精品解析：重庆市两江育才中学校2025-2026学年下学期期中质量监测高二数学试题

重庆市两江育才中学校2025—2026学年度（下）半期质量监测 高二数学试题 时间：120分 总分：150 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. 设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（ ） X 0 1 P 0.6 m A. B. C. D. 4. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（ ）（附：） A. 婴儿90%在白天出生 B. 婴儿性别与出生时间无关联 C. 有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D. 婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 5. 某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 6. 某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 8. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若变量x与y的线性回归方程为，则x与y负相关 B. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好 C. 样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强 D. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点 10. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为72种 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13. 展开式中含项的系数为______. 14. 10个名额随机分给10个班级，允许有的班级没分到名额，设表示分到名额的班级个数，若的概率最大，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表．已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6． 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 （1）完成上面表格，判断能否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关并说明理由？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元）的数据如下表： 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求关于的线性回归方程. （2）利用（1）中的线性回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭纯收入. 参考公式： ， . 18. 已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． （1）求的方程； （2）若，证明：直线过轴上定点； （3）若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 19. 已知函数． （1）求函数的极值： （2）设，，，恒成立，求实数m取值范围； （3）若（），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市两江育才中学校2025—2026学年度（下）半期质量监测 高二数学试题 时间：120分 总分：150 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率的公式求解即可. 【详解】设第1次抽到次品为事件A，则 设第2次抽到次品为事件B，则 故第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率：. 故选：D 2. 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. 3. 设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（ ） X 0 1 P 0.6 m A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故C正确； 而方差为，故B正确； 可得，故D错误. 4. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（ ）（附：） A. 婴儿90%在白天出生 B. 婴儿性别与出生时间无关联 C. 有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D. 婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 【答案】D 【解析】 【分析】求出并与比较即可求解. 【详解】因为， 依据小概率值的独立性检验， 所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1． 故选：D． 5. 某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【详解】从4名党员中选出2人作为一组，剩余2人各成一组，分组方法数为组合数. 将分好的3组全排列，对应3个不同的社区，排列方法数为. 根据分步乘法计数原理，总安排方法数为种. 6. 某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用频率估计概率，再由全概率公式计算可得. 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 7. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案. 【详解】设 “向右下落”，则“向左下落”，且， 设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以， 于是（）. 所以，A错误； ， ， 所以，B错误，D正确； ，C错误. 8. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 【答案】B 【解析】 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若变量x与y的线性回归方程为，则x与y负相关 B. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好 C. 样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强 D. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用成对数据的相关关系、相关系数、残差图的性质及直线回归方程的性质逐项判断即可. 【详解】对于选项A，变量x与y的线性回归方程为，则x与y正相关，错误； 对于选项B，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好，正确； 对于选项C，样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强，正确； 对于选项D，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任何一个样本点，错误. 故选：BC 10. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为72种 【答案】BCD 【解析】 【分析】由全排列公式判断A，B；由捆绑法判断C；由插空法判断D. 【详解】对于A，3男3女排成一排共有种不同的排法，故A错误； 对于B，男生甲在排头或在排尾的排法总数为种，故B正确； 对于C，男生甲、乙相邻的排法总数为种，故C正确； 对于D，男女生相间排法总数为种，故D正确. 故选：BCD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据展开式最高次为6次确定的值，再利用二项式展开通项计算，最后结合赋值法分别计算系数和、导数值赋值的结果，逐一验证各选项是否正确. 【详解】对于A：等式右边最高次项为，左边最高次项为， 故，得，A正确； 对于B：为的系数，的通项为， 因此 ，B错误； 对于C：令，得 ； 令，得 ， 故 ，C正确； 对于D：对等式两边求导得， 令代入得左边 ， 即 ，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】0.8## 【解析】 【详解】由可得，因， 由正态曲线对称性，得， 则. 13. 展开式中含项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的展开方法求解. 【详解】展开式中含的项为， 故答案为: . 14. 10个名额随机分给10个班级，允许有的班级没分到名额，设表示分到名额的班级个数，若的概率最大，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意表示从10个班中任选个班，再把10个名额分配到个班中等价于把10个元素分配到个非空集合中，且10个名额随机分给10个班级共有种方法，应用古典概型的概率求法确定最大概率对应的值即可. 【详解】将10个名额和9个隔板排成一排，需要19个位置，选9个位置放置隔板， 所以将10个名额随机分给10个班级得不同分配法共有种不同的分法， 当时，有种分法； 当时，第一步选出两个班级有种，第二步分配名额， 相当于将一个隔板放在10个名额形成的9个空位中，有种， 所以共有种； 当时，第一步选出3个班级有种，第二步分配名额， 用隔板法分给3个班级有种，所以共有种； 照此求解得：时有， 时有， 时有， 时有， 时有， 时有， 时有， 因为，分子越大对应概率越大， 所以当，即时概率最大． 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表．已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6． 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 （1）完成上面表格，判断能否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关并说明理由？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 补全列联表见解析，没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关 （2） 分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）先根据抽取到喜欢跑步学生的概率求出对应总人数，补全2×2列联表，计算卡方统计量与临界值比较判断相关性； （2）先按分层抽样比例计算抽取的8人中男女生人数，再依据超几何分布求解X的分布列和数学期望. 【小问1详解】 由题意得，200名学生中喜欢跑步的总人数为， 不喜欢跑步的总人数为 ， 补全2×2列联表如下： 性别 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 总计 120 80 200 计算卡方：  ​ ， 因为 （90%把握对应的临界值）， 因此没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关. 【小问2详解】 不喜欢跑步的学生中，男生60人、女生20人，比例为， 按比例分层抽取8人，因此抽取男生6人、女生2人， 表示抽取3人中女生的人数，则的可能取值为， ，，，​ 因此的分布列为： 数学期望： . 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，结合二面角为锐二面角，即可得解. 【小问1详解】 因为平面，又因为平面， 所以. 在正方形中，易知， 又因为，平面， 因此平面. 【小问2详解】 易知两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则. 由（1）可知，平面，故是平面的法向量. 设平面的法向量为， 则有，即，得，取，则， 即， 则， 又因为二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 17. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元）的数据如下表： 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求关于的线性回归方程. （2）利用（1）中的线性回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭纯收入. 参考公式： ， . 【答案】（1）；（2）答案见解析，预测2018年该地区农村居民家庭纯收入为7.3千元. 【解析】 【分析】 （1）先利用平均数的计算公式，由所给数据计算 ， ，代入公式中求出，从而得到线性回归方程；（2）利用第一问的结论，将 0代入即可求出所求的收入． 【详解】（1）， ， , , , ； （2）， 所以2009年至2015年该地区农村家庭纯收入逐年增加， 平均每年增加0.5千元左右. 将代入回归方程得， 故预测2018年该地区农村居民家庭纯收入为7.3千元. 【点睛】本题主要考查线性回归方程及其应用，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．难点在于计算稍微复杂,要认真仔细. 18. 已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． （1）求的方程； （2）若，证明：直线过轴上定点； （3）若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过的点，代入方程求出即可得解； （2）设，利用三角形面积比求出即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，由斜率公式及韦达定理化简即可得出，据此求出范围. 【小问1详解】 将点和点代入（）得， 解得，，所以的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． 【小问3详解】 设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 19. 已知函数． （1）求函数的极值： （2）设，，，恒成立，求实数m取值范围； （3）若（），求证：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断单调性即可得到极值； （2）将分离后分别求出不等式左边的最小值和右边的最大值，即可得到的范围； （3）首先根据（1）中分析得到的分布，然后将原不等式转为，构造函数得到其最小值，从而得到与也即与的关系，再利用单调性得到. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，，取极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为，所以等价于， 设，，问题转为恒成立，只需， ，则，令得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 的极大值也即最大值为， 由（1）可知的极小值也即最小值为，故有，即. 【小问3详解】 若，由（1）可知在极值点的两侧，则有， 等价于，考虑， 则， 等号在即时取得，所以单调递增， 因为，则， 即，又因为，即得， 因为且由（1）可知在单调递减， 所以，原不等式得证. 【点睛】对于双变量的不等式恒成立问题，可以通过分离变量把问题转为两个函数的最值比较问题，从而简化分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $