第1章 4.2 4.3 第2课时 含参数的一元二次不等式的解法及一元二次不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　含参数的一元二次不等式的解法及一元二次不等式的应用 知识点一 含参数的一元二次不等式的解法 1.若0＜t＜1，则不等式x2－x＋1＜0的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　原不等式可化为(x－t)＜0， ∵0＜t＜1，∴t＜，∴t＜x＜. 2．已知关于x的不等式组 的整数解只有－2，则实数k的取值范围是(　　) A．[－3,2) B．(－∞，2) C．(－3,2] D．(－∞，2] 答案　A 解析　由x2－x－2＞0得x＜－1或x＞2，由2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0得(2x＋5)(x＋k)＜0，依题意，结合数轴得－2＜－k≤3，即－3≤k＜2.故选A. 3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(　　) A．{x|x＜5a，或x＞－a} B．{x|x＜－a，或x＞5a} C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a} 答案　A 解析　方程x2－4ax－5a2＝0的两个实数根为－a,5a.因为2a＋1＜0，所以a＜－，所以－a＞5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞－a}．故选A. 4．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥，或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题 5．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) 答案　C 解析　当a－2≠0时， ⇒⇒－2＜a＜2；当a－2＝0时，－4<0恒成立．综上所述，－2<a≤2.故选C. 6．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，－6] C．(－6,2) D．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 答案　C 解析　由题意知，方程x2－ax－a＋3＝0没有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)<0，解得－6<a<2.故选C. 7．已知不等式：(1)x2－4x＋3＜0；(2)x2－6x＋8＜0；(3)2x2－9x＋m＜0.若同时满足(1)(2)的x的值也满足(3)，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m＞9} B．{m|m＝9} C．{m|m≤9} D．{m|0＜m＜9} 答案　C 解析　解不等式(1)得1＜x＜3，解不等式(2)得2＜x＜4，所以同时满足不等式(1)(2)的x的取值范围是{x|2＜x＜3}．依题意，当2＜x＜3时，2x2－9x＋m＜0恒成立，即m＜－2x2＋9x恒成立，而当x∈(2,3)时，－2x2＋9x∈.故当m≤9时，m＜－2x2＋9x恒成立．故选C. 知识点三 一元二次不等式的实际应用 8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价可定为(　　) A．12元 B．14元 C．16元 D．18元 答案　B 解析　设销售价定为每件x元，利润为y元，则有y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意得，(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得12<x<16，∴每件售价应大于12元，小于16元．故选B. 9．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t%应在什么范围内变动？ 解　由题意可列不等式如下： ·24000·t%≥9000， 整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5. 所以t%应控制在3%到5%范围内. 易错点 忽略不等式对应方程根的大小 10．解关于x的不等式21x2＋4ax－a2＜0. [易错分析]　当一元二次不等式解集的端点值(即对应方程的根)无法确定大小时，要注意分类讨论．本题易错解为－＜x＜. 正解　原不等式等价于＜0. ①当a＞0时，＞－， 原不等式的解集为； ②当a＜0时，＜－， 原不等式的解集为； ③当a＝0时，原不等式的解集为∅. 一、选择题 1．若m，n∈R，且m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集为(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|－m<x<n} D．{x|x<－m，或x>n} 答案　B 解析　(m－x)(n＋x)>0，则(x－m)(n＋x)<0，因为m＋n>0，则m>－n，所以(x－m)(n＋x)<0的解集为{x|－n<x<m}．故选B. 2．若关于x的不等式x2＋2mx－15m2＜0(m＜0)的解集为(a，b)，且b－a＝18，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．－ D．－ 答案　D 解析　不等式可化为(x＋5m)(x－3m)<0，因为m<0，所以不等式的解集为(3m，－5m)，所以a＝3m，b＝－5m，即b－a＝－8m＝18，解得m＝－.故选D. 3．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(－∞，3) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案　A 解析　由4x2＋6x＋3＝2＋＞0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)⇔2x2＋(6－2m)x＋3－m＞0对一切实数x恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)＜0，解得1＜m＜3. 4．在R上定义运算x*y＝x(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是(　　) A．[0,2] B．[－2，－1)∪(－1,0] C．[0,1)∪(1,2] D．[－2,0] 答案　D 解析　由题意得，x*(x－a)＝x[1－(x－a)]＝x[(a＋1)－x]，所以x*(x－a)＞0，即x[x－(a＋1)]＜0.当a＝－1时，不等式的解集为空集，符合题意；当a＞－1时，不等式的解集为(0，a＋1)，又因为解集为[－1,1]的子集，所以a＋1≤1，得－1＜a≤0；当a＜－1时，不等式的解集为(a＋1,0)，又因为解集为[－1,1]的子集，所以a＋1≥－1，得－2≤a＜－1.综上所述，实数a的取值范围是[－2,0]．故选D. 5．[多选]关于x的不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是(　　) A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a＜0 答案　BC 解析　由题意得，当a＝0时，原不等式化为－2x＋1＜0，原不等式的解集为；当a＞0时，要使得关于x的不等式的解集非空，则Δ＝4－4a＞0⇒a＜1，即0＜a＜1；当a＜0时，不等式的解集非空恒成立．所以关于x的不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空时，实数a的取值范围是a＜1.所以关于x的不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是a≤1或a＜2.故选BC. 二、填空题 6．若关于x的不等式x2＋mx＋＞0恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案　{m|0＜m＜2} 解析　x2＋mx＋＞0恒成立，等价于Δ＜0，即m2－4×＜0，解得0＜m＜2. 7．关于x的不等式x2－2kx＋k2＋k－1>0的解集为{x|x≠a}，则实数a＝________. 答案　1 解析　因为关于x的不等式x2－2kx＋k2＋k－1>0的解集为{x|x≠a}，所以Δ＝(－2k)2－4(k2＋k－1)＝0，即4k－4＝0，所以a＝k＝1. 8．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x.若每月获得的利润y不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为________． 答案　{x∈N|20≤x≤45} 解析　由题意得y＝Px－R＝x(160－2x)－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，令y≥1300，得－2x2＋130x－500≥1300，∴x2－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，∴20≤x≤45. 三、解答题 9．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值； (2)若b＝a＋1，求此不等式的解集． 解　(1)根据题意得 解得a＝－2，b＝8. (2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0. 当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅； 当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)； 当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)． 10．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/h)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为y＝(v>0)． (1)若要求在该段时间内车流量超过2千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ 解　(1)由条件得>2， 整理得v2－100v＋1600<0， 即(v－20)(v－80)<0，解得20<v<80. 故汽车的平均速度应该大于20 km/h且小于80 km/h. (2)由题知y＝＝ ≤＝＝2.4. 当且仅当v＝，即v＝40时等号成立． 所以ymax＝2.4. 故当平均速度为40 km/h时，车流量最大，最大车流量为2.4千辆/h. 学科网（北京）股份有限公司 $$