高二数学期中模拟卷03（新高考通用，数列+导数+计数原理+随机变量及其分布）-学易金卷：2024-2025学年高中数学下学期期中考试卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部+选择性必修第三册计数原理+随机变量及其分布。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】依题意， . 故选：A 2．数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（   ） A．24个 B．12 C．9个 D．6个 【答案】C 【详解】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数， 当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数， 所以组成不同的三位数有9个. 故选：C 3．已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得， 因为正项等差数列，则，则， 当时，，舍去； 当时，， 所以. 故选：A. 4．“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在之间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，由正态分布曲线的对称性可知，故，A错误． B选项，，故，B错误． C选项，，故，C错误． D选项，因为，D正确． 故选：D 5．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【详解】解：令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 6．已知函数在处有极大值，则实数c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．8 【答案】B 【详解】由， 得， 因为函数在处有极大值， 所以，解得或， 当时，，令，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为极大值点，为极小值点，所以不符合题意， 当时，，令，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为极大值点，为极小值点，所以符合题意， 综上 故选：B. 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 8．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 【答案】ABD 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 10．将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【答案】AC 【详解】对于A：男生不在头尾，则头尾为女生，剩下5人全排列， 所以不同排法有种，故A正确； 对于B：若男生不在头尾且相邻的不同排法有种， 所以男生不在头尾且不相邻的不同排法有种，故B错误； 对于C：因为高度要求已经固定，现只需选人即可， 则左边从剩余6人选择3人即可，所以不同的排法有种，故C正确； 对于D：若甲在头尾，不同排法有种； 若甲不在头尾，不同排法有种； 所以2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种，故D错误； 故选：AC. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．若，则 D．若方程有两个根，则 【答案】AC 【详解】对于选项A：由，得． 令，得，两边取自然对数整理得， 设，则， 当时，单调递减，且； 当时，，单调递增，且； 可知函数有两个变号零点，所以有两个极值点，故A正确． 对于选项B：由选项A可知，在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 所以可作出函数的大致图象如图所示， 所以只有一个零点，故B错误； 对于选项C：由选项B可知在上单调递增， 当时，，所以，故C正确； 选项D：根据选项B中函数的大致图象可知，若方程有两个根，则或，故D错误； 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】-30 【详解】的展开式的通项公式为， 故的展开式中的系数为， 故答案为：-30 13．若直线为曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程为， 化简可得， 又因为是曲线y的切线，所以， 解得. 故答案为：. 14．在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，，所以， 当时，，所以，所以， 所以 ， 因为， 所以，所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）计算： ； （2） 若 ，求x的值； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【详解】（1）.（3分） （2）依题意，，则，，（5分） 整理得：，（6分） 而，所以.（7分） （3）（8分） ，（11分） 因此，（12分） 即，所以.（13分） 16．（15分） 已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)8 (2)2或-2 (3) 【详解】（1）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故.（2分） （2）当时二项式为，由二项式定理通项公式得，（4分） 令，得，所以，（5分） 令，得，所以，（6分） 又，解得（舍去）或或，（7分） 所以或.（8分） （3）当 时二项式为， 由二项式定理通项公式得，（10分） 设第r项系数最大，则，（12分） 即，故，（14分） 所以二项式的展开式中系数最大的项为.（15分） 17．（15分） 已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，则； （1分） 当时，，（3分） 整理得，（4分） 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； （5分） 由得，即，（6分） 所以数列是常数列，，（7分） 所以数列的通项公式为（8分） （2）由（1）知，，（9分） 则， 于是， （10分） 两式相减得（11分） ，（14分） 所以.（15分） 18．（17分） 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为. (1)求； (2)求； (3)记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求. 参考资料：若为个随机变量，则. 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）因为第一场比赛由简单随机抽样中的抽签法决定，所以；（1分） 对于第二场可知： 若第一次甲参加比赛，则第一次甲胜即可参加第二场比赛； 若第一次甲未参加比赛，则第二次甲必参加比赛；（2分） 所以.（4分） （2）对于第场可知： 若第次甲参加比赛，则第次甲胜即可参加第场比赛； 若第次甲未参加比赛，则第次甲必参加比赛；（5分） 则，（7分） 可得， 且，（9分） 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，（10分） 所以.（11分） （3）记甲参加第次比赛的次数为，可知满足两点分布，则，（12分） 可得， 所以.（17分） 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，所以，（1分） 当时，，在上单调递增，（2分） 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增，（4分） 当时，在上单调递增，在区间上单调递减；（5分） （2）当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，（6分） 故，即在上恒成立， 所以当时，，（7分） 令且，则，（8分） 即，，…，，（9分） 所以累加得， 故当且时，.（11分） （3）由题对任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 令，，即在上恒成立， ①当时，由于， 则有，（12分） 令，所以， 令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，，（13分） 令，则，令，所以， 令，得， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意，（15分） ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，（16分） 即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是（17分） ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部+选择性必修第三册计数原理+随机变量及其分布。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 2．数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（   ） A．24个 B．12 C．9个 D．6个 3．已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 4．“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在之间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 6．已知函数在处有极大值，则实数c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．8 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 8．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 10．将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．若，则 D．若方程有两个根，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为 .（用数字作答） 13．若直线为曲线的切线，则 . 14．在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）计算： ； （2） 若 ，求x的值； （3） 若 ，求正整数n． 16．（15分） 已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 17．（15分） 已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（17分） 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为. (1)求； (2)求； (3)记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求. 参考资料：若为个随机变量，则. 19．（17分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部+选择性必修第三册计数原理+随机变量及其分布。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 2．数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（   ） A．24个 B．12 C．9个 D．6个 3．已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 4．“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在之间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 6．已知函数在处有极大值，则实数c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．8 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 8．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 10．将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．若，则 D．若方程有两个根，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为 .（用数字作答） 13．若直线为曲线的切线，则 . 14．在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）计算： ； （2） 若 ，求x的值； （3） 若 ，求正整数n． 16．（15分） 已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 17．（15分） 已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（17分） 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为. (1)求； (2)求； (3)记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求. 参考资料：若为个随机变量，则. 19．（17分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学期中模拟卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D B B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． -30 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）.（3分） （2）依题意，，则，，（5分） 整理得：，（6分） 而，所以.（7分） （3）（8分） ，（11分） 因此，（12分） 即，所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故.（2分） （2）当时二项式为，由二项式定理通项公式得，（4分） 令，得，所以，（5分） 令，得，所以，（6分） 又，解得（舍去）或或，（7分） 所以或.（8分） （3）当 时二项式为， 由二项式定理通项公式得，（10分） 设第r项系数最大，则，（12分） 即，故，（14分） 所以二项式的展开式中系数最大的项为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，，则； （1分） 当时，，（3分） 整理得，（4分） 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； （5分） 由得，即，（6分） 所以数列是常数列，，（7分） 所以数列的通项公式为（8分） （2）由（1）知，，（9分） 则， 于是， （10分） 两式相减得（11分） ，（14分） 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为第一场比赛由简单随机抽样中的抽签法决定，所以；（1分） 对于第二场可知： 若第一次甲参加比赛，则第一次甲胜即可参加第二场比赛； 若第一次甲未参加比赛，则第二次甲必参加比赛；（2分） 所以.（4分） （2）对于第场可知： 若第次甲参加比赛，则第次甲胜即可参加第场比赛； 若第次甲未参加比赛，则第次甲必参加比赛；（5分） 则，（7分） 可得， 且，（9分） 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，（10分） 所以.（11分） （3）记甲参加第次比赛的次数为，可知满足两点分布，则，（12分） 可得， 所以.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）的定义域为，所以，（1分） 当时，，在上单调递增，（2分） 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增，（4分） 当时，在上单调递增，在区间上单调递减；（5分） （2）当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，（6分） 故，即在上恒成立， 所以当时，，（7分） 令且，则，（8分） 即，，…，，（9分） 所以累加得， 故当且时，.（11分） （3）由题对任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 令，，即在上恒成立， ①当时，由于， 则有，（12分） 令，所以， 令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，，（13分） 令，则，令，所以， 令，得， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意，（15分） ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，（16分） 即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$