模型二 角平分线模型&模型三 一线三等角模型-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·陕西数学 必 会 模 型 篇 模型二　 角平分线模型(2024. 13、2019. 6) (1)问题启发思维 【问题 1】什么是一个角的平分线? 请画出一个角的平分线. 【问题 2】角平分线定理是什么? 角平分线定理的逆定理是什么? (2)遇到角平分线,如何思考 把角平分线看成对称轴———巧构全等 巧作平行构等腰 作边的垂线 截取等线段 巧用“三线合一” 平行边 平行角平分线 △OBP≌△OAP; 对角互补模型常见 △OBP≌△OAP △OAP 是等腰三 角形(OA=AP) △OBA 是等腰三 角形(OB=OA) 1. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE⊥ AB 于点 E, △ABC 的面积为 10,AB = 6, DE= 2,则 AC 的长是　 4　 . 第 1 题图 　 第 2 题图 2. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD, BC=DC,CE⊥AD 于点 E,AD = 12,AB = 7, 则 DE 的长为　 　 　 　 . 3. 多解法 ∙∙∙ 　 如图,在△ABC 中,∠C = 2∠B,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 AB = 5,AC = 3,则 CD 的长为　 2　 . 第 3 题图 　 第 4 题图 4. (2024 铁一中八下期末)如图,在△ABC 中, AB= 9,AC= 5,点 E 是 BC 的中点,若 AD 平 分∠BAC,CD⊥AD,则线段 DE 的长为 (　 B　 ) A. 1　 　 　 B. 2　 　 　 C. 3　 　 　 D. 4 5. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 90°, CD 平分∠ACB,BE⊥CD,垂足 E 在 CD 的 延长线上. 求证:BE= 1 2 CD. 第 5 题图 证明:如解图,分别延长 BE,CA 交于点 F, ∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠FEC=90°. ∵CD 平分∠ACB, ∴∠FCE=∠BCE. 在△CFE 与△CBE 中, ∵∠BEC=∠FEC,∠FCE=∠BCE,CE=CE, ∴△CFE≌△CBE, ∴BE=EF= 1 2 BF. 在△CFE 与△CAD 中, ∵∠F+∠FCE=∠ADC+∠ACD= 90°, ∴∠F=∠ADC,在△BFA 与△CDA 中, ∵∠F=∠ADC,∠BAC=∠FAB,AB=AC, ∴△BFA≌△CDA, ∴BF=CD. ∴BE= 1 2 CD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 专项培优练·陕西数学 必 会 模 型 篇 模型三　 一线三等角模型(2021. 7、2017. 8) 1.模型特征与说明:一线三等角即“三个相等的角的顶点在一条线上,其中有两个角的一边 均在这条线上,另外一个角的两边在线的同侧或两侧” 2.模型图示与理解 类型 锐角型 直角型 钝角型 图 示 同侧 两侧 识图关键 利用三角形内外角 关系找等角 利用同角的余角相 等找等角 利用三角形内外角关系找等角 应 用 有等边 图 中 两 组 三 角 形 全等 图 中 两 组 三 角 形 全等 图中两组三角形全等 无等边 图 中 两 组 三 角 形 相似 图 中 两 组 三 角 形 相似 图中两组三角形相似 3.构造一线三等角 遇到一线穿直角→直角两端作线的垂线 遇到一线双等角→线上作等角 类型 1　 直接应用一线三等角(2017. 8) 1. (2024 西安名校模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC =BC,分别过点 A,B 向过点 C 的 直线 l 作垂线,垂足分别为 M,N. 求证:△AMC≌△CNB. 第 1 题图 证明:∵AM⊥l,BN⊥l, ∴∠AMC=∠BNC=90°, ∵∠ACM+∠ACB=∠CBN+∠BNC,∠ACB=∠BNC=90°, ∴∠ACM=∠CBN, 在△AMC 和△CNB 中, ∠AMC=∠BNC, ∠ACM=∠CBN, AC=BC, ì î í ïï ïï ∴△AMC≌△CNB(AAS) . 41 专项培优练·陕西数学 必 会 模 型 篇 变式 　 如图,E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点,AF⊥DE 于点 F,AB= 3,AD= 2,CE= 1. 则 DF 的长度为　 　 　 　 . 变式题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,点 B,C 在∠MAN 的边 AM,AN 上,AB = AC,点 E,F 在∠MAN 内部的射线 AD 上,且 ∠BED= ∠CFD= ∠BAC. 求证:△ABE≌△CAF. 证明:∵∠BED=∠CFD=∠BAC,∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF, ∠CFD=∠FCA+∠CAF,∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA, 在△ABE 和△CAF 中, ∠ABE=∠CAF, AB=AC, ∠BAE=∠ACF, ì î í ïï ï ∴△ABE≌△CAF(ASA) . 变式 　 已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形,点 D 在 BC 上,DE 与 AC 相交于点 F,AB = 18, BD= 6,则 CF 的长度为　 4　 . 变式题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 类型 2　 构造一线三等角(2021. 7) 3. 多解法 ∙∙∙ 　 (2021 陕西 7 题 3 分)如图,AB、BC、CD、DE 是四根长度均为 5 cm 的火柴棒,点 A,C, E 共线. 若 AC= 6 cm,CD⊥BC,则线段 CE 的长度为 (　 D　 ) A. 6 cm　 　 　 　 　 　 B. 7 cm　 　 　 　 　 　 C. 6 2 cm　 　 　 　 　 　 D. 8 cm 4. (2024 重庆)如图,在正方形 ABCD 的边 CD 上有一点 E,连接 AE,把 AE 绕点 E 逆时针旋转 90°,得到 FE,连接 CF 并延长与 AB 的延长线交于点 G. 则FG CE 的值为 (　 A　 ) A. 2 B. 3 C. 3 2 2 D. 3 3 2 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 5. 多解法 ∙∙∙ 　 如图,在矩形 ABCD 中,AD= 2AB,AE⊥BD 于点 E,连接 CE,则 tan∠DEC= 　 　 　 . 6. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 45°,点 D 是 BC 上一点,点 E 在 AD 上,∠BED = 45°. 若 AE= 2,则点 C 到 AD 的距离为　 2 　 . 7. 多解法 ∙∙∙ 　 如图,在▱ABCD 中,E 为边 BC 上的一点,F 为边 AB 上的一点. 若∠DEF = ∠B, AB= 10,BE= 4,EF= 6,则 DE 的长为　 15　 . 51 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 图① 图② 第 10 题解图 解法 2:如解图②,延长 BA 至点 F,使得 AF =AB,连接 CF, ∵ D 为 BC 中点,∴ AD 为△BCF 的中位线,∴ CF= 2AD= 12, ∵ AF= AB = 13,AC = 5,∴ 52 + 122 = 132,∴ AC2 +CF2 = AF2, ∴ △ACF为直角三角形,且∠ACF= 90°,∴ S△ACF = 1 2 AC·CF = 1 2 ×5×12=30,∵ AF=AB,∴ S△ABC =S△ACF =30. 11. 1　 【解析】如解图,过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F. ∵ PF∥BC, △ABC 是等边三角形,∴ ∠PFD=∠QCD,△APF 是等边三角 形,∴ AP =PF =AF,∵ PE⊥AC,∴ AE =EF,∵ AP =PF,AP = CQ,∴ PF = CQ. 在△PFD 和△QCD 中, ∠PFD=∠QCD, ∠PDF=∠QDC, PF=CQ, { ∴ △PFD≌△QCD(AAS),∴ FD=CD,∵ AE=EF,∴ EF+FD= AE+CD,∴ AE+CD=DE= 1 2 AC,∵ AC=2,∴ DE=1. 第 11 题解图 12. A　 【解析】∵ AC⊥BC,∴ ∠ACB= 90°,∵ BC= 3,AC= 4,∴ AB =5,∵ AD∥BC,∴ ∠ADB=∠DBC,∵ BD 为∠ABC 的平分线, ∴ ∠ABD=∠CBD,∴ ∠ABD=∠ADB,∴ AB=AD= 5,如解图, 连接 BF 并延长交 AD 于 G,∵ AD∥BC,∴ ∠GAC = ∠BCA, ∵ F 是 AC 的中点,∴ AF=CF,∵ ∠AFG= ∠CFB,∴ △AFG≌ △CFB(ASA),∴ BF=FG,AG=BC= 3,∴ DG= 5-3= 2,∵ E 是 BD 的中点,∴ EF= 1 2 DG=1.故选 A. 第 12 题解图 13. D　 【解析】如解图,延长 BF 交 CD 的延长线于点 H,∵ 四边 形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD = 5,AB∥CD,∴ ∠H = ∠ABF,∵ EF∥AB,∴ EF∥CD,∵ E 是边 BC 的中点,∴ EF 是 △BCH 的中位线,∴ BF = FH,∵ ∠BFC = 90°,∴ CF⊥BF, ∴ CF 是 BH 的中垂线,∴ BC=CH = 8,∴ DH =CH-CD = 3,在 △ABF 和 △GHF 中, ∠ABF=∠H, BF=HF, ∠AFB=∠GFH, { ∴ △ABF ≌ △GHF (ASA),∴ GH=AB=5,∴ DG=GH-DH=2. 第 13 题解图 模型二　 角平分线模型 1. 4　 【解析】如解图,过点 D 作 DF⊥AC 于 F,∵ AD 是△ABC 的 角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE=DF= 2,∴ S△ABC = 1 2 ×6×2 + 1 2 AC×2=10,解得 AC=4. 第 1 题解图 2. 5 2 　 【解析】如解图,过点 C 作 CF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F,∵ AC 平分∠BAD,CE⊥AD 于点 E,CF⊥AB 于 F,∴ CE = CF,∵ AC=AC,∴ Rt△ACF≌Rt△ACE HL( ) ,∴ AE =AF =AB+ BF,∵ CE=CF,BC=DC,∴ Rt△BCF≌Rt△DCE HL( ) ,∴ DE= BF,∴ AD= AE+DE = AB+BF+DE = AB+2DE,∴ 12 = 7+2DE, ∴ DE= 5 2 . 第 2 题解图 3. 2　 【解析】解法 1:如解图①,在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD,又∵ AD=AD,∴ △AED≌ △ACD,∴ DE = DC,∠AED = ∠C,∵ ∠C = 2∠B,∴ ∠AED = 2∠B,∵ ∠AED= ∠B+∠EDB,∴ ∠B = ∠EDB,∴ BE =DE,∴ AB=AE+BE=AC+CD,∵ AB=5,AC=3,∴ CD=2. 解法 2:如解图②,延长 AC 至点 F,使得 AF=AB,连接 DF. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠FAD,又∵ AB = AF,AD = AD,∴ △ABD≌△AFD,∴ ∠F = ∠B,∵ ∠ACB = 2∠B,∠ACB = ∠F+ ∠CDF,∴ ∠CDF = ∠F,∴ CD = CF,∴ CD = AF-AC = AB-AC =2. 图① 　 　 　 图② 第 3 题解图 4. B　 【解析】如解图,延长 CD 交 AB 于 F,由题意知,∠FAD = ∠CAD, ∠ADF = ∠ADC = 90°, 在 △ADF 和 △ADC 中, ∵ ∠FAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADF=∠ADC, { ∴ △ADF≌△ADC(ASA),∴ DF =CD,AF =AC=5,∴ D 是 CF 的中点,BF=AB-AF=4,又∵ E 是 BC 的中 点,∴ DE 是△BCF 的中位线,∴ DE = 1 2 BF = 2,∴ DE 的长 为 2. 第 4 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 5.证明:如解图,分别延长 BE、CA交于点 F, ∵ BE⊥CD,∴ ∠BEC=∠FEC=90°. ∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠FCE=∠BCE. 在△CFE 与△CBE 中, ∵ ∠BEC=∠FEC,∠FCE=∠BCE,CE=CE, ∴ △CFE≌△CBE,∴ BE=EF= 1 2 BF. 在△CFE 与△CAD 中,∵ ∠F+∠FCE=∠ADC+∠ACD= 90°, ∴ ∠F=∠ADC, 在△BFA 与△CDA 中,∵ ∠F = ∠ADC, ∠BAC = ∠FAB,AB =AC, ∴ △BFA≌△CDA,∴ BF=CD,∴ BE= 1 2 CD. 第 5 题解图 模型三　 一线三等角模型 1.证明:∵ AM⊥l,BN⊥l, ∴ ∠AMC=∠BNC=90°, ∵ ∠ACM+∠ACB=∠CBN+∠BNC,∠ACB=∠BNC=90°, ∴ ∠ACM=∠CBN, 在△AMC 和△CNB 中, ∠AMC=∠BNC, ∠ACM=∠CBN, AC=BC, { ∴ △AMC≌△CNB(AAS). 变式　 10 5 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ DC = AB = 3, ∠ADC = ∠C = 90°. ∵ CE = 1,∴ DE = DC2 +CE2 = 10 . ∵ AF⊥DE,∴ ∠AFD = 90° = ∠C,∠ADF+∠DAF = 90°. 又∵ ∠ADF+∠EDC= 90°,∴ ∠EDC= ∠DAF,∴ △EDC∽△DAF, ∴ DE AD =CE FD ,即 10 2 = 1 FD ,∴ FD= 10 5 ,即 DF 的长度为 10 5 . 2.证明:∵ ∠BED = ∠CFD = ∠BAC,∠BED = ∠BAE + ∠ABE, ∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠CFD=∠FCA+∠CAF, ∴ ∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA, 在△ABE 和△CAF 中, ∠ABE=∠CAF, AB=AC, ∠BAE=∠ACF, { ∴ △ABE≌△CAF(ASA). 变式　 4　 【解析】∵ △ABC 和△ADE 均为等边三角形,∴ ∠B= ∠ADE=60°,∴ ∠BAD+∠ADB= 120°,∠ADB+∠FDC= 120°, ∴ ∠BAD=∠FDC,又∵ ∠B = ∠C = 60°,∴ △ABD∽△DCF, ∴ AB ∶BD=CD ∶CF,即 18 ∶6=(18-6) ∶CF,∴ CF=4. 3. D　 【解析】解法 1:由题意知,AB =BC =CD =DE = 5 cm,AC = 6 cm,如解图①,过点 B 作 BM⊥AC 于点 M,过点 D 作 DN⊥ CE 于点 N,则∠BMC=∠CND=90°,AM=CM= 1 2 AC= 1 2 ×6= 3( cm),CN = EN, ∵ CD⊥BC, ∴ ∠BCD = 90°, ∴ ∠BCM + ∠CBM= ∠BCM+∠DCN = 90°,∴ ∠CBM = ∠DCN,在△BCM 和△CDN 中, ∠CBM=∠DCN, ∠BMC=∠CND, BC=DC, { ∴ △BCM≌△CDN(AAS),∴ BM=CN,在 Rt△BCM 中,∵ BC = 5 cm,CM = 3 cm,∴ BM = BC2 -CM2 = 52 -32 =4 (cm),∴ CN= 4 cm,∴ CE= 2CN= 2 ×4=8(cm). 解法 2:点拨:旋转法.如解图②,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°,构造直角三角形 A′CE,∴ CE= A′E2 -A′C2 = 102 -62 = 8 (cm). 图① 　 　 图② 第 3 题解图 4. A　 【解析】如解图,过点 F 作 FH⊥DC 交 DC 延长线于点 H,∴ ∠H= 90°,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠D = 90°, AD=DC,∵ AE 绕点 E 逆时针旋转 90°得到 FE,∴ AE=FE, ∠AEF= 90°,∵ ∠DAE+∠AED= 90°,∠HEF+∠AED= 90°, ∴ ∠DAE = ∠HEF, 在 △ADE 和 △EHF 中, ∠D= ∠H, ∠DAE= ∠HEF, AE=EF, { ∴ △ADE≌ △EHF ( AAS), ∴ AD = EH, DE=HF,∴ EH=DC,∴ DE =CH =HF,∴ ∠HCF = 45°,又∵ DC∥AG,∴ ∠G= ∠HCF = 45°,设 CH =HF =DE = x,正方形 边长为 y,则 CE= y-x,CF= 2 x,CG= 2 y,∴ FG=CG-CF= 2 y- 2 x,∴ FG CE = 2 . 第 4 题解图 5. 2 3 　 【解析】解法 1:如解图,作 CH⊥BD 于点 H,在矩形 ABCD 中,∵ ∠HDC = ∠ABE,则∠HCD = ∠BAE = ∠ADE, 又∵ AB=CD,∠AEB = ∠CHD = 90°,∴ △ABE≌△CDH,∴ BE=DH,AE=CH,∵ ∠ABE+∠DBC = 90°,∠ABE+∠BAE = 90°,∠AEB= ∠BHC= 90°,易得△ABE∽△BCH,同样易得 △ABE∽△DBA,则 AD AB = AE BE = HC DH = BH HC = 2, ∴ HC = AE = 2BE,BH= 2HC= 4BE,EH= 3BE,则 tan∠DEC= HC EH = 2 3 . 解法 2:同解法 1 得△ABE≌△CDH,∴ BE = DH,∵ AD = 2AB,设 AD= 2x,AB= x,BD= x2 +(2x) 2 = 5 x,∵ ∠BAE= ∠ADE,∴ sin∠BAE= sin∠ADE= 5 5 ,则 BE = 5 5 x,DH =BE = 5 5 x,AE = CH = 2 5 5 x,∴ EH = 5 x- 2 5 5 x = 3 5 5 x,∴ tan ∠DEC= HC EH = 2 3 . 第 5 题解图 6. 2 　 【解析】如解图,在 AD 上取一点 F 使得 AF=BE,连接 CF,作 CH⊥AD 交 AD 的延长线于点 H,由题意得∠BAE+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 ∠CAE= 45°,∠BAE+∠ABE = 45°,则∠CAE = ∠ABE,又∵ AB=AC,BE= AF,∴ △ABE≌△CAF,∴ AE = CF = 2,∠AEB = ∠AFC,∴ ∠HFC = ∠BED = 45°,∴ CH = 2 ,即点 C 到 AD 的距离为 2 . 第 6 题解图 7. 15　 【解析】解法 1:如解图①,延长 BC 到 M,使得 DC = DM. ∵ DC = DM,∴ ∠DCM = ∠M,∵ DC∥AB,∴ ∠DCM = ∠B, ∴ ∠B = ∠M, ∵ ∠DEF = ∠B, ∴ ∠BFE = ∠DEM, ∴ △BFE∽△MED. ∴ BE DM =EF DE ,∴ 4 10 = 6 DE ,∴ DE= 15. 解法 2: ∵ ∠DEF = ∠B, ∴ ∠BFE + ∠BEF = ∠BEF + ∠DEC,∴ ∠BFE= ∠DEC,如解图②,作 CG∥FE 交 DE 于 点 G, ∴ ∠DEF = ∠EGC, ∴ ∠B = ∠EGC, ∴ △FBE ∽ △EGC,∴ BE FE =CG EC ,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∠B + ∠BCD = 180°, ∵ ∠EGC + ∠DGC = 180°, ∠B = ∠EGC, ∴ ∠DGC= ∠BCD,∵ ∠EDC = ∠CDG,∴ △DGC∽△DCE, ∴ DC DE =CG EC ,∴ BE FE =DC DE ,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=DC,∴ BE FE = AB DE ,∴ 4 6 = 10 DE ,∴ DE= 15. 图① 　 　 图② 第 7 题解图 模型四　 对角互补模型 1. 4　 【解析】如解图,作 BE⊥CD 于 E,BF⊥DA 交 DA 的延 长线于 F. ∵ DB 平分∠ADC,BE⊥CD,BF⊥AD,∴ BE = BF,在 Rt△BFA 和 Rt△BEC 中, BA=BC BF=BE{ ,∴ Rt△BFA≌ Rt△BEC( HL), ∴ ∠ABF = ∠CBE, ∴ ∠EBF = ∠ABC = 90°,∴ ∠ADC= 360°-90°-90°-90° = 90°,连接 AC,∵ AD = 1,CD= 3,∴ AC = 12 +32 = 10 ,又∵ AB = BC,∴ △ABC 为等腰直角三角形,∴ AB = 5 ,∴ S四边形ABCD = S△ADC +S△ABC = 1 2 AD·CD+ 1 2 AB·BC = 1 2 × 1× 3+ 1 2 × 5 × 5 = 3 2 + 5 2 = 4. 第 1 题解图 2. 4　 【解析】如解图,过点 O 作 OG⊥CD,OH⊥BC,垂足分 别为 G,H,∵ 点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点,∴ OG = OH, ∠BCD = 90°, ∴ 四边形 CGOH 是正方形, ∴ ∠GOH = 90°, ∴ ∠GOF + ∠FOH = 90°, ∵ OF ⊥ OE, ∴ ∠EOF= 90°,∠EOG+∠GOF = 90°,∴ ∠EOG = ∠FOH,又 ∵ ∠OGE = ∠OHF = 90°, ∴ △OGE ≌ △OHF ( ASA), ∴ S△OGE = S△OHF, ∴ S四边形CEOF = S正方形CGOH . ∵ AD = 3, ∴ AC = 3 2 ,∵ CO= 2AO,∴ CO = 2 3 AC = 2 2 ,∴ S四边形CEOF = 1 2 CO2 = 1 2 ×(2 2 ) 2 = 4. 第 2 题解图 3. 1　 【解析】解法 1:如解图①,过点 D 作 DG∥BC 交 AB 于 点 G,则∠DGB = ∠DCF = 120°,∠GDC = ∠EDF = 120°,∴ ∠GDE= ∠CDF,∵ D 是 AC 的中点,∴ DG 是△ABC 的中位 线,∴ DG= 1 2 BC=DC =BG = 2,∴ △GDE≌△CDF,∴ GE = CF,∵ BE= 1,∴ CF=GE= 1. 图① 　 　 图② 第 3 题解图 解法 2:如解图②,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥ BC 于点 N,连接 BD,∵ D 是 AC 的中点,∴ BD 是∠ABC 的 平分线,∴ DM = DN,∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠MDN = 120°,∴ ∠MDE+∠NDE = ∠NDE+ ∠NDF,∴ ∠MDE = ∠NDF,∵ ∠DME= ∠DNF= 90°,∴ △DME≌△DNF( ASA),∴ ME = NF,在 Rt△ADM 中,AD = 2,∠A = 60°,∴ AM = 1,同理,CN = 1,∴ ME=AB-AM-BE= 2,∴ NF= 2,∴ CF= 1. 4. ①②　 【解析】如解图,过点 P 作 PE⊥OA,垂足为 E,过点 P 作 PF⊥OB,垂足为 F,∴ ∠PEO = 90°,∠PFO = 90°,∵ ∠AOB= 120°,∴ ∠EPF = 360° -∠AOB-∠PEO-∠PFO = 60°,∵ ∠MPN 与∠AOB 互补,∴ ∠MPN+∠AOB= 180°,∴ ∠MPN= 180° -∠AOB = 60°,∴ ∠MPN-∠EPN = ∠EPF- ∠EPN,∴ ∠MPE= ∠NPF,∵ OP 平分∠AOB,PE⊥OA,PF ⊥OB, ∴ PE = PF, ∵ ∠MEP = ∠NFP = 90°, ∴ △MEP≌ △NFP(ASA), ∴ PM = PN,ME = NF,故①正确; ∵ OP = OP,∴ Rt△PEO≌Rt△PFO(HL),∴ OE =OF,∴ OM+ON = OE+ME+OF-NF = 2OE,∵ OP 平分∠AOB,∴ ∠EOP = 1 2 ∠AOB= 60°,∴ ∠EPO= 90°-∠EOP = 30°,∴ PO = 2OE,∴ OM+ ON = OP, 故 ② 正确; ∵ PM = PN, ∠MPN = 60°, ∴ △PMN 是等边三角形,∵ MN 的长度是变化的,∴ △PMN 的周长是变化的,故③错误;所以,说法正确的是:①②. 第 4 题解图 5. 证明:∵ ∠B + ∠BMP + ∠MPN + ∠PNB = 360°, ∠BMP + ∠BNP= 180°,∠B= 90°, ∴ ∠MPN= 90°, 如解图,作 PH⊥BC 于点 H,PG⊥AB 于点 G, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24