第2章 1 生活中的变量关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第二章 函数 §1　生活中的变量关系 知识点一 常量与变量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[多选]下列各量中是常量的是(　　) A．半径为1的圆的面积 B．每天光照的时间 C．标准大气压下，水的沸点 D．汽车每天行驶的路程 答案　AC 解析　常量是不变的量，半径为1的圆的面积为π；标准大气压下，水的沸点为100 ℃，均为定值．故选AC. 知识点二 两个变量之间的关系 2．炼钢时，钢水的含碳量与冶炼时间有(　　) A．确定关系 B．无任何关系 C．函数关系 D．依赖关系 答案　D 解析　由两个变量之间的关系知选D. 3．在速度一定的前提下，汽车行驶的路程同时间是________关系． 答案　函数 4．下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)正方形的面积和它的边长． (2)价格不变的情况下的商品销售额和销售量． (3)某人的身高与体重． (4)某同学的学习时间与其学习成绩． 解　(1)因为正方形的面积S与其边长a存在S＝a2的关系，因此正方形的面积与其边长存在依赖关系，也是函数关系． (2)在价格不变的前提下，销售额y与销售量x之间成正比例关系，因此在价格不变的情况下，商品的销售额与销售量之间存在依赖关系，也是函数关系． (3)某人的身高与体重有一定的关系，但体重并不完全由身高来决定，还受其他因素的影响，因此某人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系． (4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如人的智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系． 综上所述，(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系，其中仅(1)(2)是函数关系. 知识点三 分段函数 5. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示．试写出图中表示的市场售价与时间的函数关系式． 解　当0≤t≤200时，设函数关系式为p＝kt＋b(k，b为常数)， 由已知得t＝0时，p＝300；t＝200时，p＝100，代入得解得 故此时关系式为p＝300－t(0≤t≤200)． 同理，当200＜t≤300时，函数关系式为p＝2t－300(200<t≤300)． 故所求市场售价与时间的函数关系式为 p＝ 6．心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：y＝ (1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解　(1)当t＝5时，代入y＝－t2＋24t＋100中，得y＝195； 当t＝25时，代入y＝－7t＋380中，得y＝205. ∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中． (2)当0<t≤10时，令y＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4； 当10<t≤20时，y＝240； 当20<t≤40时，y＝－7t＋380＝180，得t≈28.57. ∴学生注意力在180及以上的持续时间约为28.57－4＝24.57(分钟)． ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 一、选择题 1．下列各量是常量的是(　　) A．正方形的周长 B．每月的下雨天数 C．纽约到北京的距离 D．明年10月1日的气温 答案　C 解析　只有纽约到北京的距离为常量．A，B，D中均为变量． 2．[多选]下列变量之间是依赖关系而不是函数关系的是(　　) A．儿童的年龄与智力 B．某匀速行驶的轿车的行驶距离与行驶速度 C．汽车的性能与销量 D．邮局邮寄包裹的重量与邮资 答案　AC 解析　B，D中为函数关系，A，C中为依赖关系． 3. 如图反映了两个变量间的关系，下列四个情境比较符合该图的是(　　) A．一杯热水放在桌子上，它的水温与时间的关系 B．一辆汽车从起动到匀速行驶，速度与时间的关系 C．一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系 D．踢出的足球的速度与时间的关系 答案　B 解析　汽车起动时速度是增大的，而后匀速行驶速度不变，故B符合题图． 4. 有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系的图象如图，图中PQ为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的(　　) 答案　C 解析　开始水面高度变化幅度逐渐变慢，后面高度变化幅度逐渐变快，最后变化幅度不变，因此容器横截面面积是逐渐变大，然后逐渐变小，后面面积不变，只有C相符．故选C. 5．蜡是非晶体，在加热过程中先要变软，然后逐渐变稀，最后全部变为液态，整个过程温度不断上升，没有一定的熔化温度，如图所示，四个图象中表示蜡熔化的是(　　) 答案　C 解析　由题知温度不断上升，故排除B，D，又因为没有一定的熔化温度，故排除A. 二、填空题 6．已知一个正方形ABCD，则下列变量之间不存在依赖关系的是________． ①正方形ABCD的周长与它的边长； ②正方形ABCD的对角线长与它的边长； ③正方形ABCD的四个内角与它的边长． 答案　③ 解析　易知①②中两个变量之间存在依赖关系，且是函数关系，③中两个变量之间不存在依赖关系． 7．国内某快递公司规定：重量在1000克以内的包裹快递邮资标准如下表： 运送距 离x(km) 0<x ≤500 500<x ≤1000 1000<x ≤1500 1500<x ≤2000 … 邮资y(元 ) 5.00 6.00 7.00 8.00 … (1)邮资y与运送距离x的函数关系式为________； (2)如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300 km的某地，他应付的邮资是________元． 答案　(1)y＝ (2)7.00 解析　(1)邮资y与运送距离x的函数关系式为y＝ (2)∵1300∈(1000,1500]，∴y＝7.00. 8．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如表： 气温x/℃ 0 5 10 15 20 音速y/(米/秒) 331 334 337 340 343 (1)此表反映的是变量________随________的变化； (2)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米． 答案　(1)音速　气温　(2)1721 解析　(1)此表反映的是变量音速随气温的变化． (2)由表可知气温每升高5 ℃音速加快3米/秒，即音速y是气温x的一次函数，则设y＝kx＋b(k≠0)．结合表格，将其中(0,331)与(5,334)代入得解得故y＝x＋331.所以气温为22 ℃时音速y＝×22＋331，故此人与燃放的烟花所在地约相距5×＝66＋1655＝1721米． 三、解答题 9．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20) 提出概念所用 时间x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受 能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间是几分钟时，学生的接受能力最强？ 解　(1)反映了提出概念所用时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量． (2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生的接受能力是59. (3)提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强． 10．口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染．为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如表所示的一组数据： 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 温度(℃) 15 25 30 35 37 40 45 50 黏附力(N) 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4 (1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度T变化的图象； (2)根据上述数据以及得到的图象，你能得到怎样的实验结论呢？ (3)如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么办法清理最干净？ 解　(1)口香糖黏附力F随温度T变化的图象如图所示： (2)实验结论： ①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小； ②当温度在37 ℃时，口香糖的黏附力最大． (3)将衣服在冰箱中冷冻，然后取出，用东西刮一下就干净了． 学科网（北京）股份有限公司 $$