高一数学期中模拟卷03（新高考通用，三角函数+平面向量及其应用+简单几何体的表面积和体积）-学易金卷：2024-2025学年高中数学下学期期中考试卷

2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册三角函数+必修第二册平面向量及其应用+复数+简单几何体的表面积和体积。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 4．已知，则（ ） A．4 B．0 C． D． 5．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 8．在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 10．在中，若内角A，B，C满足，则（   ） A． B． C． D． 11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（   ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为 . 13．定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则 . 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16．（15分） （1）在复数范围内解关于的方程：； （2）设是虚数单位为实数，求复数为纯虚数的充要条件； （3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数，求点对应的复数. 17．（15分） 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.    (1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 18．（17分） 在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角所对的边分别为，已知______． (1)求； (2)若的外接圆半径为1，且，求； (3)若，求锐角的面积的取值范围． 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分． 19．（17分） 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册三角函数+必修第二册平面向量及其应用+复数+简单几何体的表面积和体积。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 4．已知，则（ ） A．4 B．0 C． D． 5．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 8．在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 10．在中，若内角A，B，C满足，则（   ） A． B． C． D． 11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（   ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为 . 13．定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则 . 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16．（15分） （1）在复数范围内解关于的方程：； （2）设是虚数单位为实数，求复数为纯虚数的充要条件； （3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数，求点对应的复数. 17．（15分） 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.    (1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 18．（17分） 在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角所对的边分别为，已知______． (1)求； (2)若的外接圆半径为1，且，求； (3)若，求锐角的面积的取值范围． 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分． 19．（17分） 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学期中模拟卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D C D A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）因为向量，且， 所以，（2分） 解得，（3分） 所以.（4分） （2）因为，（5分） 且， 所以，（7分） 解得.（8分） （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线，（9分） 即且，（12分） 所以且.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为，（1分） 所以，即，（3分） 所以. 所以在复数范围内方程的根为.（4分） （2）,（5分） 若复数为纯虚数，则，（7分） 解得：，（8分） 若，则为纯虚数， 所以复数为纯虚数的充要条件为.（9分） （3）点A，B，C分别对应复数， 则，，，（10分） 设， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以，（11分） 所以，（12分） 所以，（13分） 解得：，所以，（14分） 故点对应的复数为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为棱长为的正四面体的体积，（2分） 如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，（3分） 所以，（5分） 所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，（6分） 所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.（7分）    （2）因为正四面体的棱长为， 所以，（9分） 则，（11分） 所以，（13分） 所以石凳的表面积，（14分） 即石凳的表面积约为， 所以粉刷一个石凳约需要元.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）选①：由正弦定理可得， 即；（1分） 因为三角形中，，（2分） 所以， 整理得，（3分） 因为，所以，（4分） 由于，所以.（5分） 选②：因为，由正弦定理可得，（1分） 即，（3分） 因为在三角形中，（3分） 且，所以，（4分） 由于，所以.（5分） （2）因为，所以，即，（6分） 所以，因为，所以；（7分） 因为的外接圆半径为1，由正弦定理可得，所以，（8分） ， 由余弦定理可得，即.（10分） 所以.（11分） （3）因为，所以，； 所以的面积为（12分） ，（14分） 因为三角形是锐角三角形，所以，由可得，（15分） 所以，所以，（16分） 所以.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为，（1分） 当时，，（2分） 又，则，（3分） 所以，故.（4分） （2）因为， 整理得到，（5分） 故函数的相伴特征向量，（6分） 则与同向的单位向量为.（8分） （3）由题意得，， 在中，，，因此，（9分） 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，（10分） 所以，（11分） ，（14分） ，（15分） 代入可得，（16分） 所以当时，取得最大值．（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册三角函数+必修第二册平面向量及其应用+复数+简单几何体的表面积和体积。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为, 所以, 则. 故答案为：C. 2．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】D 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 4．已知，则（ ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 5．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 6．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，棱的中点， 连接，则分别是正四棱台的高和斜高， 依题意，，解得， 在直角梯形中，， 则， 所以正四棱台的体积. 故选：A 7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示： 取BC的中点D，点H为底面的中心，所以 设外接球的半径为R，所以， 利用勾股定理可得，解得 则球的表面积为 故选：B. 8．在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由①，由和正弦定理可得②， 把②代入①可得，， 又由可得代入①可得，， 则角是锐角，，代入①可得，， 又由余弦定理，得， 于是，，因为线段上的一点，则， 因， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 【答案】BCD 【详解】设， 选项A，若，则，不一定是实数，A错； 选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确； 选项C，是实数，C正确； 选项D，设，则 ，D正确； 故选：BCD． 10．在中，若内角A，B，C满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由， 得，不妨令，，， 对于A，由余弦定理得，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，则， ，C正确； 对于D，，， 又，则，由，得，即， 因此，D正确. 故选：ACD 11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（   ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为8 【答案】AC 【详解】对于A，如图，过作直径， 由题意， 故A正确； 对于B，若为中点，连接，则 ， 由题意，则，故B错误； 对于C，若，故， 则， 又，则，同理可得，故， 故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值，为16，故D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为 . 【答案】1 【详解】设圆锥的底面半径为，其母线长为4， 则圆锥的侧面积为，球O的表面积为， 由题意可得，故， 故圆锥的底面半径为. 故答案为：. 13．定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 解得，则. 故答案为：. 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】 【详解】设，依题意，， 即，解得.则有， 则, 由可得为直角三角形， 故的面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【详解】（1）因为向量，且， 所以，（2分） 解得，（3分） 所以.（4分） （2）因为，（5分） 且， 所以，（7分） 解得.（8分） （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线，（9分） 即且，（12分） 所以且.（13分） 16．（15分） （1）在复数范围内解关于的方程：； （2）设是虚数单位，求复数为纯虚数的充要条件； （3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数，求点对应的复数. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为，（1分） 所以，即，（3分） 所以. 所以在复数范围内方程的根为.（4分） （2）,（5分） 若复数为纯虚数，则，（7分） 解得：，（8分） 若，则为纯虚数， 所以复数为纯虚数的充要条件为.（9分） （3）点A，B，C分别对应复数， 则，，，（10分） 设， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以，（11分） 所以，（12分） 所以，（13分） 解得：，所以，（14分） 故点对应的复数为.（15分） 17．（15分） 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.    (1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为棱长为的正四面体的体积，（2分） 如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，（3分） 所以，（5分） 所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，（6分） 所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.（7分）    （2）因为正四面体的棱长为， 所以，（9分） 则，（11分） 所以，（13分） 所以石凳的表面积，（14分） 即石凳的表面积约为， 所以粉刷一个石凳约需要元.（15分） 18．（17分） 在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角所对的边分别为，已知______． (1)求； (2)若的外接圆半径为1，且，求； (3)若，求锐角的面积的取值范围． 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）选①：由正弦定理可得， 即；（1分） 因为三角形中，，（2分） 所以， 整理得，（3分） 因为，所以，（4分） 由于，所以.（5分） 选②：因为，由正弦定理可得，（1分） 即，（3分） 因为在三角形中，（3分） 且，所以，（4分） 由于，所以.（5分） （2）因为，所以，即，（6分） 所以，因为，所以；（7分） 因为的外接圆半径为1，由正弦定理可得，所以，（8分） ， 由余弦定理可得，即.（10分） 所以.（11分） （3）因为，所以，； 所以的面积为（12分） ，（14分） 因为三角形是锐角三角形，所以，由可得，（15分） 所以，所以，（16分） 所以.（17分） 19．（17分） 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为，（1分） 当时，，（2分） 又，则，（3分） 所以，故.（4分） （2）因为， 整理得到，（5分） 故函数的相伴特征向量，（6分） 则与同向的单位向量为.（8分） （3）由题意得，， 在中，，，因此，（9分） 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，（10分） 所以，（11分） ，（14分） ，（15分） 代入可得，（16分） 所以当时，取得最大值．（17分） ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$