模型七 半角模型-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 BD=DC= 1 2 BC= 1 2 AB= 2,∠BAD= ∠DAC= 30°,AD⊥BC, ∴ AD= AB2 -BD2 = 2 3 . ∵ 将△ABD 绕点 A 旋转后得到 △ACE,∴ AD=AE,∠DAE = ∠BAC = 60°,∠CAE = ∠BAD = ∠DAC= 30°,∴ △ADE 是等边三角形,∴ DE=AD= 2 3 . 3. D 　 【解析】 ∵ BD = 2,AD = 7, ∴ AB = BD +AD = 9,在 Rt △ABC 中, sin ∠BAC = 1 3 , ∴ BC = 1 3 AB = 3, ∴ AC = AB2 -BC2 = 92 -32 = 6 2 ,在 Rt△BCA 与 Rt△DCE 中, ∵ ∠BAC= ∠DEC,∴ tan∠BAC = tan∠DEC,∴ BC ∶AC =DC ∶CE,∵ ∠BCA = ∠DCE = 90°,∴ ∠BCA-∠DCA = ∠DCE- ∠DCA,∴ ∠BCD= ∠ACE,∴ △BCD∽△ACE,∴ BC ∶AC = BD ∶AE,即 3 ∶6 2 = 2 ∶AE,∴ AE= 4 2 . 4.解:AD=DE. 证明如下:在 Rt△ABC 中,AC=BC,∠C = 90°, ∴ ∠CAB= ∠CBA= 45° = ∠EAD, ∴ ∠CAD+∠DAB= ∠BAE+∠DAB,即∠CAD= ∠BAE, ∵ ∠DCA= ∠EBA= 90°,∴ △ADC∽△AEB, ∴ AC AB =AD AE ,即 AC AD =AB AE . ∵ ∠CAB= ∠DAE= 45°,∴ △CAB∽△DAE, ∴ ∠ADE= ∠ACB= 90°,∴ ∠DEA= ∠DAE= 45°, ∴ AD=DE. 5. A　 【解析】如解图,将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 60°得到 △CBG,连接 PG,∴ BG = BP,∠PBG = 60°,△BPG 为等边 三角形, ∵ ∠BPC = 120°,∴ ∠GPC = 120° - 60° = 60°, ∵ ∠APB= 150°,∴ ∠PGC = 150° - ∠PGB = 90°,∴ ∠PCG = 30°,在 Rt △PCG 中, CG = AP = 3 BP, CP = 2BP, 又 ∵ ∠APC= 360°-∠APB-∠BPC = 90°,在 Rt△APC 中,AP2 + PC2 =AC2 ,即( 3BP) 2 +(2BP) 2 =AC2 = (2 7 ) 2 ,解得 BP = 2 或-2(舍去) . 第 5 题解图 6. 2 3 　 【解析】如解图,过点 D 作 DE⊥BD,且 DE = BD,连 接 BE,AE,则∠DEB = ∠DBE = ∠ABC = 45°, ∴ ∠DBC = ∠EBA, BD BE = BC BA = 2 2 , ∴ △BDC ∽ △BEA, ∴ ∠BEA = ∠BDC= 45°,∵ ∠DEB= 45°,∴ ∠AED= 90°,∴ AE∥BD,∴ S△ABE =S△ADE,∴ S△ABD =S△BDE = 1 2 BD2 = 6,解得 BD= 2 3 . 第 6 题解图 7.证明:如解图,延长 BA,CD 相交于点 Q, ∵ ∠CAQ= ∠BAE= ∠BDC= 90°, ∴ ∠ACQ+∠Q= 90°,∠ABE+∠Q= 90°, ∴ ∠ACQ= ∠ABE, ∵ ∠BAE= ∠CAQ,AB=AC, ∴ △ABE≌△ACQ(ASA), ∴ BE=CQ, ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠QBD= ∠CBD, ∵ ∠BDC= 90°, ∴ ∠BDQ= ∠BDC= 90°, ∴ △QDB≌△CDB(ASA), ∴ DQ=DC, ∴ BE=CQ= 2CD. 第 7 题解图 8.解:(1)AE=BE-CE,理由如下: ∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形, ∴ AB=AC,∠BAC= ∠DAE= 60°,AD=AE=DE, ∴ ∠BAD= ∠CAE, ∴ △ABD≌△ACE(SAS), ∴ BD=CE, ∴ AE=DE=BE-BD=BE-CE,即 AE=BE-CE; (2)如解图,连接 AF,过点 A 作 AG⊥DE 于点 G, ∴ ∠AGD= 90°, ∵ F 是 BC 的中点,△ABC 和△ADE 都是等边三角形 ∴ AF⊥BC,∠ABF= ∠ADG= 60°, ∴ ∠AFB= ∠AGD, ∴ △ABF∽△ADG, ∴ AB AF =AD AG ,∠BAF= ∠DAG, ∴ ∠BAF+∠DAF= ∠DAG+∠DAF, ∴ ∠BAD= ∠FAG, ∴ △ABD∽△AFG, ∴ ∠ADB= ∠AGF= 90°, 由(1)得 BD=CE, ∵ CE=DE=AD, ∴ AD=BD, ∴ ∠BAD= 45°. 第 8 题解图 模型七　 半角模型 1.证明:如解图,延长 EB 到点 G,使 BG=DF,连接 AG. 第 1 题解图 ∵ ∠ABG= ∠ABC= ∠D= 90°,AB=AD,BG=DF, ∴ △ABG≌△ADF, ∴ AG=AF,∠1 = ∠2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∴ ∠1+∠3 = ∠2+∠3 = ∠EAF= 1 2 ∠BAD, ∴ ∠GAE= ∠EAF. 在△AEG 与△AEF 中, AG=AF, ∠GAE= ∠FAE, AE=AE, { ∴ △AEG≌△AEF(SAS), ∴ EG=EF, ∵ EG=BE+BG, ∴ EF=BE+FD. 2. 3 - 3 　 【解析】如解图,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H, ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = BC = 6,∠BAC = 60°,∵ AH⊥BC,∴ ∠BAH = 1 2 ∠BAC = 30°,∴ ∠BAD+ ∠DAH = 30°,∵ ∠DAE = 30°, ∴ ∠BAD + ∠EAC = 30°, ∴ ∠DAH = ∠EAC,∴ tan∠DAH = tan∠EAC = 1 3 ,∵ BH = 1 2 AB = 3,∴ AH=AB·sin60° = 6× 3 2 = 3 3 ,∴ DH AH = DH 3 3 = 1 3 ,∴ DH = 3 ,∴ BD=BH-DH= 3- 3 . 第 2 题解图 3. B　 【解析】如解图,将△DAF 绕点 A 顺时针旋转 90°到 △BAF′位置, 则 △DAF ≌ △BAF′, ∴ DF = BF′, ∠DAF = ∠BAF′, ∴ ∠EAF′ = 45°, 在 △FAE 和 △F′ AE 中, AF=AF′, ∠FAE= ∠F′AE, AE=AE, { ∴ △FAE≌△F′AE( SAS),∴ EF = EF′, ∵ △ECF 的周长=CF+EC+EF=CF+EC+EF′=DF+CF+EB +EC= CD+CB = 4 5 ,∴ CD = CB = 2 5 ,∴ S正方形ABCD = CD2 = 20. 第 3 题解图 4. B　 【解析】如解图,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H,将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACF,连接 EF,则△ABD≌ △ACF,∴ AD=AF,∠ABD = ∠ACF = ∠ACB = 45°,∠BAD = ∠CAF,BD = CF = 3, ∵ ∠DAE = 45°, ∴ ∠BAD + ∠EAC = ∠CAF+∠EAC= 45°,即∠DAE= ∠FAE. 在△AED 和△AEF 中, AD=AF, ∠DAE= ∠FAE, AE=AE, { ∴ △AED ≌ △AEF, ∴ DE = FE. ∵ ∠FCE= ∠ACF+∠ACB = 90°,CE = 4,CF = 3,∴ EF = DE = CE2 +CF2 = 5,∵ S△ADE = 1 2 DE·AH = 15, ∴ AH = 6, ∴ S△ABD+S△AEC = 1 2 BD·AH+ 1 2 CE·AH= 21. 第 4 题解图 5. 4　 【解析】如解图,将△BDM 绕点 D 顺时针旋转 120°,得 到△CDP, ∴ △BDM ≌ △CDP, ∴ MD = PD, CP = BM, ∠MBD= ∠DCP,∠MDB = ∠PDC,∵ △BDC 是等腰三角 形,且∠BDC = 120°,∴ BD = CD,∠DBC = ∠DCB = 30°,又 ∵ △ABC 是 等 边 三 角 形, ∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°, ∴ ∠MBD= ∠ABC+ ∠DBC = 90°,同理可得∠NCD = 90°,∴ ∠PCD= ∠NCD = ∠MBD = 90°,∴ ∠DCN+∠DCP = 180°, ∴ N,C,P 三点共线,∵ ∠MDN = 60°,∴ ∠MDB+∠NDC = ∠PDC+∠NDC= ∠BDC-∠MDN = 60°,即∠MDN = ∠PDN = 60°,又∵ DN = DN,∴ △NMD≌△NPD( SAS),∴ MN = PN=NC+CP=NC+BM,∴ △AMN 的周长为 AM+AN+MN = AM+AN+NC+BM=AB+AC= 2+2 = 4. 第 5 题解图 6.解:如解图,把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADG, 由旋转的性质可知,AG = AE,DG = BE,∠DAG = ∠BAE,∵ ∠EAF= 45°, ∴ ∠DAG+∠BAF= 45°, 又∵ ∠BAD= 90°, ∴ ∠GAF= 45°,在△AEF 和△AGF 中, AE=AG, ∠EAF= ∠GAF, AF=AF, { ∴ △AEF≌△AGF(SAS), ∴ EF=GF, ∵ BE= 1,DF= 7, ∴ EF=GF=DF-DG=DF-BE= 7-1 = 6. 第 6 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 专项培优练·陕西数学 必 会 模 型 篇 模型七　 半角模型 (1)半角模型:一个角 α 内含有一个角 β = 1 2 α 的图形(如图,∠AOB = α,∠COD = α 2 ),显然 ∠AOC+∠BOD = ∠AOB - ∠COD = α 2 ,从而通过旋转 ∠BOD 到 ∠AOE,使得 ∠EOC = ∠DOC(也可以分别以 OC,OD 为折痕将∠AOC,∠BOD 折叠) . 除了半角全部在角内之 外,还有其他衍生图形,如半角只有一边在角内和半角全在角外. → 　 → (2)常见半角模型及其构造 正方形中 90°含 45° 正 方 形 ABCD 中,点 E,F 分别 在 BC, DC 上, ∠EAF= 45° 旋转构造图 辅助线:将△ADF 绕点 A 顺时针 旋转 90°得到△ABM 结论:①点 E,B,M 共线; ②△AME≌△AFE(SAS); ③BE+DF=EF 折叠构造图 辅助线:将△ABE 沿 AE 翻折得到 △ANE,连接 NF 结论:①∠NAF= ∠DAF; ②AN=AB=AD; ③△AFN≌△AFD(SAS); ④ 点 N 在 EF 上 ( 证 ∠ENF = 180°) 等腰直角 三角形中 90°含 45° AB=AC,∠BAC = 90°, 点 D, E 在 BC 上, ∠DAE = 45° 旋转构造图 辅助线:将△ABD 绕点 A 逆时针 旋转 90°得到△ACF,连接 EF 结论:① △ADE≌ △AFE ( SAS); ②∠ECF= 90°; ③BD2 +CE2 =DE2 折叠构造图 辅助线:将△ABD 沿 AD 翻折得到 △AFD,连接 EF 结论:①△AEF≌△AEC(SAS); ②∠DFE= 90°; ③BD2 +CE2 =DE2 52 专项培优练·陕西数学 必 会 模 型 篇 【模型感知】 1. 如图,在四边形 ABCD 中,AB = AD,∠B = ∠D= 90°,E、F 分别是边 BC、CD 上的点, 且∠EAF= 1 2 ∠BAD. 求证:EF=BE+FD. 第 1 题图 证明:如解图,延长 EB 到点 G,使 BG =DF,连 接 AG. ∵ ∠ABG = ∠ABC = ∠D = 90°, AB = AD, BG =DF, ∴△ABG≌△ADF, ∴AG=AF,∠1=∠2, ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= 1 2 ∠BAD, ∴∠GAE=∠EAF. 在△AEG 与△AEF 中, AG=AF, ∠GAE=∠EAF, AE=AE, ì î í ï ï ïï ∴△AEG≌△AEF(SAS), ∴EG=EF, ∵EG=BE+BG, ∴EF=BE+FD. 【综合训练】 2. (2023 济宁)如图,△ABC 是边长为 6 的等 边三角形,点 D,E 在边 BC 上,若∠DAE = 30°,tan∠EAC= 1 3 ,则 BD= 　 3- 3 　 . 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. (2024 西安名校模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 上的点,∠EAF = 45°,△ECF 的周长为 4 5 ,则正方形 ABCD 的面积为 (　 B　 ) A. 16　 　 B. 20　 　 C. 40　 　 D. 80 4. 如图, 在 Rt △ABC 中, AB = AC, ∠ABC = ∠ACB = 45°,D,E 是斜边 BC 上两点,且 ∠DAE = 45°,若 BD = 3,CE = 4,S△ADE = 15, 则△ABD 与△AEC 的面积之和为 (　 B　 ) A. 36 B. 21 C. 30 D. 22 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,等边三角形 ABC 的边长为 2,△BDC 是等腰三角形,顶角∠BDC = 120°. 以 D 为 顶点作一个 60°的角,角的两边分别交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,连接 MN,则△AMN 的周长为　 4　 . 6. 如图,在正方形 ABCD 中,∠EAF 的两边分 别交 CB、DC 的延长线于 E、F 点,且∠EAF = 45°,如果 BE= 1,DF= 7,求 EF 的长. 第 6 题图 解:如解图,把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°得 到△DAG,由旋转的性质可知,AG = AE,DG = BE,∠DAG=∠BAE,∵∠EAF=45°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62