模型一 中点模型-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 2 = 1+ 3 3 . 第 2 题解图② (3) 3 +2;　 【解析】如解图③,在 BC 上找一点 D,连接 AD,使得 AD = CD. ∵ ∠C = 15°,AD = CD,∴ ∠ADB = 30°, ∴ AB= 1 2 AD= 1 2 CD,BD = 3 2 AD = 3 2 CD,∴ BC = BD+CD = 3 2 CD+CD = 3 +2 2 CD,∴ tan∠BAC = BC AB = 3 +2 2 CD 1 2 CD = 3 +2. 图③ 　 　 图④ 第 2 题解图 (4)2+2 2 ;　 【解析】如解图④,在 BC 上取点 D,连接 AD,使得 AD = CD, ∵ AD = CD, ∠C = 22. 5°, ∴ ∠ADB = 45°,又∵ ∠B= 45°,∴ △ABD 是等腰直角三角形,∴ AD = AB= 2,BD= 2 2 ,∴ CD= 2,∴ BC=CD+BD= 2+2 2 . (5)30. 　 【解析】解法 1:如解图⑤,过点 C 作 CE⊥AB,交 BA 的延长线于点 E,连接 DE. ∵ ∠BAC= 135°,∴ ∠CAE= 45°,∵ CE⊥AB,∴ △ACE 是等腰直角三角形,∴ CE = AE. ∵ ∠B= 30°,点 D 为 BC 的中点,∴ DE=CD=BD,∠BCE= 60°,∴ ∠AED = ∠B = 30°, △CDE 是等边三角形, ∴ ∠DEC = 60°, DE = CE = AE, ∴ ∠DAE = 75°, ∴ ∠DAC = 30°. 解法 2:如解图⑥,过点 A 作 AM⊥BD 于 M,在 MC 上截取 MN=BM,连接 AN,∵ ∠B= 30°,AB= 2,∴ AM= 1,BM =MN = 3 ,AN = AB = 2, ∴ ∠ANB = ∠B = 30°, ∵ ∠B = 30°, ∠BAC= 135°,∴ ∠C = 15°,∴ ∠CAN = 15° = ∠C,∴ NC = NA= 2,∴ BC=BN+NC = 2 3 +2,∵ 点 D 是 BC 的中点,∴ BD= 3 +1,∴ MD=BD-BM = 1 = AM,∴ ∠ADM = ∠MAD = 45°,∴ ∠DAC= ∠ADM-∠ACD= 30°. 第 2 题解图⑤ 　 　 第 2 题解图⑥ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 大单元串讲四　 常考数学思想之数形结合 1. ①2 000;②800;③10;④21;⑤BC;⑥小王在原地休息; ①1 200;②5;③6;④80;⑤200 2. ①30;1 200;②二;600;③二;一; ①40;20;②y= 20x+600;③2 000;1 600 3. 解:画图如解图(答案不唯一) . 第 3 题解图 4. 解:画图如解图(答案不唯一) . 图① 　 图② 第 4 题解图 5. 解:画图如解图. 图① 　 图② 第 5 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 陕西中考培优———必会模型篇 模型一　 中点模型 1. C　 【解析】如解图,连接 AC,∵ E,F 分别是 AM,MC 的中 点,∴ EF= 1 2 AC,∵ AC 是定长,∴ 无论 M 运动到哪个位 置,EF 的长不变. 第 1 题解图 2. B　 【解析】如解图,取 BC 的中点 G,连接 EG,∵ E 是 AC 的中点,∴ EG 是△ABC 的中位线,∴ EG = 1 2 AB = 1 2 × 8 = 4,∵ CD= 1 2 BC,EF = 2CD,∴ EF = BC,设 CD = x,则 EF = BC= 2x,∴ BG= CG = x,∴ EF = 2x = DG,∵ EF∥CD,∴ 四边 形 EGDF 是平行四边形,∴ DF=EG= 4,故选 B. 第 2 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 3. 2　 【解析】解法 1:如解图①,设点 N 是 AC 的中点,连接 EN,则 EN∥AB,EN = 1 2 AB,∴ ∠CNE = ∠BAC. ∵ EF∥AD, ∴ ∠DAC = ∠EFN. ∵ AD 是 ∠BAC 的平分线, ∠CNE = ∠EFN+ ∠FEN, ∴ ∠EFN = ∠FEN. ∴ FN = EN = 1 2 AB, ∴ FC=FN+NC= 1 2 AB+ 1 2 AC= 7. ∴ AF=AC-FC= 2. 解法 2:如解图②,过 B 作 EF 的平行线交 CA 延长线于点 G,∴ EF 为 △BCG 的中位线, ∵ AD∥EF∥BG, ∴ ∠G = ∠FAD,∠ABG = ∠BAD, 又 ∵ AD 是 ∠BAC 的平分线, ∴ ∠BAD= ∠FAD,∴ ∠G= ∠ABG,∴ AG = AB = 5,GC = 5+9 = 14,FC= 1 2 GC= 7,∴ AF=AC-FC= 9-7 = 2. 图① 　 　 图② 第 3 题解图 4. 5　 【解析】解法 1:如解图①,连接 AF,取 AF 的中点 O,连 接 OH,OG,由 H 为对角线 AC 的中点,点 G 为 EF 的中点, 可得 OH= 1 2 FC= 4,OG= 1 2 AE= 3,OH∥BC,OG∥AB,∵ AB ⊥BC,∴ ∠HOG= 90°,∴ GH= 32 +42 = 5. 解法 2:如解图②,连接 EH 并延长交 CD 于点 M,∵ 点 H 是 AC 的中点,∴ AH=CH,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥ CD,∴ ∠EAH = ∠MCH,又∵ ∠AHE = ∠CHM,∴ △AEH≌ △CMH(ASA),∴ AE = CM,EH = MH,∴ H 为 EM 中点,连 接 FM, ∵ 点 G 为 EF 中点, ∴ GH 为△EFM 的中位线, ∵ FC= 8,CM=AE = 6,∴ FM = 82 +62 = 10,∴ GH = 1 2 FM = 5. 图① 　 　 图② 第 4 题解图 5. 2 10 　 【解析】如解图,连接 AD,取 AD 的中点 F,连接 PF,QF,∵ P,Q 分别为 AB,ED 的中点,∴ PF 是△ABD 的 中位线,QF 是△ADE 的中位线,∴ PF= 1 2 BD= 1 2 ×12 = 6, PF∥BD,QF = 1 2 AE = 1 2 × 4 = 2,QF∥AC,∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠PFQ= 90°,∴ PQ= PF2 +QF2 = 62 +22 = 2 10 . 第 5 题解图 6. D　 【解析】如解图,连接 AM,∵ AB = AC,M 为 BC 中点, ∴ AM⊥CM(三线合一),BM = CM,∵ BC = 6,∴ BM = CM = 3,在 Rt△ABM 中,AB= 5,BM= 3,∴ 根据勾股定理得 AM = AB2 -BM2 = 52 -32 = 4,又∵ S△AMC = 1 2 MN·AC= 1 2 AM ·MC,∴ MN= AM·CM AC = 12 5 . 第 6 题解图 7. 5　 【解析】如解图,连接 CF,由题知 EF 垂直平分 BC,∴ CF =BF,在 Rt△BEF 中,∠B= 45°,∴ BF= 2EF= 2,∴ CF=BF= 2,∠FCB = ∠B = 45°,∴ ∠AFC = 90°,∴ AC = AF2 +CF2 = 12 +22 = 5 . 第 7 题解图 8. 2　 【解析】在 Rt△CDE 中,由勾股定理得,DE = 32 +42 = 5, ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD,∵ DE∥AB,∴ ∠ADE = ∠BAD,∴ ∠ADE=∠EAD,∴ AE=DE= 5,∴ AC=AE+CE= 5+3 =8,在 Rt△ACD 中,由勾股定理得,AD= 42 +82 = 4 5,如解 图,作 OG⊥DE 于点 G,连接 OE,由题意可得 OE⊥AD,OD = OA= 1 2 AD=2 5,OE= DE2 -OD2 = 5,由三角形面积公式可 得 OE·OD=DE·GO,解得 GO=2,即点 O 到 DE 的距离为 2. 第 8 题解图 9. 8　 【解析】如解图,连接 MB , MD. ∵ ∠ABC= ∠ADC= 90∘, M 是 AC 的中点, ∴ MB= 1 2 AC , MD= 1 2 AC. ∴ MB=MD .又 ∵ N 是 BD 的中点,∴ MN⊥BD. ∵ AC= 10 ,∴ MB= 5. ∵ MN =3 , ∴ NB= MB2 -MN2 =4. ∴ BD=2NB=8. 第 9 题解图 10. 30　 【解析】解法 1:如解图①,延长 AD 至点E,使ED=AD,连 接 BE,∵ D 为 BC 的中点,∴ CD=BD,在△ACD 和△EBD 中, AD=ED, ∠ADC=∠EDB, CD=BD, { ∴ △ACD≌△EBD(SAS),∴ AC=BE,S△ACD =S△EBD,∴ S△ABE =S△ABC,∵ AC= 5,AD= 6,∴ BE= 5,AE= 12,∵ AB=13,∴ AB2 =BE2 +AE2,∴ △ABE 为直角三角形,且∠AEB =90°,∴ S△ABE = 1 2 AE·BE= 1 2 ×12×5= 30,∴ △ABC 的面积 是 30. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 图① 图② 第 10 题解图 解法 2:如解图②,延长 BA 至点 F,使得 AF =AB,连接 CF, ∵ D 为 BC 中点,∴ AD 为△BCF 的中位线,∴ CF= 2AD= 12, ∵ AF= AB = 13,AC = 5,∴ 52 + 122 = 132,∴ AC2 +CF2 = AF2, ∴ △ACF为直角三角形,且∠ACF= 90°,∴ S△ACF = 1 2 AC·CF = 1 2 ×5×12=30,∵ AF=AB,∴ S△ABC =S△ACF =30. 11. 1　 【解析】如解图,过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F. ∵ PF∥BC, △ABC 是等边三角形,∴ ∠PFD=∠QCD,△APF 是等边三角 形,∴ AP =PF =AF,∵ PE⊥AC,∴ AE =EF,∵ AP =PF,AP = CQ,∴ PF = CQ. 在△PFD 和△QCD 中, ∠PFD=∠QCD, ∠PDF=∠QDC, PF=CQ, { ∴ △PFD≌△QCD(AAS),∴ FD=CD,∵ AE=EF,∴ EF+FD= AE+CD,∴ AE+CD=DE= 1 2 AC,∵ AC=2,∴ DE=1. 第 11 题解图 12. A　 【解析】∵ AC⊥BC,∴ ∠ACB= 90°,∵ BC= 3,AC= 4,∴ AB =5,∵ AD∥BC,∴ ∠ADB=∠DBC,∵ BD 为∠ABC 的平分线, ∴ ∠ABD=∠CBD,∴ ∠ABD=∠ADB,∴ AB=AD= 5,如解图, 连接 BF 并延长交 AD 于 G,∵ AD∥BC,∴ ∠GAC = ∠BCA, ∵ F 是 AC 的中点,∴ AF=CF,∵ ∠AFG= ∠CFB,∴ △AFG≌ △CFB(ASA),∴ BF=FG,AG=BC= 3,∴ DG= 5-3= 2,∵ E 是 BD 的中点,∴ EF= 1 2 DG=1.故选 A. 第 12 题解图 13. D　 【解析】如解图,延长 BF 交 CD 的延长线于点 H,∵ 四边 形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD = 5,AB∥CD,∴ ∠H = ∠ABF,∵ EF∥AB,∴ EF∥CD,∵ E 是边 BC 的中点,∴ EF 是 △BCH 的中位线,∴ BF = FH,∵ ∠BFC = 90°,∴ CF⊥BF, ∴ CF 是 BH 的中垂线,∴ BC=CH = 8,∴ DH =CH-CD = 3,在 △ABF 和 △GHF 中, ∠ABF=∠H, BF=HF, ∠AFB=∠GFH, { ∴ △ABF ≌ △GHF (ASA),∴ GH=AB=5,∴ DG=GH-DH=2. 第 13 题解图 模型二　 角平分线模型 1. 4　 【解析】如解图,过点 D 作 DF⊥AC 于 F,∵ AD 是△ABC 的 角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE=DF= 2,∴ S△ABC = 1 2 ×6×2 + 1 2 AC×2=10,解得 AC=4. 第 1 题解图 2. 5 2 　 【解析】如解图,过点 C 作 CF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F,∵ AC 平分∠BAD,CE⊥AD 于点 E,CF⊥AB 于 F,∴ CE = CF,∵ AC=AC,∴ Rt△ACF≌Rt△ACE HL( ) ,∴ AE =AF =AB+ BF,∵ CE=CF,BC=DC,∴ Rt△BCF≌Rt△DCE HL( ) ,∴ DE= BF,∴ AD= AE+DE = AB+BF+DE = AB+2DE,∴ 12 = 7+2DE, ∴ DE= 5 2 . 第 2 题解图 3. 2　 【解析】解法 1:如解图①,在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD,又∵ AD=AD,∴ △AED≌ △ACD,∴ DE = DC,∠AED = ∠C,∵ ∠C = 2∠B,∴ ∠AED = 2∠B,∵ ∠AED= ∠B+∠EDB,∴ ∠B = ∠EDB,∴ BE =DE,∴ AB=AE+BE=AC+CD,∵ AB=5,AC=3,∴ CD=2. 解法 2:如解图②,延长 AC 至点 F,使得 AF=AB,连接 DF. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠FAD,又∵ AB = AF,AD = AD,∴ △ABD≌△AFD,∴ ∠F = ∠B,∵ ∠ACB = 2∠B,∠ACB = ∠F+ ∠CDF,∴ ∠CDF = ∠F,∴ CD = CF,∴ CD = AF-AC = AB-AC =2. 图① 　 　 　 图② 第 3 题解图 4. B　 【解析】如解图,延长 CD 交 AB 于 F,由题意知,∠FAD = ∠CAD, ∠ADF = ∠ADC = 90°, 在 △ADF 和 △ADC 中, ∵ ∠FAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADF=∠ADC, { ∴ △ADF≌△ADC(ASA),∴ DF =CD,AF =AC=5,∴ D 是 CF 的中点,BF=AB-AF=4,又∵ E 是 BC 的中 点,∴ DE 是△BCF 的中位线,∴ DE = 1 2 BF = 2,∴ DE 的长 为 2. 第 4 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 专项培优练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 二、陕西中考培优———必会模型篇 必 会 模 型 篇 模型一　 中点模型(2020. 9、2020. 8) 类型 1　 构造形成中位线 (1)问题启发思维 【问题 1】什么是三角形的中位线,三角形中位线定理的内容是什么? 【问题 2】如何画一个三角形的中位线? (2)遇到三角形边上中点的思考 遇到两边中点→连线得 中位线 遇到一边中点→作平行或 取另一边中点得中位线 遇到中点连线→ 作平行构造中 位线 (3)遇到四边形边上中点的思考 遇到两邻边中点→ 连对 角线得中位线 遇到两对边中点→ 法 1:连对角线取中点,形成中位线 法 2:倍长连接形成中位线(含 8 字全等) 1. (2023 西安名校模拟)如图,在矩形 ABCD 中, M 是 BC 上的动点,E,F 分别是 AM,MC 的 中点,则 EF 的长随着 M 点的运动 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 A. 变小 B. 变大 C. 不变 D. 先变小再变大 2. 如图,在△ABC 中,延长 BC 至点 D,使得 CD= 1 2 BC,过 AC 中点 E 作 EF∥CD(点 F 位于点 E 右侧),且 EF = 2CD,连接 DF. 若 AB= 8,则 DF 的长为 (　 B　 ) 第 2 题图 A. 3 B. 4 C. 2 3 D. 3 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 专项培优练·陕西数学 必 会 模 型 篇 3. 多解法 ∙∙ ∙ 　 (2024 铁一中一模)如图,在△ABC 中,AB=5,AC=9,AD是∠BAC 的平分线,点 E 是 BC 的中点,EF∥AD,则 AF 的长是　 2　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】解法 1:取 AC 的中点 N,连接 EN,根据三角形的中位线定理,得 EN∥ AB,EN= 1 2 AB;根据平行线的性质和等腰 三角形的判定,得 FN=EN,从而求解. 解法 2:E 为 BC 的中点,逆向思考将 EF 作为中位线,过点 B 作 EF 的平行线,交 CA 延长线于点 G,根据平行线的性质和 等腰三角形的判定,得 AG = AB,从而求 解. 第 3 题图 　 第 4 题图 4. 多解法 ∙∙∙ 　 如图,在矩形 ABCD 中,点 H 为对 角线 AC 的中点,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,FC = 8,AE = 6,点 G 为 EF 的中点,则 GH 的长为　 5　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】解法 1:拆分图形:①将四边 形 AEFC 从矩形中拆分出来,已知 G、H 分别为四边形对边的中点;②连接 AF,将 四边形拆分为△AEF、△AFC,取 AF 中点 O, 连 接 OH、 OG, 构 造 中 位 线; ③ 在 △OGH 中解 GH 即可. 解法 2:提示已知 G、H 都是边的中点,考 虑构造倍长中线和中位线解题. 5. (2024 西安名校模拟)如图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB= 90°,延长 BC 至点 D,使 BD= 12,E 为边 AC 上的点,且 AE = 4,连接 ED,P,Q 分别为 AB,ED 的中点,连接 PQ,则 PQ 的 长为　 2 10 　 . 第 5 题图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】看到 P,Q 为 AB,ED 的中点, 考虑构造中位线,连接 AD,取 AD 的中点 F,连接 PF,QF 进而求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型 2　 特殊三角形+中点的构造(2020. 9) (1)问题启发思维 【问题 1】等腰三角形的“三线合一”性质的内容是什么? 【问题 2】线段垂直平分线定理的内容是什么? 【问题 3】直角三角形斜边中线有什么性质? (2)等腰三角形、直角三角形与中点的构造 等腰 +底边中点→连接 应用“三线合一” 拓展:见到线段垂直平分线→连 接得等腰 直角+斜边中点→连接 形成斜边中线 11 专项培优练·陕西数学 必 会 模 型 篇 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 5,BC = 6,M 为 BC 的中点,MN⊥AC 于点 N,则 MN 的长度 为 (　 D　 ) A. 3　 　 B. 3 2 　 　 C. 8 2 5 　 　 D. 12 5 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B = 45°,E 是边 BC 的中点,过点 E 作 EF⊥BC 交 AB 于点 F. 若 AF= 1,EF = 2 ,则对角线 AC 的 长为　 5 　 . 8. 如图,在 Rt △ABC 中,∠C = 90°,AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D,DE∥AB 交 AC 于 E, 点 O 是 AD 的中点,若 CD = 4,CE = 3,则点 O 到 DE 的距离为　 2　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图, ∠ABC= ∠ADC= 90°, M , N 分别是 AC, BD 的中点, MN = 3 , AC = 10 ,则 BD= 　 8　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】已知点 M 同时为 Rt△ADC 和 Rt△ABC 斜边 AC 的中点,构造斜边中 线 DM,BM 均等于 1 2 AC,结合点 N 是 BD 中点,在等腰三角形中利用“三线合一” 可求 BD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型 3　 构造形成“8 字形”全等(2020. 8) 辅助线方法 倍长中线 类倍长中线 作平行线 作延长线 原图(图中 点 D 均为 BC 中点) CM∥AB 构图 10. 多解法 ∙∙∙ 　 如图,在△ABC 中,点 D 为 BC 的中点,若 AB = 13, AC = 5, AD = 6, 则 △ABC 的面积为　 30　 . 第 10 题图 　 第 11 题图 11. 如图,过边长为 2 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC 于 E,Q 为 BC 延长 线上一点,当 PA = CQ 时,连接 PQ 交 AC 边于 D,则 DE 的长为　 1　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　12. 如图,在四边形 ABCD 中,AC⊥BC,AD∥ BC,BD 为∠ABC 的平分线,BC = 3,AC = 4. E,F 分别是 BD,AC 的中点,则 EF 的长 为 (　 A　 ) A. 1 B. 1. 5 C. 2 D. 2. 5 第 12 题图 　 第 13 题图 13. (2020 陕西 8 题 3 分)如图,在▱ABCD 中, AB = 5,BC = 8. E 是边 BC 的中点,F 是 ▱ABCD 内一点,且∠BFC = 90°. 连接 AF 并延长,交 CD 于点 G. 若 EF∥AB,则 DG 的长为 (　 D　 ) A. 5 2 　 　 　 B. 3 2 　 　 　 C. 3　 　 　 D. 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21