热点08 圆（11大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点08 圆 广东中考数学中圆部分主要考向分为四类： 一、圆的概念（每年1道，3分） 二、圆的基本性质（每年1-2道，3-6分） 三、圆的位置关系（10年10考，4-9分） 四、圆和正多边形（10年7考，3-6分） 五、圆和其他知识交汇（10年9考，4~10分） 广东中考题中，圆主要从定理及性质的应用：垂径定理每年必考1题，常结合勾股定理、相似三角形来考查，用于求解线段长度等问题。圆周角定理每年考查1 - 2题，常与三角形内角、直径性质相结合，比如利用同弧所对圆周角是圆心角的一半，以及直径所对圆周角是直角等性质进行角度计算或三角形形状的判断。切线性质也是重点，每年考查1 - 2题，常与相似、三角函数结合，可能涉及切线的判定与性质的综合运用，如证明直线是圆的切线，或利用切线性质求角度、线段长度等。位置关系的判断：直线与圆位置关系每年考1题，多以选择题或填空题形式出现，主要考查对直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）的判断，以及相关数量关系的运用，如根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来确定位置关系。 综合题型：圆常与三角形、四边形等结合，形成综合题型，涉及相似模型、等积式证明等。例如通过圆内接四边形的对角互补等性质，结合三角形的相关知识进行推理和计算；或利用圆中的相似三角形模型来证明线段比例关系，进而解决等积式证明问题。 考向一：圆及与圆有关的定理 【题型01 圆的基本概念】 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 1．（2023·广东阳江·三模）有下列四个命题： ①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等 ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各边的距离都相等； ④三角形的内心到三角形各顶点的距离相等． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关定义，根据圆周角定理，确定圆方法，内心和外心的性质：“根据三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，三角形的内心到三角形各边的距离都相等”，逐个进行判断即可． 【详解】解：①根据圆心角定理可得出，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，故此选项正确； ②根据经过三个不在一条直线的点一定可以作圆，故此选项错误； ③根据三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项错误； ④三角形的内心到三角形各边的距离都相等，故此选项错误； 故正确的有①，共1个． 故选：D． 2．（2021·广东湛江·一模）下列命题中，是真命题的个数有（    ） 直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】判断命题真假、圆的基本概念辨析 【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可． 【详解】解：直径是弦，是真命题； 弦是直径，是假命题； 半圆是弧，是真命题； 弧是半圆，是假命题； 故选：． 【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念． 【题型02 垂径定理】 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为 ．    【答案】10 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故答案为：10． 2．（2024·广东中山·模拟预测）与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，，，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，，由，，得到，由垂径定理得到，求出，得到，由等腰直角三角形的性质求出，，得到，由勾股定理求出，得到，于是得到的纵坐标． 【详解】解：连接，，，过作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是中点， ， ， ， ， 的纵坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆周角定理判定是等腰直角三角形，从而求出、的长，由勾股定理求出的长． 3．（2023·广东深圳·三模）在观察地球仪时，某数学小组发现台湾省的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ．（参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用垂径定理求值 【分析】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，    根据题意， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴由垂径定理可知：， ∴以为直径的圆的周长为， 故答案为：． 4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，，°，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了圆的计算，解题关键是垂径定理的应用．作于F，得，由题意，得，，由进而求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：作于F， 得， 由， 则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【题型03 圆心角、弧、弦的关系】 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）已知：如图，在中，是弦，点A是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：连接． 点A是的中点 ． ． 故选∶B． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．根据C为的中点得到，即可求出，根据圆周角定理可以求出． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A 3．（2024·广东肇庆·一模）如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，连接，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【详解】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 【题型04 圆周角定理及其推论】 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. 圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 1．（2025·广东中山·一模）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为 【答案】/60度 【知识点】利用平行四边形的性质证明、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，平行四边形的性质，由平行四边形的性质，得，由圆周角定理可知，，可知，在结合内接四边形对角互补可知，即可求解，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由圆周角定理可知，， 则， 又∵四边形是圆的内接四边形， ∴，即：， ∴， 故答案为：． 2．（2025·广东清远·一模）如题图，是的直径，，则 ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（2023·广东东莞·二模）如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为 ． 【答案】16 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 点在以为直径的上， ， ， 当点、、共线时最小， ， ， ， 的最小值为16， 故答案为：16． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是 ． ①；②；③与相切；④若，，则． 【答案】①③④ 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上性质是解题关键． 根据已知条件得出，根据圆内接四边形得出，进而得出，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明得出，根据三线合一得出，进而根据是直径，得出，结合已知条件即可判断③，证明， ，得出，，进而即可求解． 【详解】如图，连接， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 故①正确， ∵不能确定， ∴不一定成立，故②错误， 如图，连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相切，故③正确， ∵， ， ， ∴． ∴， ， 在和中， ∵， ， ∴， ∴ ∵， ， ∴， 故④正确 故答案为：①③④． 考向二：与圆有关的位置关系 【题型05 与圆有关的位置关系】 设点到圆心的距离为d. (1) d<r ⇔点在⊙O内；(2)d＝r ⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外 2.直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d＞r d＝r d＜r 1．（2023·广东东莞·一模）在中，，，．那么以为圆心， 为半径的与相切． 【答案】/2.4/ 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】设点到的距离为，由，，，根据勾股定理求得，则，所以，则当的半径为时，与相切，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点到的距离为， ，，， ， ， ， 解得， 当的半径为时，与相切， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理、切线的判定、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求出斜边上的高是解题的关键． 2．（2023·广东广州·二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相交 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、判断直线和圆的位置关系 【分析】由以及题意知，，，由，可判断直线l与的位置关系． 【详解】解：， 由题意知，， ∵， ∴直线l与相交， 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 3．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，点到线段的距离为 ．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正切的概念辨析、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，由勾股定理可求出，再根据面积法可求出点到线段的距离；由图易知的边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于的直线上，求出最小高和最大高，进而求出的面积为S的取值范围． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， 设点到线段的距离为， 又 ∴， ∴点到线段的距离为； 如图： Ⅰ．由图可知，的边最小高为M在D时， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为S的最小值． Ⅱ．在过点O且垂直于的直线上时，的边的高最大， ∴的边的高最大值为， ∴的面积为S的最大值为． ∴取值范围为：． 故答案为：；． 【题型06 切线的性质与判定】 1．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 1．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据平行线的性质得，，再结合等边对等角得，再证明，则，即可作答． （2）先设，则结合勾股定理表示，运用，分别得出在，则，得，通过证明，即，得，即可作答． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是切线． （2）解：∵， ∴设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，解直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，是的直径，C为外一点，连接，交于点D，连接并延长，交线段于点E，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)与相切，理由见解析 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，结合，可得，进一步可得结论； （2）根据圆周角定理得到，再利用等量代换得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与相切，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． 【点睛】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆的切线的判定定理、相似三角形的判定和性质定理、圆周角定理的应用是解题的关键． 3．（2024·广东中山·一模）如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查切线的判定定理，等边三角形的判定及性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）连接，求出即可； （2）证明是等边三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得到，再由勾股定理，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 由勾股定理，得． 4．（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长 【分析】（1）连接，由得到，再由和得到，即，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段，则． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线定理． 5．（2023·广东阳江·一模）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质得，由角平分线定义得，等量代换得，根据平行线得判定定理得到，由平行线得性质得出答案； 对于（2），设，则，即可得的值，再根据勾股定理求出的值，证明，可得答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， 设，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等，连接圆心和圆上一点的线段是证明切线的常用方法． 【题型07 三角形的内切圆与内心】 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1．（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、三角形内心有关应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，进而即可求解．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心． 【详解】解：设是的内切圆与，，的切点分别为，，，令，与分别交于，， 则、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由圆的对称性及角平分线的对称性可知，图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∴， 故答案为：． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 考向三：正多边形与圆 【题型08 正多边形与圆】 （1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形. （2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. （3）正多边形的内角和=(n-2)·180°; 正多边形的每个内角= ;  正多边形的周长=边长×边数; 正多边形的面积=×周长×边心距. 1．（2022·广东江门·模拟预测）如图，分别以边长为4的等边三角形的三个顶点为圆心，以4为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，若圆O是的内切圆，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】连接，作于，利用等边三角形的性质得，，再根据三角形内切圆的性质得为的半径，，再计算出，，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：连接，作于，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵是的内切圆， ∴为的半径，，， 在中，， ∵， ∴ ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形面积公式以及三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．解题关键是熟练掌握相关性质和公式，并综合运用． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了正多边形与圆；延长交于，如图所示：根据六边形是正六边形，，利用外角和求得，再求出正六边形内角， 利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：延长交于，如图所示： 六边形是正六边形，， ， ， ， 故答案为． 3．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．    【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比、正多边形和圆的综合 【分析】此题考查了位似图形的性质，正多边形和圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．设位似中心为O，连接，，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设位似中心为O，连接，    ∵正方形的外接圆半径为4， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． ∴正方形的周长为． 故答案为：． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正六边形的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识点，连接，作，可推出四边形是菱形；根据正六边形的性质可得，进一步推出均为等边三角形；根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：连接，作如图所示： 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵是正六边形， ∴， ∴， ∴均为等边三角形， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积， 故答案为： 5．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键． （1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【详解】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 【题型09 弧长和扇形面积】 （1）半径为R的圆面积S= （2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.  （3）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法；②和差法；③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1．（2025·广东深圳·一模）如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】求扇形面积、折叠问题、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查圆中的计算问题和扇形面积计算,熟悉掌握公式，把不规则阴影图形面积利用割补法转换成规则图形来接是解题关键． 作于点D，连接，求出，利用割补法将阴影分割成两个弓形，利用旋转补成扇形来求即可． 【详解】解：作于点D，延长线交于点E，连接， ∵弓形折叠后为弓形过圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴，， 将弓形绕着点O顺时针旋转得弓形，弓形绕着点O逆时针旋转得弓形， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、求扇形面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形的全等的判定、扇形的面积、解直角三角形．作，，证明，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，连接． ，，点为的中点， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， 则扇形的面积是：． ， ， 则在和中， ， ， ． 则阴影部分的面积是：． 故答案为：． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，中，，，，点在上，且分别切，于点，点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求其他不规则图形的面积、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质；连接，设的半径为，可得，，，证明，得，继而得到，再根据代入数据计算即可．解题的关键是掌握：圆的切线垂直于经过切点的半径． 【详解】解：连接，设的半径为， ∵分别切，于点，点， ∴，， ∵中，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 考向四：圆综合问题 【题型10 圆切线综合问题】 1．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 1．（2024·广东珠海·三模）综合探究 如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为的中点． 【问题初探】求证：为的切线； 【深入探究】连接，求证：； 【问题拓展】若，，求，的长． 【答案】[问题初探]证明见解析；[深入探究]证明见解析；[问题拓展]的长为，的长为 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用 【分析】[问题初探]如图，连接，得，，根据等弧所对的圆周角相等得，证明，继而得到，即可得证； [深入探究]根据直径所对的圆周角是直角，得，继而得到，根据切线的性质得，继而得到，可推出，即可得证； [问题拓展]根据锐角三角函数得，求出，根据勾股定理得，由得，设，则，在中，，求出，得出的值，，再根据，得，得，再代入即可． 【详解】[问题初探] 证明：如图，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点在圆上， ∴为的切线； [深入探究] 如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； [问题拓展] 解：∵为的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， 在中，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴，， 又∵，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等弧所对的圆周角相等，切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点．掌握圆的基本性质，相似三角形的判定和性质及锐角三角函数是解题的关键． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，为直径，作的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角，可得，根据角平分线的性质，圆周角定理可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解； （2）如图，过作于，可证四边形为正方形，根据解直角三角形可的的值，，根据平行可得，运用解直角三角形可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， 由圆周角定理可知，， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， 设，则， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，解直角三角形的方法，正方形的判定和性质的综合是解题的关键． 3．（2023·广东佛山·一模）如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)当点F为的中点时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，证明，，证明为直角，由可得，结合，证明，即可得证； （2）先求出证明，可得，结合，表示出，即可求解； （3）如图，延长交于H，连接，证明，设的半径为r,可得，再利用正切的定义进行计算即可； 【详解】（1）连接， ∵为的切线， ∴， ∵为直径，点C在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）如图，延长交于H，连接， ∵为直径，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， 设，的半径为r， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆的综合应用，勾股定理的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识点，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)与相切，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论； （2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：弦于，是的直径， ， ， 故答案为：30； （2）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： 弦于，是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：是的直径， ， ，， ， ， 连接，如图所示： 点是的中点， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型11 圆和四边形的综合问题】 1．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 1．（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线； （2）连接，首先得出，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可； （3）连接交于点H，首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求出，得到，进而等量代换求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 又∵为的直径， ∴是的切线； （2）证明：如图1，连接， ∵，是的直径， ∴，， ∴，即． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴，； （3）解：如图2，连接交于点H， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴，解得． 在中，． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆与四边形综合题，圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2023·广东佛山·一模）如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、圆周角定理、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，根据正方形的性质及圆周角定理可得有三个内角是直角，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，过点作于点，证明四边形、四边形和四边形均为矩形，推出，，，，设，，则，推出，，由勾股定理，构建关系式，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 经过正方形的顶点，， ， 是的直径， ， 四边形是矩形； （2）解：连接交于点，连接，过点作于点， 经过圆心， ， 是的切线， ， 由（1）知四边形是矩形， ， ， ， ， 是半径， ， 同理可得四边形和四边形均为矩形， ，，， ， 设，，则， ， ，， ， 整理得， ， 或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握知识点，利用参数构建方程是解题的关键． 3．（2023·广东佛山·一模）如图，菱形中，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． (3)在（2）的条件下，若点G是上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，通过菱形的性质和圆的性质证明，又由，证得，即可得证； （2）连接，根据菱形和圆的有关性质，求得，，在，由勾股定理解答即可． （3）如图，连接,交于两点，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 证明：如图，连接． ∵四边形是菱形                      又∵是的半径 ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ∵是的直径       在中，， 在中，， 在中， ， ∴=． （3）解：如图，过点C作垂直，交延长线于点M， 由（2）知，          ∴==      ∵， ∴线段的取值范围是： 【点睛】本题考查的是圆和菱形的综合题，运用了圆周角定理，圆的切线的判定，含有60°的特殊菱形的性质，以及特殊角的三角函数的运算，再对圆和菱形的基础进行整合提高，最后再运用圆的动点知识，求出动线段的取值范围。这是一道代几综合题型，侧重几何综合考察。从思想方法上看，本题运用模型思想、三角函数运算、转化思想、运动变化观念等，渗透增量，巧设简化意识的考查。本题体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台，培养了学生的数学综合素养。 一、单选题 1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、圆周角定理 【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键 根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：扇形的面积是：． 故选：C． 3．（2025·广东佛山·一模）如图，点、、、在上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理 【分析】连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（2025·广东广州·一模）如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：都是的半径，， ， ， ， ， ， ， 故选：B ． 5．（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【知识点】点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·广东·模拟预测）如图，以平行四边形的一边为直径作，若过点 C，且， 则 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用平行四边形的性质求解、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，平行四边形的性质和三角形内角和定理，先由平角的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，则由平行四边形对角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 7．（2024·广东潮州·二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺(10寸)，则圆的直径长度是 ． 【答案】26 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程． 连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【详解】解：连接， 设的半径是寸， ∵弦，垂足为点， 寸， 寸， 寸， ， ， ， ∴直径的长度为寸． 故答案为：26． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】根据圆周角定理及切线的性质结合，证明是等腰直角三角形，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， 为的中线， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，为圆的弦，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线上于点，四分之一，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．连接，连接并延长交圆于点，由四分之一，，可得，，根据切线的性质和圆周角定理可得，证明，得到，求出，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长交圆于点， 四分之一，， ，， 是圆的切线， ， 是圆的直径，点在圆， ， ， 即， ， ，， ， 又， ， ，即， 得， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025·广东佛山·一模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、正方形折叠问题、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，，，延长交于点，连接，由折叠的性质可知，，，证明，然后证明，则，从而求出，则，连接，，，然后通过，得，求出的值即可． 【详解】解：连接，，，延长交于点，连接，如图， 由题意得：， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵分别与相切，切点分别为， ∴的半径，，，， 连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．（2025·广东河源·模拟预测）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 12．（2025·广东深圳·一模）如图，已知内接于，是的直径，点E在上，过E作的切线，交的延长线于点F，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)18 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接交于点G，根据切线的性质可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后证明，即可得到，再利用线段的和差关系可得，然后利用平行线分线段成比例可得，解题即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点G， ∵与相切于点E， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为18． 13．（2025·广东清远·一模）如图，为的直径，点C在上． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在上作点D，使得线段，且线段与相交； (2)在（1）的条件下，与相交于点P，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，尺规作垂线，熟练掌握相关的定理，是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）根据垂径定理，圆周角定理，弦，弧的关系计算即可． 【详解】（1）解：如图：点D即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴ ∵， ∴． 14．（2025·广东清远·一模）如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点． (1)当时，=_______； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据题意可知，，进而利用直角三角形两锐角互余即可求解； （2）由（1）可知，，，进而可得，由点是弧的中点，可知，即可证明结论； （3）在中，由勾股定理可得：，结合（2）可证明，平分，在根据相似三角形的性质得，，设点到、的距离为，，则，结合等面积法可得，即，进而求得答案． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，则， 又∵是的切线， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知，，， ∴，则， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴； （3）在中，由勾股定理可得：， 由（2）可知，， ∴，平分， ∴，即， ∴，， 设点到、的距离为，，则， ∴，则，即：， ∵， ∴． 15．（2023·广东阳江·一模）如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、已知正切值求边长 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角即可求解； （2）如图，连接，，由圆周角定理得，再由，，得，，进而求得，即可证明结论； （3）先证是等腰直角三角形，得，由勾股定理求得，结合，得，可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴． （2）证明：如图，连接，． ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （3）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 16．（2024·广东·模拟预测）【综合运用】在正方形中， E是边上一动点 （不与点 C， D 重合）． 边 关于对称的线段为， 连接． (1)如图①， 若 求证： 为等边三角形； (2)如图②， 以为直径作半圆O， 当与半圆O相切时， 求 的度数；（参考数据： ） (3)如图③， 延长， 交射线于点 G， 连接， 交于点H． 若 当 为等腰三角形，求其底边长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、切线的性质定理、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正方形的性质，由三角函数求角度，切线的性质； （1）由可得，即可得到，再结合即可得到为等边三角形； （2）先说明、与半圆O相切，由切线长定理可得，设，，在中利用勾股定理求出的关系即可； （3）设，则，，，即可得到，，，再根据为等腰三角形，分类讨论求出的度数，根据度数求其底边长即可． 【详解】（1）证明：∵正方形中， ∴，， ∵边 关于对称的线段为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：如图，与半圆O切点为， ∵， ∴、与半圆O相切， ∵与半圆O相切， ∴，， 设，， ∴，， ∴， 在中， ∴， 整理得 ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，，即，解得，此时、、、是同一个点，不合题意； 当时，，即，解得，此时、、、是同一个点，不合题意； 当时，，即，解得， 此时， 在上取一点，使，则 ∴, ∴， 设， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， 即底边长为：． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 圆 广东中考数学中圆部分主要考向分为四类： 一、圆的概念（每年1道，3分） 二、圆的基本性质（每年1-2道，3-6分） 三、圆的位置关系（10年10考，4-9分） 四、圆和正多边形（10年7考，3-6分） 五、圆和其他知识交汇（10年9考，4~10分） 广东中考题中，圆主要从定理及性质的应用：垂径定理每年必考1题，常结合勾股定理、相似三角形来考查，用于求解线段长度等问题。圆周角定理每年考查1 - 2题，常与三角形内角、直径性质相结合，比如利用同弧所对圆周角是圆心角的一半，以及直径所对圆周角是直角等性质进行角度计算或三角形形状的判断。切线性质也是重点，每年考查1 - 2题，常与相似、三角函数结合，可能涉及切线的判定与性质的综合运用，如证明直线是圆的切线，或利用切线性质求角度、线段长度等。位置关系的判断：直线与圆位置关系每年考1题，多以选择题或填空题形式出现，主要考查对直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）的判断，以及相关数量关系的运用，如根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来确定位置关系。 综合题型：圆常与三角形、四边形等结合，形成综合题型，涉及相似模型、等积式证明等。例如通过圆内接四边形的对角互补等性质，结合三角形的相关知识进行推理和计算；或利用圆中的相似三角形模型来证明线段比例关系，进而解决等积式证明问题。 考向一：圆及与圆有关的定理 【题型01 圆的基本概念】 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 1．（2023·广东阳江·三模）有下列四个命题： ①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等 ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各边的距离都相等； ④三角形的内心到三角形各顶点的距离相等． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2021·广东湛江·一模）下列命题中，是真命题的个数有（    ） 直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型02 垂径定理】 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为 ．    2．（2024·广东中山·模拟预测）与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ． 3．（2023·广东深圳·三模）在观察地球仪时，某数学小组发现台湾省的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ．（参考数据：，，，） 4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，，°，则的长为 ． 【题型03 圆心角、弧、弦的关系】 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）已知：如图，在中，是弦，点A是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东肇庆·一模）如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【题型04 圆周角定理及其推论】 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. 圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 1．（2025·广东中山·一模）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为 2．（2025·广东清远·一模）如题图，是的直径，，则 ． 3．（2023·广东东莞·二模）如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为 ． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是 ． ①；②；③与相切；④若，，则． 考向二：与圆有关的位置关系 【题型05 与圆有关的位置关系】 设点到圆心的距离为d. (1) d<r ⇔点在⊙O内；(2)d＝r ⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外 2.直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d＞r d＝r d＜r 1．（2023·广东东莞·一模）在中，，，．那么以为圆心， 为半径的与相切． 2．（2023·广东广州·二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是 ． 3．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，点到线段的距离为 ．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是 ． 【题型06 切线的性质与判定】 1．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 1．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，是的直径，C为外一点，连接，交于点D，连接并延长，交线段于点E，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并证明你的结论． 3．（2024·广东中山·一模）如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 4．（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2023·广东阳江·一模）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 【题型07 三角形的内切圆与内心】 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1．（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 考向三：正多边形与圆 【题型08 正多边形与圆】 （1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形. （2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. （3）正多边形的内角和=(n-2)·180°; 正多边形的每个内角= ;  正多边形的周长=边长×边数; 正多边形的面积=×周长×边心距. 1．（2022·广东江门·模拟预测）如图，分别以边长为4的等边三角形的三个顶点为圆心，以4为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，若圆O是的内切圆，则阴影部分面积为 ． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．    4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【题型09 弧长和扇形面积】 （1）半径为R的圆面积S= （2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.  （3）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法；②和差法；③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1．（2025·广东深圳·一模）如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 . 3．（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，中，，，，点在上，且分别切，于点，点，则阴影部分的面积为 ． 考向四：圆综合问题 【题型10 圆切线综合问题】 1．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 1．（2024·广东珠海·三模）综合探究 如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为的中点． 【问题初探】求证：为的切线； 【深入探究】连接，求证：； 【问题拓展】若，，求，的长． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，为直径，作的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求线段的长． 3．（2023·广东佛山·一模）如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)当点F为的中点时，直接写出的值． 4．（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【题型11 圆和四边形的综合问题】 1．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 1．（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 2．（2023·广东佛山·一模）如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 3．（2023·广东佛山·一模）如图，菱形中，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． (3)在（2）的条件下，若点G是上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 一、单选题 1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·一模）如图，点、、、在上，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·一模）如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 6．（2024·广东·模拟预测）如图，以平行四边形的一边为直径作，若过点 C，且， 则 7．（2024·广东潮州·二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺(10寸)，则圆的直径长度是 ． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，为圆的弦，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线上于点，四分之一，连接，若，，则的长度为 ． 10．（2025·广东佛山·一模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 三、解答题 11．（2025·广东河源·模拟预测）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 12．（2025·广东深圳·一模）如图，已知内接于，是的直径，点E在上，过E作的切线，交的延长线于点F，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 13．（2025·广东清远·一模）如图，为的直径，点C在上． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在上作点D，使得线段，且线段与相交； (2)在（1）的条件下，与相交于点P，，求的度数． 14．（2025·广东清远·一模）如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点． (1)当时，=_______； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 15．（2023·广东阳江·一模）如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 16．（2024·广东·模拟预测）【综合运用】在正方形中， E是边上一动点 （不与点 C， D 重合）． 边 关于对称的线段为， 连接． (1)如图①， 若 求证： 为等边三角形； (2)如图②， 以为直径作半圆O， 当与半圆O相切时， 求 的度数；（参考数据： ） (3)如图③， 延长， 交射线于点 G， 连接， 交于点H． 若 当 为等腰三角形，求其底边长． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$