黄金卷06（山西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A． B． C． D． 2．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（　　） A．6.06×104立方米/时 B．3.136×106立方米/时 C．3.636×106立方米/时 D．36.36×105立方米/时 4．一只杯了静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　） A． B． C． D． 5． 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在菱形ABCD中，是一条对角线，是AC上一点，过点作，垂足为，连接DE.若，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 8．某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 9．如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，，，，，它们分别是所在对角线的黄金分割点若，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，长方形的宽为a，长为b，若单项式与是同类项，两个圆的圆心均为长方形的顶点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为　 　 ． 12．如图，有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=10，则S2= 　 　 ． 13．如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为　 　． 14．蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窝”，观察下列的蜂窝图．若将每一个六边形“ ”看成1个建筑单位， 则第1个图中共有4个建筑单位，第2个图中共有7个建筑单位，第 个图案中共有　 　个建筑单位． 15．如图，在中，，，平分交于点D，点E在上，，点F为的中点．若，则的长为　 　． 三、解答题：（本大题共8题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算：. （2）化简：，下面是小李和大李两同学的部分运算过程： 小李同学：解：原式 李同学：解：原式= 请选择一种解法，写出完整的解题过程. 17．（8分）在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系． 18．（9分）某初中要调查学校学生（学生总数2000人）双休日的学习状况，采 用下列调查方式： ①从七年级选取200名学生： ②某个时间段去操场选取200名学生： ③选取不同年级的200名女学生： ④按照一定比例在不同年级里随机选取200名学生. （1）上述调查方式中合理的是　 　，（填写序号） （2）调查小组将得到的数据制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2)，可知，在这个调查中，200名学生双休日在家学习的有　 　人. （3）请估计该学校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数. 19．（8分）如图①是我国传统的计重工具——杆秤，用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(千克)，则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据： x(厘米) 1 2 4 7 11 12 y(千克) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在上表x，y的数据中发现有一对数据记录错误，在图②中通过描点的方法观察判断哪一对是错误的. （2）根据(1)的发现，问：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少? 20．（8分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点D． 测量过程与 数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内） （参考数据：，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高度，即求线段的长．（注：请用（1）中坡面的水平距离和垂直距离的整数值进行计算） 21．（8分）阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”， （1）如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则______； （2）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步 在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步 如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步 折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步 展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： ①图③中______；（保留根号） ②如图③，判断四边形的形状，并说明理由； ③请直接写出图④中所有的黄金矩形． 实际操作： ④请结合图④，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来． 22． （12分）综合与实践 【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠.两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止.我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线. 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系. （1）【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； （2）【解决问题】 双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作.从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等.小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系. ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误.小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由. 23．（12分）综合探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图1是一张矩形纸片ABCD，其中，． 【操作发现】 （1）奋进小组先将图1中的矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使得点C落在点E处，BE交AD于点P，得到图2，他们发现．请你证明这个结论； （2）创新小组将图1中的矩形纸片折叠，使得点A落在对角线BD上，记为点G，折痕为BF，得到图3，则　 　； （3）【实践探究】 希望小组在创新小组操作的基础上，将图3中的纸片展开，然后提出一个问题：将矩形纸片ABCD沿直线AH折叠，使得点B落在对角线BD上的点处，然后将纸片展平，如图4所示，折痕AH交BF于点M，交BD于点N，试判断的形状； （4）请你根据希望小组的操作，求点G到AD的距离． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$命学科网 Www,ZX×k,C0m 让敦与学更高效 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷06 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 1 2 3 5 6 7 8 10 B C C D D C B A 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分） 0 163 11.8 12.3 14.(3n+1) 15.22 三、解答题：（本大题共8题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(1)解：原式1+4-3 3分 =2: 4分 2解，小铜学解，原式=（想） 5分 2x2-2x-x2-x(x+1)x-1) x+1)x-1) x(x-3)(x+1)(x-1) =(x+1)(x-1) X 6分 x-3: 7分 大李同学：解：原式=（希名）2兴 .8分 2xx2-1xx2-1 9分 ΓX十1xx-1x =2(x-1)-(x+1) =2x-2-x-1 X-3. 10分 17,(8分)(1)解：如图△FBG即为所求： 3分 以B为圆心，在BE上截取BF=AB,再以F为圆心，AE为半径画弧，再以B为圆心，BE为半径画弧，两 弧交于点G,即为所求： 1/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让教与学更高效 AB BF,AE FG,BE=BG, 故△ABE≌△FBG (SSS); (2)解：在矩形ABCD中，AD=BC,∠ABC=∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°. :△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG, 点A的对应点F在线段BE上， G :△ABE兰△FBG ∴∠BFG=∠BAE=90,BA=BF. ,在Rt△BAE中，∠ABE=60° ∠AEB=30. ·BE=2BA ·BE=2BF 又：FG⊥BEFG与BC交于点Q, ∴BQ=EQ, ∴∠QBE=∠QEB=30°， ÷∠EQC=∠QBE+∠QEB=60, 2/8 命学科网 www,Zx×k,CDm 让教与学更高效 又：EC=BQ EC EQ, ÷△EQC是等边三角形. ∴∠ECQ=60°，EC=CQ 5分 在Rt△EDC中，∠ECD=30°， ·CE=2DE, ∴BQ=CQ=2DE, 6分 .AD BC=BQ+CQ=4DE, ·AE=AD-DE=3DE 8分 18.(9分)解：(1)根据题意，调查方式中合理的是④， 故答案为：④： 小3分 (2)在这个调查中，200名学生双休日在家学习的有：20060%=120（人）， 故答案为：120： 446分 (3)用该校学生的总人数乘以样本中双体日学习时间不少于4小时的人数所占的百分比即可估算出该 校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数： 解：估计该学校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数为： 24+50+16+36+6+10×2000=1420人.… 2007 ……9分 19(8分)(1)解：描点连线如下图. y(仟克) 4 6810立x厘米) 观察图象可知，x-7,y=2.75这组数据错误. 3分 (2)解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(x0), ,点(1,0.75)与(2,1)在其图象上， 3/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让教与学更高效 k+b=0.75, 2k+b=1, 1 解得 1 1 y=4x+ 5分 b21 当x=16时， 、1 1 y=4×16+2=45. 所以秤杆上秤陀到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5千克.8分 19(8分)(1)解：过点C作CH⊥AD,垂足为H,如图， 在Rt△ACH中，∠AHC=90,∠CAH=20°，AC=100, ”血LCaH-g是。COSLCAH-是 CH 2分 ÷CH=AC×sin∠CAH=100×sin20°≈100×0.34≈34(m), AH=AC×c0s∠CAH=100×cos20°≈100×0.94≈94(m). 答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是94m和34m:4分 (2)解：如图，延长CN交BD于点G,设CG=x, B G A H D 则四边形CHDG是矩形， .HD=CG=x,GD=CH=34, ·AD=AH+HD=94+x, ∠BAM=45°， ·BD=AD=94+x, BG=BD-DG=BD-CH=94+x-34=60+x......................................5. 4/8 命学科网 www,Zx×k,CDm 让敦与学更高效 在RtA BCG中，∠CGB=90°，∠BCG=50°， tanLBCG=C BG .tan50°= BG. CG' 即60+x≈119. 446分 解得x316(m) ÷BD=ADN94+316=410(m), …7分 答：山的高度为410m. 8分 21.(8分)1)解：根据定义可知，C为线段A8的黄金分制点，则是=子 BC=AB-AC =10-AC. 10-ACV5-1 AC 2 解得：AC=5v5-5 故答案为：5v5-5. 2分 (2)①如图3，根据题意可得BC=MN=2,AC=NC=MN=1 ·AB=√BC2+AC2=V22+12=V5 故答案为：√5 …4分 ®先求山0-号 可得矩形BCDE是黄金矩形，再结合贺-品=学即可证出矩形ADE 2 是黄金矩形： 5分 ④如图，在矩形BCDE上添加线段GH,使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGH亚为所要作的黄 金矩形， MFB E N A C D .'CD-GH=DH=V5-1,DE=MN=2, 5/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 EH=DE-DH=2-(5-1)=3-5, EH3-5V5-1 GH5-1 2 ∴四边形BGH正为黄金矩形. 8分 22(12分)(1)解：由题意，根据表格数据可以作图如下 有12345.7。年1 图象过(3,10)，(4.2,10)， 抛物线的对称轴为直线x=3+42=3.6,顶点为36,1.5)， 2 ∴.可设抛物线为y=a(x-3.6)2+11.5, 又抛物线过(3,10)，.10=a(3-3.6)2+11.5, a=-要抛物线为y=-2安c-362+115 4分 (2)解：①>：②都不会失误，理由如下：由题意，对于小美而言，其对应抛物线为 y=-26-362+115,∴令x=46,期y=号>5， 8分 又对于小丽而言，其对应抛物线为y=-5x2+35x-50,令x=4.6,则y=5.2>5, 因此，她们本次训练不会失误。…… 12分 23(12分)(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AB-CD,∠BAD=∠BCD90°， ,△BED是由△BCD翻折得到的， ∴.CD=DE,∠BCD=∠BED=90°， .ABED,∠BAD=∠BED, ∴△APB≌△EPD(AAS), ∴.AP=EP. 43分 6/8 命学科网 Www,ZX×k,C0m 让敦与学更高效 (2)5 6分 (3)解：△AMF是等腰三角形， 理由如下：：△BGF是由△BAF折叠得到的， ∴.∠ABM=∠NBM, ,△ABH是由△ABH折叠得到的， ∴.AB=AB,BIH-B'H, ∴.∠ANB=∠ANB'-90P, .∠ABD+∠BAN-90°， ,'∠BAD=90°， ,∴.∠ABD+∠ADB-90°， ∴.∠BAN=∠ADB, ∴.∠ABM+∠BAN=∠NBM+∠ADB, ∴∠AMB=∠BFD, ∴.∠AMF=∠AFM, ∴.AM=AF, ∴.△AMF是等腰三角形 9分 (4)解：如图，过点G作GQ⊥AD于点Q, Q D M H ,四边形ABCD是矩形， ..BALAD, ∴BAIIQG, .Rt△DQG-Rt△DAB, .DG QG …D8=B 在Rt△ABD中，AB=6,AD-8, 故BD=√AB2+AD2=10, ..DG=BD-BG-BD-AB=4. 7/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 解得：Q6=号 “点G到AD的距离为号 【解析】【解答】解：(2)解：，△GBF是由△ABF翻折得到的， ∴.BG=AB=6,∠FGB90°，AF-FG=ADDF-8-DF, BD=√AB2+AD2=10 ∴.GD=BD-BG=4, 在R1△DGF中，DF2=FG2+DG2, 即DF2=(8-DF)2+42, ∴DF=5, 故答案为：5. 12分 8/8 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 零上150℃记作+150℃，则 零下记作 -100℃. 故答案为：B. 【分析】本题考查具有相反意义的量，具有相反意义的量包含两层含义：（1） 具有相反意义；（2） 具有数量，明确零上为正，则零下为负，可得答案。 2．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A选项中图形是中心对称图形，BC是轴对称图形，D既不是轴对称也不是中心对称图形. 故答案为：A. 【分析】本题考查中心对称图形的定义， 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 根据定义可得答案。 3．黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（　　） A．6.06×104立方米/时 B．3.136×106立方米/时 C．3.636×106立方米/时 D．36.36×105立方米/时 【答案】C 【解析】【解答】1010×3600=3.636×106立方米/时， 故答案为：C． 【分析】首先将1010立方米/秒化为3636000立方米/小时，再根据科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 4．一只杯了静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解： 支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行 重力G的方向竖直向下 坡角， 摩擦力的方向与斜面平行 故答案为：C. 【分析】根据支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行可得，根据 重力G的方向竖直向下可得，又因为 坡角，则， 再根据摩擦力的方向与斜面平行可得，则。 5． 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、，A不符合题意； B、，B不符合题意； C、，C不符合题意； D、，D符合题意； 故答案为：D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方结合题意对选项逐一分析计算即可求解。 6．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为，，，， 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 其中恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况有2种， 恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率是， 故答案为：D． 【分析】画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可． 7．如图，在菱形ABCD中，是一条对角线，是AC上一点，过点作，垂足为，连接DE.若，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O 四边形ABCD是菱形 ACBD，ADC=ABC=，AB=BC=CD=AD=6 都是等边三角形 CAB= EFAF AFE=，AEF= AE=2AF CE=AF AC=3EC AE=4，EC=2 OA=OC=3，OD=AO=3 OE=AE-OA=4-3=1 DE= 故答案为：C. 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质求出OD、OE，再利用勾股定理求解。 8．某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【解析】【解答】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个 由题意得： ，解得4≤x≤6 则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式． 故答案为B． 【分析】设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可． 9．如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，，，，，它们分别是所在对角线的黄金分割点若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】在正五边形中，AE=AB=2， 同理可得： 同理可证明： 四边形ABME为平行四边形， EM=AB=2，BM=AE=2， 同理：ND=2， M、N为DE的黄金分割点， 故答案为：A. 【分析】先利用正五边形的性质证明四边形ABME为平行四边形，根据平行四边形的性质得到EM=AB=2，BM=AE=2，再利用黄金分割点代入数据进行计算，从而求解. 10．如图，长方形的宽为a，长为b，若单项式与是同类项，两个圆的圆心均为长方形的顶点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项 ， ∴a-1=1，b=6， ∴a=2，b=6， ∴S=ab-=12-2π. 故答案为：A. 【分析】根据同类项的定义可得a、b的值，利用阴影部分的面积=长方形面积-两个90°扇形的面积，即可求解. 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为　 　 ． 【答案】8 【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2， ∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×2=8． 故答案为：8． 【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可． 12．如图，有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=10，则S2= 　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】解：将四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=10， ∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x， ∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10， ∴x+4y= S2=x+4y=． 故答案为：． 【分析】根据图形的特征设出四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可． 13．如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为　 　． 【答案】﹣ 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E， ∵点B的坐标为（﹣2，0）， ∴AB＝﹣ ， ∴OC＝﹣ ， 由旋转性质知OD＝OC＝﹣ 、∠COD＝60°， ∴∠DOE＝30°， ∴DE＝ OD＝﹣ k，OE＝ODcos30°＝ ×（﹣ ）＝﹣ k， 即D（ k，﹣ k）， ∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过D点， ∴k＝（ k）（﹣ k）＝﹣ k2， 解得：k＝0（舍）或k＝﹣ ， 故答案为：﹣ ． 【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由点B的人坐标知道OC=AB=﹣ ，再由旋转性质知OD＝OC＝﹣ 、∠COD＝60°，再利用三角函数求出D的坐标，最后代入计算即可。 14．蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窝”，观察下列的蜂窝图．若将每一个六边形“ ”看成1个建筑单位， 则第1个图中共有4个建筑单位，第2个图中共有7个建筑单位，第 个图案中共有　 　个建筑单位． 【答案】(3n+1) 【解析】【解答】解：第1个图形中有： =4个建筑单位， 第2个图形中有： 个建筑单位， 第3个图形中有： 个建筑单位， 第4个图形中有： 个建筑单位， ∴可以推出第n个图形中有： 个建筑单位， 故答案为：( )． 【分析】根据所给的图形找出规律即可作答。 15．如图，在中，，，平分交于点D，点E在上，，点F为的中点．若，则的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】 取AD中点G，连接FG，BG ∵ G、F为三角形ADE中位线 ∴且GF∥AE ∴ 在Rt三角形ABD中， ∴GF=BG=AG=GD ∴ 又在Rt三角形ABC中， ∴ ∴ ∴ 三角形BGF是等腰直角三角形，三角形BGD是等边三角形。 ∵ ∴ ∴ ∴BG=BD=2 ∴ 故填： 【分析】求BF长，尝试寻找一个三角形，把BF放在三角形里求，但图中没有提示可以平移或全等迹象，我们想办法再造一个有BF的三角形，由直角三角形的斜边定理想到找AD中点G，易证BGF是等腰直角三角形，由已知AB可以求得腰长，至此找到解题思路。 三、解答题：（本大题共8题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算：. （2）化简：，下面是小李和大李两同学的部分运算过程： 小李同学：解：原式 李同学：解：原式= 请选择一种解法，写出完整的解题过程. 【答案】（1）解：原式=1+4-3 =2； （2）解：小李同学：解：原式 =x-3； 大李同学：解：原式= =x-3 . 【解析】【分析】（1）先运算零次幂、负整数次幂和开立方，然后运用加减法法则解题即可； （2）小李同学，先同分合并，然后约分即可解题；大李同学运用乘法分配律展开，然后约分，再运用加减法解题即可. 17．（8分）在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系． 【答案】（1）解：如图即为所求； 以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求； 故 （2）解：在矩形中， 绕点B顺时针旋转得到， 点A的对应点F在线段上， ∵ 在中， 又与交于点Q， 又 是等边三角形． 在中， 【解析】【分析】（1）以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据矩形性质可得，再根据旋转性质可得 ，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）如图即为所求； 以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求； 故 （2）在矩形中， 绕点B顺时针旋转得到， 点A的对应点F在线段上， ∵ 在中， 又与交于点Q， 又 是等边三角形． 在中， 18．（9分）某初中要调查学校学生（学生总数2000人）双休日的学习状况，采 用下列调查方式： ①从七年级选取200名学生： ②某个时间段去操场选取200名学生： ③选取不同年级的200名女学生： ④按照一定比例在不同年级里随机选取200名学生. （1）上述调查方式中合理的是　 　，（填写序号） （2）调查小组将得到的数据制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2)，可知，在这个调查中，200名学生双休日在家学习的有　 　人. （3）请估计该学校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数. 【答案】（1）④ （2）120 （3）解： 估计该学校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数为：人. 【解析】【解答】解：（1）根据题意，调查方式中合理的是④， 故答案为：④； （2） 在这个调查中，200名学生双休日在家学习的有：200×60％=120（人）， 故答案为：120； 【分析】（1）抽样调查抽取的样本必须具有随机性、代表性及样本覆盖的全面性，据此逐一判断得出答案； （2）根据扇形统计图提供的信息，用200乘以样本中在家学习的人数所占的百分比即可； （3）用该校学生的总人数乘以样本中双休日学习时间不少于4小时的人数所占的百分比即可估算出该校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数. 19．（8分）如图①是我国传统的计重工具——杆秤，用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(千克)，则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据： x(厘米) 1 2 4 7 11 12 y(千克) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在上表x，y的数据中发现有一对数据记录错误，在图②中通过描点的方法观察判断哪一对是错误的. （2）根据(1)的发现，问：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少? 【答案】（1）解：描点连线如下图． 观察图象可知，x=7，y=2.75这组数据错误． （2）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（x>0）， ∵点（1，0.75）与（2，1）在其图象上， ∴ 解得 当x=16时， 所以秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5千克． 【解析】【分析】 (1) 通过描点，连线，画出图象，再作出判断； （2）利用待定系数法求出函数关系式，再将自变量用16代入，求出函数值. 20．（8分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点D． 测量过程与 数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内） （参考数据：，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高度，即求线段的长．（注：请用（1）中坡面的水平距离和垂直距离的整数值进行计算） 【答案】（1）解：过点作，垂足为，如图， 在中，， ， ， ． 答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是和； （2）解：如图，延长交于点，设， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，在中，运用三角函数的定义得到和解题； （2）延长交于点，设，即可得到，，，，在Rt中，根据三角函数的定义求得x值解题． （1）解：过点作，垂足为，如图， 在中，， ， ， ． 答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是和； （2）解：如图，延长交于点，设， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 21．（8分）阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”， （1）如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则______； （2）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步 在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步 如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步 折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步 展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： ①图③中______；（保留根号） ②如图③，判断四边形的形状，并说明理由； ③请直接写出图④中所有的黄金矩形． 实际操作： ④请结合图④，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来． 【答案】（1） （2）解：②四边形BADQ是菱形 理由如下： ∵四边形ACBF是矩形， ∴BQAD， ∴∠BQA=∠QAD． 由折叠得：∠BAQ=∠QAD，AB=AD， ∴∠BQA=∠BAQ， ∴BQ=AD， ∵BQAD， ∴四边形BADQ是平行四边形． ∵AB=AD， ∴四边形BADQ是菱形． ③图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE， ∵BC=2， ∴矩形BCDE是黄金矩形． ∴矩形MNDE是黄金矩形； ④如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形． ∵CD=GH=DH=，DE=MN=2， ， ∴四边形BGHE为黄金矩形． 【解析】【解答】（1）解：根据定义可知，为线段的黄金分割点，则， ， 解得： 故答案为：. （2）①如图3，根据题意可得 ∴， 故答案为：. 【分析】（1）利用黄金分割点的定义可得，再将数据代入可得，最后求出AC的长即可； （2）①先求出BC和AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可； ②先证出四边形BADQ是平行四边形，再结合AB=AD，即可证出四边形BADQ是菱形； ③先求出，可得矩形BCDE是黄金矩形，再结合即可证出矩形MNDE是黄金矩形； ④先利用线段的和差求出EH的长，再求出，即可证出四边形BGHE为黄金矩形． （1）解：根据定义可知，为线段的黄金分割点，则 ， 解得 故答案为： （2）①如图3： 根据题意可得 ∴， 故答案为：， ②四边形BADQ是菱形 理由如下： ∵四边形ACBF是矩形， ∴BQAD， ∴∠BQA=∠QAD． 由折叠得：∠BAQ=∠QAD，AB=AD， ∴∠BQA=∠BAQ， ∴BQ=AD， ∵BQAD， ∴四边形BADQ是平行四边形． ∵AB=AD， ∴四边形BADQ是菱形． ③图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE， ∵BC=2， ∴矩形BCDE是黄金矩形． ∴矩形MNDE是黄金矩形； ④如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形． ∵CD=GH=DH=，DE=MN=2， ∴四边形BGHE为黄金矩形． 22． （12分）综合与实践 【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠.两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止.我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线. 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系. （1）【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； （2）【解决问题】 双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作.从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等.小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系. ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误.小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由. 【答案】（1）解：由题意，根据表格数据可以作图如下 图象过，， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴可设抛物线为， 又抛物线过，∴， ∴，∴抛物线为 （2）解：①>；②都不会失误，理由如下：由题意，对于小美而言，其对应抛物线为，∴令，则，又对于小丽而言，其对应抛物线为，令，则，因此，她们本次训练不会失误. 【解析】【解答】解：(2) ① 由题意，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系为，∴，又，∴， 故答案为：＞； 【分析】(1)根据表格画出草图，观察图像可知过，，且这两个点关于对称轴对称，可算出对称轴，即可知道顶点坐标，设抛物线解析式为，再重新代入一个点，求出a的值即可求得抛物线的解析式； （2） ① 分别算出小美和小丽在空中最高点的竖直距离，进而比较大小即可； ② 算出水平距离是米时对应的竖直高度，即x=4.6时对应的y值，若y>5，则训练不会失误，否则会造成失误. 23．（12分）综合探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图1是一张矩形纸片ABCD，其中，． 【操作发现】 （1）奋进小组先将图1中的矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使得点C落在点E处，BE交AD于点P，得到图2，他们发现．请你证明这个结论； （2）创新小组将图1中的矩形纸片折叠，使得点A落在对角线BD上，记为点G，折痕为BF，得到图3，则　 　； （3）【实践探究】 希望小组在创新小组操作的基础上，将图3中的纸片展开，然后提出一个问题：将矩形纸片ABCD沿直线AH折叠，使得点B落在对角线BD上的点处，然后将纸片展平，如图4所示，折痕AH交BF于点M，交BD于点N，试判断的形状； （4）请你根据希望小组的操作，求点G到AD的距离． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠BAD=∠BCD=90°， ∵△BED是由△BCD翻折得到的， ∴CD=DE，∠BCD=∠BED=90°， ∴AB=ED，∠BAD=∠BED， ∴△APB≌△EPD（AAS）， ∴AP=EP. （2）5 （3）解：△AMF是等腰三角形， 理由如下：∵△BGF是由△BAF折叠得到的， ∴∠ABM=∠NBM， ∵△AB'H是由△ABH折叠得到的， ∴AB'=AB，BH=B'H， ∴∠ANB=∠ANB'=90°， ∴∠ABD+∠BAN=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠BAN=∠ADB， ∴∠ABM+∠BAN=∠NBM+∠ADB， ∴∠AMB=∠BFD， ∴∠AMF=∠AFM， ∴AM=AF， ∴△AMF是等腰三角形. （4）解： 如图，过点G作GQ⊥AD于点Q， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴BA⊥AD， ∴BA∥QG， ∴Rt△DQG∽Rt△DAB， ∴， 在Rt△ABD中，AB=6，AD=8， 故， ∴DG=BD-BG=BD-AB=4， ∴， 解得：， ∴点G到AD的距离为. 【解析】【解答】解：（2） 解：∵△GBF是由△ABF翻折得到的， ∴BG=AB=6，∠FGB=90°，AF=FG=AD-DF=8-DF， 故， ∴GD=BD-BG=4， 在Rt△DGF中，DF2=FG2+DG2， 即DF2=（8-DF）2+42， ∴DF=5， 故答案为：5. 【分析】（1）根据矩形的对边相等，四个角都是直角可得AB=CD，∠BAD=∠BCD=90°，结合折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应边相等，对应角相等可得CD=DE，∠BCD=∠BED=90°，推得AB=ED，∠BAD=∠BED，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等即可证明； 四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到的，推出△APB≌△EPD（AAS），进而可证明； （2）根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应边相等，对应角相等可得BG=AB=6，∠FGB=90°，求得AF=8-DF，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解； （3）根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应边相等，对应角相等可得∠ABM=∠NBM，AB'=AB，BH=B'H，根据等角的余角相等可得∠BAN=∠ADB，推得∠AMB=∠BFD，∠AMF=∠AFM，根据等角对等边即可求解； （4）过点G作GQ⊥AD于点Q，根据矩形的四个角都是直角可得BA⊥AD，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得BD的值，得出DG的值，即可求解. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$