精品解析：山东省平原县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

山东省平原县第一中学2024—2025学年高一下学期3月月考 数学试题 高一年级阶段性测试（一）数学试题 2025．3．22 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 已知，（ ） A. B. C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直等价于向量的数量积为0，利用向量的数量积的坐标运算求解. 【详解】, 故选：A. 2. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的数量积即可求解. 【详解】，， ， 又，. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量数量积求向量的夹角，属于基础题. 3. 在中，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用余弦和角公式展开，代入即可. 【详解】因为在中，，，则，. 故选：D 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式化为同名函数，然后由图象平移变换求解． 【详解】因为函数， ， 所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：B. 5. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 6. 设是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简 ，通过充分条件与必要条件的概念结合三角函数的知识进行求解. 【详解】，满足 ，故充分性成立； 但当时，是第一象限角，则， 不一定得出，故必要性不成立； 所以是第一象限角，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用坐标法计算数量积，结合的取值范围，即可得解. 【详解】如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则， 所以，， 所以. 故选：B 8. 已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由且，求得，再由正弦函数的性质，得到且， 求得，进而得到答案. 【详解】因为，函数在上单调递增， 则函数的周期满足，即，可得，可得， 令，解得， 因为函数在上单调递增，则满足， 可得且，解得， 又因为，当时，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上有个零点 C. 在区间上单调递减 D. 函数图象向右平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A：通过对称轴的特征我们求出答案，当时，，从而得出答案对于选项B：通过整体法得到，可以得到在上存在零点，从而得到答案；对于选项C：通过整体法得到，进一步可以得到函数在区间上先增后减，从而得到答案；对于选项D：函数图像向右平移个单位得到，函数为奇函数，故得到答案． 【详解】对于选项A：当时，， 此时函数， 所以的图象关于对称，故选项A正确 对于选项B：当时，， 所以当时，， 函数即在上存在零点，故选项B正确 对于选项C：当时，， 所以当时函数为增函数， 当时函数减函数，函数所以在区间上先增后减，故选项C错误 对于选项D：函数图像向右平移个单位得到， 函数为奇函数，故选项D错误． 故选：AB． 10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 写的夹角为钝角 C. D. 向量在方向上的投影为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用坐标计算向量的数量积可判定AB；利用向量平行的坐标表示可以判定C；利用投影的公式计算可以判定D. 【详解】选项A：计算，因此选项A正确； 选项B：由A中的计算结果可知的数量积为正值，且显然不共线，说明两向量夹角为锐角，而非钝角，故B错误； 选项C： 与  平行，存在比例系数  使得： ，因此C正确； 选项D：向量  在  方向上投影为：，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若△ABC为正三角形，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及其几何意义，数量积的定义及运算法则逐项分析即得. 【详解】对于A，因为为中的中点，所以，故A正确； 对于B，因为为的重心，分别为边的中点， 所以 ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为为正三角形，所以， 所以，所以D不正确. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量夹角为，且，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】向量，利用平面向量的模长公式和数量积运算法则，计算即可． 【详解】解：设向量，， 由题意知，， 所以， 化简得， 解得或（不合题意，舍去）； 所以． 故答案为：1． 13. 若四边形满足，且，则此四边形的形状为______． 【答案】菱形 【解析】 【分析】根据平面向量加法的平行四边形和垂直的向量表示可判断. 【详解】根据题意，由，可知四边形为平行四边形， ， 所以，则四边形的形状为菱形. 故答案为：菱形. 14. 已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，根据题意得到，再由，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，则， 可得，即， 因为任意，存在，满足， 是的值域的子集， 因为，可得，则， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）求函数的对称轴方程和对称中心； （3）当时，求的值域． 【答案】（1） （2）对称轴方程：，；对称中心：， （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可； （2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心可求得结果； （3）先由，求出，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可． 【小问1详解】 由， 所以函数的单调增区间是． 【小问2详解】 根据，可得对称轴为，； 根据，解得，， 因为函数为， 所以对称中心为，； 【小问3详解】 由，可得， 从而，所以． 所以的值域为． 16. 已知向量，满足，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出 ，再按照数量积的公式计算即可 （1）根据得到，计算出，再根据 即可 【小问1详解】 ，所以， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以 ， 令 所以， 因为，所以 故与的夹角为． 17. 已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）当时，方程有两个不同的实根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性、最小正周期求得的解析式，从而求得. （2）画出在区间的图象，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 因为是偶函数，则， 解得，又因为，所以． 所以； 由题意得，所以．故． 因此． 【小问2详解】 ， 画出在区间上的图象如下图所示， 由图可知的取值范围是. 18. 如图，在中，. （1）若E是BD的中点，试用和表示； （2）若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减法运算法则，结合平面向量基本定理求解； （2）由已知条件可得，再由F，G，H三点共线，得，然后利用基本不等式可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； 【小问2详解】 由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，． （1）若A，B，C三点共线，求x的值； （2）当时，直线OC上是否存在一点M，使取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由． 【答案】（1）4 （2）存在，此时． 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的充要条件计算即可； （2）设点M坐标，利用向量数量积的坐标表示计算，结合二次函数求最值即可. 【小问1详解】 由题意可得：，， 因为A，B，C三点共线，所以， 故，解得． 【小问2详解】 假设直线OC上存在M点， 因为，所以， 设， 则，． 当时，取最小值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省平原县第一中学2024—2025学年高一下学期3月月考 数学试题 高一年级阶段性测试（一）数学试题 2025．3．22 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 已知，（ ） A. B. C. D. -3 2. 已知向量满足，且，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，，则等于（ ） A B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上有个零点 C. 在区间上单调递减 D. 函数图象向右平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 写的夹角为钝角 C. D. 向量在方向上的投影为 11. 已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（ ） A. B. C 若，则 D. 若△ABC为正三角形，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量夹角为，且，则__________． 13. 若四边形满足，且，则此四边形的形状为______． 14. 已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）求函数的对称轴方程和对称中心； （3）当时，求的值域． 16. 已知向量，满足，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角． 17. 已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）当时，方程有两个不同实根，求m的取值范围． 18. 如图，在中，. （1）若E是BD的中点，试用和表示； （2）若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，． （1）若A，B，C三点共线，求x的值； （2）当时，直线OC上是否存在一点M，使取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$