第1章 预备知识 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第一章　单元质量测评　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合P，Q满足P＝{x∈Z|x＜3}，Q⊆N，则P∩Q不可能是(　　) A．{0，1，2} B．{1，2} C．{－1} D．∅ 答案　C 解析　依题意，知P∩Q中的元素可能是0，1，2，也可能没有元素，所以P∩Q不可能是{－1}．故选C. 2．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为(　　) A．y＝(x－1)2＋3 B．y＝(x＋1)2＋3 C．y＝(x＋1)2－3 D．y＝(x－1)2－3 答案　A 解析　由题意得，平移后抛物线的解析式为y＝(x－1)2＋3.故选A. 3．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则下列说法不正确的是(　　) A．当x＝，y＝时，z＝0 B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)·(x－y)对应4个式子 C．A⊗B中有4个元素 D．A⊗B的真子集有7个 答案　C 解析　当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，故A正确；x可取，，y可取1，，则z可取(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，故B正确；A⊗B＝{0，1，2}，共3个元素，故C不正确；A⊗B的真子集有23－1＝7(个)，故D正确．故选C. 4.如图所示的Venn图中A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合，则A*B＝(　　) A．∁U(A∪B) B．A∪(∁UB) C．(∁UA)∪(∁UB) D．(A∪B)∩∁U(A∩B) 答案　D 解析　阴影部分为A∪B去掉A∩B后的部分，为(A∪B)∩∁U(A∩B)．故选D. 5．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax 答案　B 解析　∵x<a<0，∴ax>a2，x2>ax，∴x2>ax>a2.故选B. 6．已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝，则A∩(∁RB)＝(　　) A．(－1，2) B．(－1，1) C．(－1，2] D．(－1，1] 答案　D 解析　由x2＋x－2≤0，得－2≤x≤1，∴A＝[－2，1]．由≥0，得x≤－1，或x>2，∴B＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)．则∁RB＝(－1，2]，∴A∩(∁RB)＝(－1，1]．故选D. 7．若不等式－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，则a的值是(　　) A．2或－1 B. C. D．2 答案　A 解析　解法一：令y＝x2－2ax＋a，即y＝(x－a)2＋a－a2，因为－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，所以a－a2＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.故选A. 解法二：当a＝2时，x＝2，当a＝－1时，x＝－1，满足题意．故选A. 8．已知x>0，y>0，z>0，且＋＝1，则x＋y＋z的最小值为(　　) A．12 B．10 C．9 D．8 答案　C 解析　由x>0，y>0，z>0，且＋＝1，得x＋y＋z＝(x＋y＋z)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＋z＝6时等号成立，所以x＋y＋z的最小值为9.故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2＜－1” B．命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9” C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件 D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件 答案　BD 解析　对于A，命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；对于B，命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9”，故B正确；对于C，x2＞y2⇔|x|＞|y|，|x|＞|y|不能推出x＞y，x＞y也不能推出|x|＞|y|，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D，关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根⇔⇔m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件，故D正确． 10．下列说法正确的是(　　) A．x＋(x＞0)的最小值是2 B.的最小值是 C.的最小值是2 D．2－3x－的最大值是2－4 答案　AB 解析　当x＞0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故A正确；＝≥，当x＝0时取等号，故B正确；＝＋，因为≥2，0<≤，所以y＝＋＞2，故C错误；2－在x＜0时，没有最大值，故D错误． 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的x与y的部分对应值如下表： x －3 1 n(n>1) y －3 －3 n(n>1) 则下列结论中正确的是(　　) A．a＞0 B．4a－2b＋1＞0 C．x＝－3是关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根 D．当－3≤x≤n时，ax2＋(b－1)x＋c≥0 答案　ABC 解析　根据表中x与y的部分对应值，画图如下： 由抛物线开口向上，得a＞0，A正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，即－＝－1，∴b＝2a，则4a－2b＋1＝4a－4a＋1＝1＞0，B正确；∵直线y＝x过点(－3，－3)，(n，n)，∴直线y＝x与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于点(－3，－3)，(n，n)，即x＝－3和x＝n是方程ax2＋bx＋c＝x，即ax2＋(b－1)x＋c＝0的两个实数根，C正确；由图象可知当－3≤x≤n时，直线y＝x位于抛物线y＝ax2＋bx＋c的上方，∴x≥ax2＋bx＋c，∴ax2＋(b－1)x＋c≤0，D错误．故选ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．下列命题中真命题的个数是________． ①0∈∅；②∅∈{∅}；③0∈{0}；④∅∈{a}；⑤∅{∅}；⑥∅{∅}． 答案　3 解析　由空集是不含任何元素的集合及空集是任何集合的子集可判断出：①0∉∅；②∅∈{∅}；③0∈{0}；④∅{a}；⑤∅{∅}．即②③⑤为真命题． 13．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N＋)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增加了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是________． 答案　16 解析　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，由解得0<x≤.因为x∈N＋，所以x的最大值为16. 14．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________． 答案　36 解析　∵正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋≥14＋2＋2＋2＝36，当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}． (1)求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)； (2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围． 解　(1)A∩B＝{x|3≤x<10}∩{x|2<x≤7}＝{x|3≤x≤7}； A∪B＝{x|3≤x<10}∪{x|2<x≤7}＝{x|2<x<10}； (∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<3，或x≥10}∩{x|x≤2，或x>7}＝{x|x≤2，或x≥10}． (2)A＝{x|3≤x<10}，C＝{x|x>a}，要使A⊆C，结合数轴分析可知a<3，即a的取值范围是{a|a<3}． 16．(本小题满分15分)如图，某课外活动小组借助直角墙角(两边足够长)用篱笆围成矩形花园ABCD，篱笆只围AB，BC两边．已知篱笆长为40 m. (1)若篱笆围成的矩形ABCD的面积不小于300 m2.求边AB长的范围； (2)若篱笆围成的矩形面积S最大，求边AB的长． 解　(1)设边AB的长为x m，则BC的长为(40－x) m， 依题意得x(40－x)≥300， 即x2－40x＋300≤0， ∴10≤x≤30， ∴AB的长的范围为[10，30](单位：m)． (2)由(1)得S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，S取最大值为400， ∴篱笆围成的矩形面积S最大时，边AB的长为20 m. 17．(本小题满分15分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2≥0的解集为{x|x≤1，或x≥b}． (1)求a，b的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac－b)x－bc<0. 解　(1)由题意知，关于x的不等式ax2－3x＋2≥0的解集为{x|x≤1，或x≥b}，则a>0且b和1是方程ax2－3x＋2＝0的两根， 由根与系数的关系，得解得 (2)不等式ax2＋(ac－b)x－bc<0可化为x2＋(c－2)x－2c<0，即(x－2)(x＋c)<0. 其对应方程的两根为x1＝2，x2＝－c. ①当－c>2即c<－2时，原不等式的解集为{x|2<x<－c}； ②当－c<2即c>－2时，原不等式的解集为{x|－c<x<2}； ③当－c＝2即c＝－2时，原不等式的解集为∅. 综上所述，当c<－2时，原不等式的解集为{x|2<x<－c}； 当c>－2时，原不等式的解集为{x|－c<x<2}； 当c＝－2时，原不等式的解集为∅. 18．(本小题满分17分)某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝.(注：利润与投资金额的单位为万元) (1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数； (2)试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 解　(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品， 利润总和为y＝18－＋＝38－－(0≤x≤100)． (2)因为y＝38－－＝40－－， 由基本不等式得＋≥2＝12，当且仅当＝，即x＝20时，取等号，所以y≤40－12＝28，当且仅当x＝20时，获得最大利润28万元，此时投入A产品20万元，B产品80万元． 19．(本小题满分17分)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1. (1)求证：a＋b≤2； (2)判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由． 解　(1)证明：由a2＋b2＝ab＋1，得(a＋b)2＝3ab＋1≤3＋1，当且仅当a＝b时，取等号． 所以(a＋b)2≤4， 又a＞0，b＞0， 所以a＋b≤2. (2)不能成立． 因为＋≤＋， 又a＋b≤2， 所以＋≤1＋， 又c＞0，d＞0，cd＞1， 所以c＋d＝＋≥＋＞＋1， 则＋<c＋d，故＋＝c＋d不能成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$