专题04 数列(十一大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题04 数列 题型概览 题型01 定义法及其应用 题型02 递推公式 题型03 分段数列 题型04 等差、等比数列及其前n项和的性质 题型05 数学归纳法 题型06 数列的单调性 题型07 利用函数解数列的最值 题型08 数列求和的方法、前n项和的应用 题型09 数列的实际应用题 题型10 列举法；分类讨论思想 题型11 解答题 ( 题型01 )定义法及其应用 1．（24-25高三上·上海·期中）等比数列中，，则 . 【答案】9 【分析】运用等比中项公式计算即可. 【解析】等比数列中，，则,即，解得. 故答案为：9. 2．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 【答案】128 【分析】由地推公式得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式得到的值. 【解析】∵， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 故答案为：128. 3．（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，可得，再利用前项和公式与等差中项，即可求得的值. 【解析】因为数列为等差数列，所以，解得，则. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）数列中，其前项和，则 ． 【答案】11 【分析】根据给定条件，利用计算得解. 【解析】. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为 . 【答案】 【分析】由已知利用等差数列通项公式与前项和公式得到关于的不等式，结合得解. 【解析】等差数列中，由，所以， 设等差数列的公差为，则得， 所以， 所以，，， 所以，得，得， 又，所以. 故答案为：. ( 题型02 )递推公式 6．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 【答案】/ 【分析】构造等差数列求得的表达式即可求解. 【解析】若，则，因为，所以都大于0， 从而， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，再代入计算可得. 【解析】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知数列中，，且对于任意正整数有，则 . 【答案】 【分析】由题意可得,又,则数列是以1为首项,1为公差的等差数列,然后结合等差数列通项公式的求法求解即可. 【解析】已知数列中,,且对于任意正整数有, , ,即, 又 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列，即, 又∵,∴. 故答案为:. ( 题型03 ) 分段数列 9．（24-25高三上·上海长宁·期中）记为数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】由可求得结果. 【解析】因为为数列的前项和，且， 则. 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式为，则= 【答案】 【分析】由等比数列的前项和公式求解即可； 【解析】数列的通项公式为， 则. 故答案为：. 11．（23-24高三上·上海杨浦·期中）数列中，，，使对任意的（k为正整数）恒成立的最大k值为（    ） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是等于，即可得答案. 【解析】由已知可得，数列：， 可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列： ，； ，； ; 因为， 所以满足对任意的恒成立的最大值为． 故选：B. ( 题型04 ) 等差、等比数列及其前n项和的性质 12．（23-24高二下·上海闵行·期中）设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【解析】由题意可知，，由等差数列的性质可知，， 所以. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 【答案】 【分析】设，，，再根据得出的关系，进而可得. 【解析】设，，， 则，. 故，则，，且. 故，，. 则，，故. 故答案为：. 14．（21-22高一下·上海浦东新·期中）各项均为正数的等比数列满足，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，结合等比数列的下标进行求解即可. 【解析】因为 所以， 故选：C 15．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，由任意性可得数列为等比数列，求出公比及前项和即可得解. 【解析】在数列中，对任意正整数，，都有，对，取， 则有，因此数列是首项，公比的等比数列， 则，而恒成立，于是， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 16．（23-24高三下·上海·期中）已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质以及前项和性质求解即可. 【解析】在等差数列中，由，得，因为成立，由对称性知，， 则， 所以 所以 所以， 即，解得. 故答案为： 17．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知数列是等差数列，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的前项公式结合等差数列的性质即可得解. 【解析】因为数列是等差数列， 所以， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 18．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求解； 【解析】因为为等差数列，所以，， 两式相加得： ， 故答案为：. ( 题型05 )数学归纳法 19．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【分析】利用数学归纳法的性质分析式子前后的变动情况，再求解答案即可. 【解析】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 20．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 21．（20-21高二上·上海黄浦·期中）用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】时，最后一项为，时，最后一项为，由此可得由变到时，左边增加的项. 【解析】由题意，时，最后一项为，时，最后一项为 所以由变到时，左边增加的项为，增加了项 故选：D ( 题型06 )数列的单调性 22．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【解析】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 23．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【解析】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 24．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论，根据为严格增数列列不等式，从而求得的取值范围. 【解析】若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列： 若，则，所以， 此时， 所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以， 由， 该式在时恒成立； 由. 当时，， 又，所以，此时：， 因为，，所以. 即在时成立. 综上可知，的取值范围为：. 【点睛】方法点睛： 对于数列单调性与参数取值范围的问题，分类讨论是关键方法.根据数列通项公式中参数的不同取值范围，分别分析数列的性质，然后综合得出参数的取值范围. 在分析数列单调性时，利用数列相邻两项的差值或比值进行判断，本题主要通过比较相邻两项的大小来确定数列是否递增. ( 题型07 ) 利用函数解数列的最值 25．（23-24高二下·上海·期中）给定数列，则对所有最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果. 【解析】由可得或，即， 又函数的图像开口向下， 所以数列的前3项为负数，当时，数列中的项均为负数， 在的前提下，的最大值是， 其中， 所以 故答案为： 26．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知项数为的等差数列满足，.若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】设公差为，通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系，再结合二次函数的性质得到的最大值. 【解析】设等差数列的公差为， 由，，得到， 即， 当时，恒有，即， 所以， 由，得到， 所以，， 整理得到，令， 当时，函数单调递增， 而，， 所以的最大值是. 故答案为： ( 题型08 )数列求和的方法、前n项和的应用 27．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且.设，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式进而得到，结合裂项法求和，即可求解. 【解析】解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 所以， 所以数列的前项和为：. 28．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并项求和法求和即得. 【解析】数列中，，，而， 所以. 故选：C 29．（23-24高二上·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推公式可判断该数列为等差数列，可得通项公式，再利用裂项相消法求和. 【解析】由已知，， 可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， 所以， 故选：A. 30．（22-23高三上·上海静安·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由数列的前项和求出通项，可得数列是等差数列，利用首项和公差求其前项和. 【解析】数列中，前项和， 时，， 时， ，时，也满足， ∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4 的等差数列， 则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和. 故选：C 31．（24-25高二上·上海·阶段练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【解析】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 32．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式恒成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项求出公比，再利用前n项和公式求出，然后逐项判断即得. 【解析】设等比数列的公比为，，由，得， 而，则，而，解得，有， 于是， 显然与不恒等，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B 33．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，则，根据求出的值，可得出数列的通项公式，然后对任意的，计算出，即可得解. 【解析】设等差数列的公差为，则， 因为、、成等比数列，则，即， 即，因为，解得， 所以，， 所以，， 对任意的，， ，， ， 所以，， 因为，故数列的前项和为. 故答案为：. ( 题型09 ) 数列的实际应用题 34．（21-22高二上·上海普陀·期中）有一个细胞团开始时有4个细胞，每次分裂前死去1个，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则（为正整数）次分裂之后共有细胞的个数是 . 【答案】 【分析】设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式, 通过构造等比数列即可求得通项公式. 【解析】由题意可设次分类后共有个细胞， 则第次分裂后共有细胞个数为， 即,且， 对数列等式两端同时减去2,可得， 即,， 所以数列是以为首项,为公比的等比数列， 所以,化简可得， 即次分裂之后共有个细胞. 故答案为: 35．（22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半.第3天结束后，两只老鼠相距 尺. 【答案】 【分析】根据等比数列的前和公式进行求解即可. 【解析】设大老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为；小老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和为.则，则，从而相距尺. 故答案为： 36．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【答案】 【分析】根据已知第个圆柱的高，底面半径，应用等比数列前n项和公式求工艺品的表面积. 【解析】由题设，第个圆柱的高，底面半径， 所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为， 则侧面积之和为， 底面积之和为， 所以工艺品的表面积为. 故答案为： 37．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【答案】2 【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数. 【解析】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故答案为：2 ( 题型10 ) 列举法；分类讨论思想 38．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知有穷数列各项均为整数且是严格增数列，若，，则n取最大值时，的值为 . 【答案】73 【分析】将n取最大值转化为项数最多，然后此时的前为公差为1的等差数列，然后计算临界值即可. 【解析】满足， 有穷数列各项均为整数且是严格增数列，则n取最大值时，即项数最多时， 此时为公差为1的等差数列，且首项尽可能的小， ，， ， ， ， 故当时，，符合条件； 当时，，不满足，不符合条件； 故n取最大值时，. 故答案为：73 39．（23-24高一下·上海·期中）已知等差数列与等比数列的首项均为1，公比且，若集合，则集合元素最多有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据一次函数和指数函数的单调性研究方程，根据解的情况确定选项即可. 【解析】等差数列与等比数列的首项均为1，公比且， 可得， 由得，显然当为一个解； 当时，点在一条上升的直线上， 点在一条上升的指数曲线上，这两条线最多有2个交点， 当时，点在一条下降的直线上， 点在一条下降的指数曲线上，这两条线最多有2个交点， 当或时，直线与曲线只有1个交点， 它们最多有两个交点，即集合元素最多有2个. 故选：A. ( 题型11 ) 解答题 40．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 【答案】(1)； (2)，最小值为. 【分析】（1）根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式； （2）根据（1）写出等差数列前n项和公式，利用二次函数性质求其最值. 【解析】（1）设的公差为d，则，解得， 所以. （2）由（1）可得， 当或时，取得最小值，最小值为. 41．（23-24高三上·上海·期中）已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，联立化简变形可得即证； （2）由（1）可得，即可求出数列的通项，结合即可求出数列的通项. 【解析】（1）因为、、成等差数列，、、成等比数列， 所以①，②， 又数列、的各项均为正数， 则由②可得③， 将③代入①，得对任意，有， 即， 所以数列是等差数列. （2）设数列的公差为， 由， 得，， 所以， 由已知，当时，， 而也满足此式， 所以，. 42．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【解析】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 43．（23-24高三上·上海闵行·期中）等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出和； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，即可得解. 【解析】（1）设公差为，由，且，可得， 解得，所以，. （2）由（1）可得， 所以 ， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 44．（23-24高三上·上海宝山·期中）在一个水塘里，第一天有1朵荷花开，以后每天荷花的数量都是前一天的2倍，而到第30天的时候，整个荷塘都开满了荷花（这就是著名的荷花定律）.荷花引来百鸟鸣，鸟鸣声强级数y（单位:分贝）与声强度数x（瓦/平方米）的关系式为： (1)这里面有一个有趣的问题，荷花究竟在第几天开满半个水塘呢? (2)如果声强度数是10瓦/平方米，求相应的声强级数 【答案】(1)29天 (2)分贝 【分析】（1）每天荷花的数量都是前一天的2倍，则荷花朵数为等比数列，设等比数列求出通项公式，开满荷塘以及开满半个荷塘都为等比数列求和，列出不等式求解即可. （2）找到10瓦/平方米所在范围，代入计算求出结果即可. 【解析】（1）解：设第天水塘中的荷花朵数为，则， 到第30天的时候，整个荷塘都开满了荷花，则有朵， 若荷花在第天开满半个水塘，则有，解得：， 所以荷花在第29天开满半个水塘. （2）声强度数是10瓦/平方米，则，， 所以声强级数（分贝）. 45．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知数列满足，，，（n为正整数）， (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，（n为正整数），是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有? 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）先利用等差数列求出，再利用可得； （2）先根据求，再讨论的奇偶可得答案. 【解析】（1）因为，，所以， 因为，所以， 所以. （2）由（1）得，整理得； 假设存在整数，使得对任意正整数n，都有， 则； 当为奇数时，上式化为，即； 当为偶数时，上式化为，即； 综上可得，因为，所以； 所以存在整数使得对任意正整数n，都有. 46．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知数列，其前n项和满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，，，记为的前n项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由条件可得，，然后可得，，两式相减即可证明. （2）由（1）的结论结合已知求出，再利用等比数列前n项和公式求出，然后计算出即可. 【解析】（1）由，，得，， 两式相减得，即，于是， 上述两式相减得， 化简得，即， 所以数列为等差数列． （2）由，得，得，而，由（1）知，为等差数列，则， 而数列满足，则，即， 又，，因此数列为等比数列，，公比，， 则，从而， 所以． 一、填空题 1．（21-22高三上·上海浦东新·期中）已知数列、、的通项公式分别为，，，其中，，、、、，令（表示、、三者中的最大值），则对于任意，的最小值为 . 【答案】 【分析】当时可得，再根据数列的单调性求得，取得最小值，而，分别求出、，比较可得时的最小值；然后当、时，根据数列的单调性，分别求出可能取得最小值时的值，比较即可得答案. 【解析】解﹔当时可得， 因为数列是单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时， 因为，而， ， 又，所以当时，的最小值为； 当时，， 因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时， 因为，而， ， 此时的最小值为，而， 当时，，， 所以， 令， 因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以时，取得最小值，此时， 因为，，， 又因为，此时的最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列最值的求解，解题的关键在于根据分析出数列的单调性，找出临界值点，通过比较大小后得出结果. 2．（24-25高二上·上海·期中）设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 【答案】 【分析】根据题意分类讨论结合分组求和求出，进而可得由题意，则为奇数，进而分析计算即可. 【解析】当为偶数，则 当为奇数，则 因此， 当时，， 于是 ， 依题意，，则，为奇数， 又，则， 所以集合中元素的个数． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：分为奇数和偶数和而得的表达式，进而探讨是求解的关键. 二、单选题 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的函数特性结合反例一一分析结论即可. 【解析】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为， 则，所以， 因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以： （i）若，则，则； （ii）若，则，则不存在； （iii）若，，则；综上①正确； 对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为， 显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得 ：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 【答案】A 【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指数型，并举例说明即可. 【解析】对于①：因为数列、均为等差数列， 设，则， 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 若，可知的符号不变，不满足交错数列； 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 综上所述：对任意等差数列、，均不是的交错数列，故①正确； 对于②：因为数列为等比数列，设， 等比数列的公比为 不妨假设，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 同理若，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列，故②正确； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 三、解答题 5．（22-23高二下·上海·期中）已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为． (1)若，请写出数列的前5项； (2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件； (3)若，2，3，，求数列的通项公式． 【答案】(1)1，2，2，2，3 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，求得列举求解； （2）（充分性）由是奇数，，3，为偶数，得到对于任意，都是奇数证明；（不必要性）举例当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时证明； （3）先论证为奇数时，若为偶数，②为偶数，若为奇数，由是奇数，得到为奇数 ，为偶数，得到为偶数，与矛盾，从而得到与同奇偶，再由为奇数或偶数，以此类推求解. 【解析】（1）解：因为， 故当时，，则是第二项起的等差数列， 所以， 所以， 则， 即数列的前5项为：1，2，2，2，3； （2）证明：（充分性） 是奇数，，3，为偶数， 对于任意，都是奇数， ， 数列是单调递增数列． （不必要性） 当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，，3，均为奇数， ，数列是单调递增数列， “为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的不必要条件． 综上，“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件． （3）①当为奇数时，若为偶数， 若是奇数，则为奇数，为偶数，与矛盾； 若为偶数，则为偶数，为奇数，与矛盾． 当为奇数时，不能为偶数； ②当为偶数，若为奇数， 若为奇数，则为偶数，为偶数，与矛盾， 若为偶数，则为奇数，为奇数，与矛盾， 当为偶数时，不能是奇数． 综上，与同奇偶， 若为奇数，则，若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾， 若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾， 所以为偶数，则，若与同为奇数，则此时， 若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾， 所以与同为偶数，则， 以此类推，，2，3，... 得到当时，，当时，为偶数即可满足. 所以. 6．（24-25高二上·上海·期中）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，，，. 【分析】（1）利用等差、等比数列通项公式就可求解； （2）利用列举求和思想，就可作出判断，再进行证明即可； （3）利用二次函数对称性和指数函数单调性，就可以进行判断，再结合列举即可得到答案. 【解析】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得 （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：， 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有， 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有； （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：， 而当时，， 当时， ， 所以， 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：， 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，， 【点睛】方法点睛：此分段数列，用好列举思想和分类求和思想，就可以作出准确判断. 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列 题型概览 题型01 定义法及其应用 题型02 递推公式 题型03 分段数列 题型04 等差、等比数列及其前n项和的性质 题型05 数学归纳法 题型06 数列的单调性 题型07 利用函数解数列的最值 题型08 数列求和的方法、前n项和的应用 题型09 数列的实际应用题 题型10 列举法；分类讨论思想 题型11 解答题 ( 题型01 )定义法及其应用 1．（24-25高三上·上海·期中）等比数列中，，则 . 2．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 3．（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 4．（24-25高二上·上海·期中）数列中，其前项和，则 ． 5．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为 . ( 题型02 )递推公式 6．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 8．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知数列中，，且对于任意正整数有，则 . ( 题型03 ) 分段数列 9．（24-25高三上·上海长宁·期中）记为数列的前项和，若，则 . 10．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式为，则= 11．（23-24高三上·上海杨浦·期中）数列中，，，使对任意的（k为正整数）恒成立的最大k值为（    ） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 ( 题型04 ) 等差、等比数列及其前n项和的性质 12．（23-24高二下·上海闵行·期中）设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则 ． 13．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 14．（21-22高一下·上海浦东新·期中）各项均为正数的等比数列满足，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 15．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 16．（23-24高三下·上海·期中）已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为 . 17．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知数列是等差数列，，则 . 18．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 ( 题型0 5 )数学归纳法 19．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 20．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 21．（20-21高二上·上海黄浦·期中）用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 ( 题型0 6 )数列的单调性 22．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 23．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 24．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . ( 题型0 7 ) 利用函数解数列的最值 25．（23-24高二下·上海·期中）给定数列，则对所有最大值为 ． 26．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知项数为的等差数列满足，.若，则的最大值是 . ( 题型0 8 )数列求和的方法、前n项和的应用 27．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且.设，则数列的前n项和 . 28．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 29．（23-24高二上·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高三上·上海静安·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·上海·阶段练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 32．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式恒成立的是（  ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为 . ( 题型 09 ) 数列的实际应用题 34．（21-22高二上·上海普陀·期中）有一个细胞团开始时有4个细胞，每次分裂前死去1个，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则（为正整数）次分裂之后共有细胞的个数是 . 35．（22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半.第3天结束后，两只老鼠相距 尺. 36．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 37．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . ( 题型 10 ) 列举法；分类讨论思想 38．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知有穷数列各项均为整数且是严格增数列，若，，则n取最大值时，的值为 . 39．（23-24高一下·上海·期中）已知等差数列与等比数列的首项均为1，公比且，若集合，则集合元素最多有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 ( 题型 11 ) 解答题 40．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 41．（23-24高三上·上海·期中）已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式． 42．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 43．（23-24高三上·上海闵行·期中）等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设，若恒成立，求实数的取值范围. 44．（23-24高三上·上海宝山·期中）在一个水塘里，第一天有1朵荷花开，以后每天荷花的数量都是前一天的2倍，而到第30天的时候，整个荷塘都开满了荷花（这就是著名的荷花定律）.荷花引来百鸟鸣，鸟鸣声强级数y（单位:分贝）与声强度数x（瓦/平方米）的关系式为： (1)这里面有一个有趣的问题，荷花究竟在第几天开满半个水塘呢? (2)如果声强度数是10瓦/平方米，求相应的声强级数 45．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知数列满足，，，（n为正整数）， (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，（n为正整数），是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有? 46．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知数列，其前n项和满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，，，记为的前n项和，求证：． 一、填空题 1．（21-22高三上·上海浦东新·期中）已知数列、、的通项公式分别为，，，其中，，、、、，令（表示、、三者中的最大值），则对于任意，的最小值为 . 2．（24-25高二上·上海·期中）设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 二、单选题 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 三、解答题 5．（22-23高二下·上海·期中）已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为． (1)若，请写出数列的前5项； (2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件； (3)若，2，3，，求数列的通项公式． 6．（24-25高二上·上海·期中）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$