌ △BAC 得 CF=BC= 6. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 6. (1)证明:∵ BD=BC, ∴ ∠BCD= ∠D, ∵ BE=BD,BD=BC, ∴ BC=BE, ∴ ∠BCE= ∠E, ∵ ∠BCE+∠E+∠BCD+∠D= 180°, ∴ ∠E+∠D= 1 2 ×180° = 90°, ∵ BC ( =BC ( , ∴ ∠A= ∠D, ∴ ∠A+∠E= 90°; (2)解:如解图,连接 OC, 第 6 题解图 则 OC=OB= 25 6 , ∵ BC=BD, ∴ BC ( =BD ( , ∴ OB⊥CD,CF=DF, 在 Rt△OCF 中,CF2 =OC2 -OF2 = ( 25 6 ) 2 -( 25 6 -BF) 2 , 在 Rt△BCF 中,CF2 =BC2 -BF2 = 52 -BF2 , ∴ ( 25 6 ) 2 -( 25 6 -BF) 2 = 52 -BF2 , 解得 BF= 3, ∵ BD=BE,DF=CF, ∴ BF 为△DCE 的中位线, ∴ CE= 2BF= 6. 7. (1)证明:如解图,连接 OE, ∵ ∠ACB= 90°,点 D 是 AB 的中点, ∴ DC=DB=DA, ∵ CD 是☉O 的直径, ∴ ∠CED= 90°,即 DE⊥BC, ∴ CE=EB, ∵ OC=OD,CE=BE, ∴ OE 是△CDB 的中位线, ∴ OE∥BD, ∵ EF 是☉O 的切线, ∴ ∠OEF= 90°, ∴ ∠EFB= ∠OEF= 90°, ∴ EF⊥AB; 第 7 题解图 (2)解:如解图,连接 DE, 在 Rt△ABC 中, ∵ 点 D 是 AB 的中点,CD= 2× 5 4 = 5 2 , ∴ CD=AD=BD= 5 2 , ∴ AB= 5, ∵ tan∠ACD= tanA= BC AC = 4 3 , 设 BC= 4x,AC= 3x, 则 AC2 +BC2 =AB2 , 即(3x) 2 +(4x) 2 = 52 , 解得 x= 1, ∴ AC= 3,BC= 4, ∵ CD 是☉O 的直径, ∴ ∠CED= 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 05 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ BE=CE= 1 2 BC= 2, ∴ DE= CD2 -CE2 = ( 5 2 ) 2 -22 = 3 2 , ∵ S△BDE = 1 2 DE·BE= 1 2 BD·EF, ∴ EF= DE·BE BD = 6 5 , ∴ DF= DE2 -EF2 = ( 3 2 ) 2 -( 6 5 ) 2 = 9 10 . 8. (1)证明:如解图,连接 OD, 第 8 题解图 ∵ AD 平分∠CAB, ∴ ∠CAD= ∠DAB, ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD= ∠ODA, ∴ ∠CAD= ∠ADO, ∴ AE∥OD, ∵ AB 是☉O 直径, ∴ ∠ACB= 90°, ∵ EF 是☉O 的切线,D 为切点, ∴ OD⊥EF,又∵ AE∥OD, ∴ AE⊥EF, ∴ ∠E= ∠ACB= 90°, ∴ BC∥EF; (2)解:∵ sinF= 3 5 =OD OF ,且 BF= 2, ∴ OD OB+BF = OD OD+2 = 3 5 , 解得 OD=OB= 3, 又∵ OF=OB+BF= 5, ∴ DF= OF2 -OD2 = 4, ∵ OD∥AE, ∴ DF DE =OF AO , ∴ 4 DE = 5 3 , 解得 DE= 12 5 , ∴ DE 的长为 12 5 . 专题二　 二次函数综合题 夯基础技能必备 例 1　 B　 【解析】由 y= 2x2 -2mx+m2 -2m(m 为常数)的图象 经过点(0,8),其对称轴在 y 轴右侧,得 m2 -2m= 8,得 m= 4 或-2(舍),故二次函数为 y = 2x2 - 8x+ 8 = 2( x- 2) 2 ,故二次函数有最小值为 0. 例 2　 C　 【解析】解法 1:A. 表中数据显示随着 x 的增大,y 值先减小再增大,∴ 抛物线开口向上,A 选项错误; B. x= -2 时,y= 6>0,x = 0 时,y = - 4< 0,∴ 在- 2<x< 0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点,B 选项错误;C. x = 0 和 x= 3 时,y 都是-4,∴ 对称轴是直线 x = 0+3 2 = 3 2 ,∵ 当 x= 1 时,y= -6,且 1<x< 3 2 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 最小值小于-6,C 选项正确;D. 由对称轴为直线 x= 3 2 可知,当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大先减小后增大, 故 D 选项错误. 解法 2:设二次函数的表达式为 y = ax2 +bx+c,由题知 6 =a×( -2) 2 +b×( -2) +c, -4 = c, -6 =a+b+c, { 解得 a= 1, b= -3, c= -4, { ∴ 二次函数的 表达式为 y= x2 -3x-4 = (x-4)(x+1)= ( x- 3 2 ) 2 - 25 4 . A. 函数图象开口向上,故 A 选项不符合题意;B. 与 x 轴的交点为(4,0)和( -1,0),故 B 选项不符合题意; C. 当 x= 3 2 时,函数有最小值为- 25 4 ,故 C 选项符合 题意;D. 函数对称轴为直线 x = 3 2 ,根据图象可知当 x > 3 2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,故 D 选项不符合 题意. 故选 C. 例 3　 解:将 A( -1,0),B(5,3)的坐标代入 y=ax2 +bx+3,得 a-b+3 = 0, 25a+5b+3 = 3,{ 解得 a= - 1 2 , b= 5 2 , ì î í ï ï ïï 则该抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 + 5 2 x+3. 例 4　 解:∵ OA= 20 cm,最大深度为 20 cm, ∴ 点 A 的坐标为( 20,0),顶点 P 的坐标为( 0+20 2 , -20),即(10,-20), 由图可知,抛物线经过原点, ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-10) 2 -20, 将点 A 的坐标代入可得 100a-20 = 0, 解得 a= 1 5 , ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 5 (x-10) 2 -20. 例 5　 解:由题意可知,抛物线在第一象限的顶点坐标为(1, 3), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2 +3, 将(0,2. 25)代入表达式中,得 a(0-1) 2 +3 = 2. 25, 解得 a= - 3 4 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 3 4 (x-1) 2 +3; 令 y= 0,得 0 = - 3 4 (x-1) 2 +3, 解得 x= -1(舍)或 x= 3, ∴ 点 B 的坐标为(3,0) . 全角度突破设问 例 1　 解:令 y= 6,得- 9 25 (x-5) 2 +9 = 6, 解得 x1 = 5 3 3 +5,x2 = - 5 3 3 +5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15