第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　基本不等式的应用 知识点一 用基本不等式求最值 1．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B． C． D． 答案　D 解析　因为ab＝·a·2b≤2＝×2＝，当且仅当a＝2b＝时等号成立．故选D. 2．已知m＞0，n＞0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 答案　B 解析　依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝时取等号．故选B. 3．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立． 4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案　B 解析　(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.故选B. 5．若正实数x，y满足x＋3y＋3xy－3＝0，则x＋3y的最小值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案　B 解析　由已知有3－(x＋3y)＝x·3y≤，易得x＋3y≥2或x＋3y≤－6(舍去)，当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝时等号成立． 6．若＋＝(a>0，b>0)，则4a＋b＋1的最小值为________． 答案　19 解析　由＋＝，可得＋＝1.4a＋b＋1＝(4a＋b)＋1＝8＋2＋＋＋1≥11＋2＝19，当且仅当＝，即a＝3，b＝6时，4a＋b＋1取得最小值19. 知识点二 基本不等式的实际应用 7．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为(　　) A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件 答案　D 解析　设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元．根据题意得y＝100n＋≥2000，当且仅当n＝10 时取等号，此时每次进货量应为1000件．故选D. 8．如图，公园想建一块面积为72平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，若利用x米墙，求最少需要多少米铁丝网． 解　由于矩形草地的面积是72平方米，一边长是x米，则另一边长为米， 设需要y米铁丝网，则y＝x＋(x>0)． 由基本不等式，得y＝x＋≥24. 当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立， 则y最小值＝24. 即最少需要24米铁丝网. 易错点 忽略等号成立的一致性 9．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，求＋的最小值． [易错分析]　易错解为＋＝(x＋2y)≥2·2＝4.在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2，＋≥2，但这两次取“＝”需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到． 正解　∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2. ∵x＋2y＝1，∴ ∴当且仅当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值3＋2. 一、选择题 1．若正数a，b满足2a＋＝1，则＋b的最小值为(　　) A．4 B．8 C．8 D．9 答案　D 解析　∵a>0，b>0，且2a＋＝1，∴＋b＝＝5＋＋2ab≥5＋4＝9，当且仅当＝2ab，即a＝，b＝3时取等号．故选D. 2．函数y＝的最大值为(　　) A． B． C． D．1 答案　B 解析　令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴y＝＝.当t＝0时，y＝0；当t＞0时，y＝＝.∵t＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立，∴0＜≤.∴y的最大值为. 3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 答案　A 解析　设仓库与车站的距离为d，则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝0.8.∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立．故选A. 4．若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵x>0，y>0，x＋y＝1，∴x＋1＋y＝2，∴＋＝·＝≥(5＋2)＝，当且仅当x＝，y＝时取等号．故选D. 5．[多选]已知x，y是正实数，则下列说法正确的是(　　) A．若x＋y＝2，则＋有最小值2 B．若x＋y＝3，则x(y＋1)有最大值5 C．若4x＋y＝1，则2＋有最大值 D．若x＋y＝1，则＋有最小值 答案　AC 解析　因为x，y是正实数，若x＋y＝2，则＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号，A正确；若x＋y＝3，x(y＋1)≤2＝4，当且仅当x＝y＋1且x＋y＝3，即y＝1，x＝2时取等号，B错误；若4x＋y＝1，则(2＋)2＝4x＋y＋4＝1＋4＝1＋2≤1＋4x＋y＝2，当且仅当4x＝y＝时取等号，所以2＋≤ ，C正确；由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，所以＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]＝×≥×(5＋4)＝，当且仅当x＝，y＝时“＝”成立，D错误． 二、填空题 6．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 答案　1760 解析　设水池池底的一边长为x m，则其邻边长为 m，总造价为y＝480＋80××2＝480＋320≥480＋320×2 ＝1760，当且仅当x＝，即x＝2时，y取最小值1760，所以水池的最低总造价为1760元． 7．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________． 答案　1 解析　∵x＜，∴5－4x>0，y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－≤3－2＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立． 8．已知m＞0，n＞0，则当81m2＋n2＋取得最小值时，m－n的值为________． 答案　－4 解析　依题意，81m2＋n2＋≥18mn＋≥81，当且仅当⇒⇒时等号成立，此时m－n＝－4. 三、解答题 9．已知a，b都是正实数． (1)若a＋b＝2，求＋的最大值； (2)若＋＝1，求a＋2b的最小值． 解　(1)由a＞0，b＞0，a＋b＝2， 得＋＝a＋b－＝2－(a＋b)＝2－≤2－＝0，当且仅当＝，即a＝b＝1时等号成立，所以＋的最大值为0. (2)a＋2b＝a＋b＋b＋1－1＝(a＋b＋b＋1)－1＝2＋＋－1≥2＋2 －1＝3， 当且仅当＝，即a＝b＝1时等号成立， 所以a＋2b的最小值为3. 10. 某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2. (1)试用x，y表示S； (2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？ 解　(1)由题意得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6， S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)×＝xy－6x－y＋32＝1832－6x－y，其中x∈(6,300)，y∈(6,300)． (2)由(1)可知，x∈(6,300)，y∈(6,300)，xy＝1800， 所以6x＋y≥2 ＝2＝480， 当且仅当6x＝y时等号成立， 所以S＝1832－6x－y≤1832－480＝1352， 此时9x＝8y，xy＝1800，解得x＝40，y＝45. 学科网（北京）股份有限公司 $$