大单元串讲一 函数的深度理解与把握-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一、陕西中考培优———知识整合篇 知 识 整 合 篇 大单元串讲一　 函数的深度理解与把握 一、如何判断是不是函数:在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果对于任意一个 x 都有 唯一确定的 y 与它对应,那么就说 y 是 x 的函数. 1. 下列 y 与 x 的关系中,y 是 x 的函数的是　 ①④⑤⑥　 (填序号) . ①y= -2x-1;　 ② | y | = 2x;　 ③y2 = x;　 ④y= -x2;　 ⑤y= 2 x ;　 ⑥y= 2 x+1 . 2. 下列图象中,不能表示 y 是 x 的函数的是　 ③④⑤　 (填序号) . 二、如何判断属于哪个函数类型(一次函数、反比例函数和二次函数) 第 1 题图 ◆根据题意列函数解析式并区分函数类型 1. 如图,用绳子围矩形,记矩形相邻的两边长为 x m,y m. (1)若绳长为 10 m,则 y 与 x 的关系式为　 y = -x+5　 ,y 是 x 的 　 一次　 函数; (2)若矩形的面积是 10 m2,则 y 与 x 的关系式为　 　 　 　 ,y 是 x 的　 反比例　 函数; (3)若矩形的周长为 20 m,矩形的面积为 S m2,则 S 与 x 的关系式为　 S=-x2+10x　 ,S 是 x 的　 二次　 函数. ◆根据表格数据特点区分函数类型 对于“已知 y 与 x 的几组对应值,判断 y 与 x 满足哪种函数类型”的问题,可优先从以下 几个方向思考: (1)若表格中的 x 或 y 的值“有 0”:y 与 x 一定不是反比例函数; (2)若每一组 x,y 的“乘积都相等”:y 是 x 的反比例函数; (3)若表格中有“两个 x 对应的 y 值相等”:y 是 x 的二次函数; (4)若 y 的值呈现“先增后减”或“先减后增”:y 是 x 的二次函数; (5)若 x 与 y 都呈现“等差变化”:y 是 x 的一次函数; (6)通过描点观察图象的形状:直线型即一次函数;双曲线型即反比例函数;抛物线型即 二次函数. 1 专项培优练·陕西数学 知 识 整 合 篇 2. 已知 y 是 x 的函数,给出了几组 x 和 y 的对应值,请根据表格中的数据特点填空. 第 1 组: x -5 0 5 10 y 10 5 0 -5 【观察】x 和 y 同时呈现等差变化 【得出结论】y 是 x 的　 一次　 函数 第 2 组: x 1 2 -4 -10 y 10 5 -2. 5 -1 【观察】x 与 y 的乘积均为 10 【得出结论】y 是 x 的　 反比例　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 3 组: x -6 -3 -2 -1 y 1 2 3 6 【观察】x 与 y 的乘积均为-6 【得出结论】y 是 x 的　 反比例　 函数 第 4 组: x -2 0 1 2 y 12 -4 -6 -4 【观察】当 x=0 和 x=2 时,y 的值均为-4 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 5 组: x -4 -2 0 3 y -24 -8 0 -3 【观察】随着 x 的增大,y 的值先增大后减小 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 第 6 组: x -2 -1 1 2 y 1 0 4 9 【观察】随着 x 的增大,y 的值先减小 后增大 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 7 组: x -2 -1 2 4 y -1 0 3 5 【描点画图】 第 2 题图① 【得出结论】y 是 x 的　 一次　 函数 第 8 组: x 0 1 2 4 y 0 1 2 2 8 【描点画图】 第 2 题图② 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 专项培优练·陕西数学 知 识 整 合 篇 ◆根据函数图象上点的坐标特征区分函数类型 3. 在如图所示的网格平面直角坐标系中,每个网格的单位长度均为 1,点 A,B,C,D,E 均在 网格中的格点上,请回答下列问题. 第 3 题图 (1)与一次函数图象有关 ①正比例函数 y = kx 的图象　 不能　 (填“能” 或“不能”)经过点 A; ②若正比例函数 y = kx 的图象经过图中的某一 点,则 k　 >　 0(填“>”或“<”); ③一次函数 y = kx+b 的图象　 不能　 (填“能” 或“不能”)同时经过点 D 和点 E; ④若一次函数 y= kx+b 的图象经过其中的三点, 则这三个点分别是　 A,C,E　 . 一次函数 坐标系中的一条“斜直线” 　 (2)与反比例函数图象有关 ①反比例函数 y= k x 的图象一定不经过点　 A　 ; ②反比例函数 y= k x 的图象　 不能　 (填“能”或 “不能”)同时经过点 D 和点 E; ③若反比例函数 y = k x 的图象经过点 B 和点 C, 则还可以经过点　 E　 . 反比例函数 分别居于两个象限的“双曲线” 　 (3)与二次函数图象有关 ①二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象 　 不能 　 (填 “能”或“不能”)同时经过点 A,点 C 和点 E; ②抛物线 y=ax2-2ax+3 一定经过点 A和点　 B　 ; ③若二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象经过点 D 和 点 E,则 a,b 满足的关系式为　 9a+b=0　 ; ④若二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象经过其中的 三点,当 a 最大时,经过的点是　 A,D,E 　 ; 当 a 最小时,经过的点是　 A,B,D　 . 二次函数 坐标系中的一条“抛物线” 　 3 参考答案与重难题解析·陕西数学　 专 项 培 优 练 专项培优练 陕西中考培优———知识整合篇 大单元串讲一　 函数的深度理解与把握 一、1. ①④⑤⑥　 2. ③④⑤ 二、1. (1)y= -x+5;一次; (2)y= 10 x ;反比例; (3)S= -x2 +10x;二次. 2. 一次;反比例;反比例;二次;二次;二次; 第 2 题解图① 一次; 第 2 题解图② 二次 3. (1)①不能;②>;③不能;④A,C,E; (2)①A;②不能;③E; (3)①不能;②B;③9a+b= 0;④A,D,E;A,B,D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 大单元串讲二　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;增大;减小 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) . 3. (1) <;(2) >;(3) >. 4. (1) <;(2) <;(3) <;(4) <. 变式　 解:当 k<0 时,反比例函数 y= k x 的图象位于第二、 四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 当 y1 < y2 时,分为以下三种情况: ①当 0<y1 <y2 时,x2 >x1 ; ②当 y1 <y2 <0 时,x2 >x1 ; ③当 y1 <0<y2 时,x2 <x1 . 5. (1)①>;②<;③ = ; (2)①>;②<; (3)①<;②<;>. 6. 解:(1)3;1; (2)∵ 抛物线 y=x2 -2x-3 的对称轴为直线 x=1,且 a=1>0, ∴ 当 x= 1 时,y= 1-2-3 = -4 是最小值;当 x= -3 时,y= 9+ 6-3 = 12 是最大值. 7. (1) -12;3; (2)①0 或 6;②-2 或 8;③2≤a≤4. 8.解:(1)∵ y= x2 -2tx+t2 -t= (x-t) 2 -t,∴ 抛物线的顶点坐标 为( t,-t); (2)∵ y= x2 -2tx+t2 -t = ( x- t) 2 - t,∴ 抛物线的对称轴为直 线 x= t, ∵ 1>0,∴ 抛物线开口向上, ∵ t-1≤x1 ≤t+2,∴ 当 x= t 时,y1 的最小值为-t, ∵ y1 的最小值是-2,∴ t= 2, ∵ | t-1-t | = 1, | t+2-t | = 2, ∴ 当 x= t+2 时,y1最大 = ( t+2-t) 2 -t= 4-t= 4-2 = 2, 即 y1 的最大值为 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 大单元串讲三　 三角形的理解与勾连 1. 3 3 　 【解析】∵ AB = AC,∠A = 60°,∴ △ABC 是等边三角 形,∴ ∠ABC= ∠ACB= 60°. ∵ CD 是 AB 边上的中线,AB = 6,∴ CD⊥BD,BD = 3,∠BCD = 30°,∴ CD = 3 3 . ∵ BE = BD,∠ABC= 60°,∴ ∠E = 30°,∴ △DCE 是等腰三角形, ∴ DE=CD= 3 3 . 2. (1) 39 ;　 【解析】如解图①,过点 B 作 BD⊥AC,交 CA 的延长线于点 D,∵ ∠BAC= 120°,∴ ∠BAD= 60°,∵ BD⊥ AC,AB = 2, ∴ AD = 1, BD = 3 , ∴ CD = 6, ∴ BC = BD2 +CD2 = 39 . 第 2 题解图① (2)1+ 3 3 ;　 【解析】如解图②,过点 A 作 AD⊥BC 于 D, 则∠ADB= 90°. ∵ ∠B = 45°,AB = 2,∴ BD = AD = 2 . ∵ ∠C= 60°,∴ ∠CAD = 30°,∴ CD = AD·tan30° = 6 3 ,∴ BC =BD+CD= 2 + 6 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×( 2 + 6 3 ) × 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73