精品解析：云南省玉溪师范学院附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

玉溪师院附中2026届高一下学期期中考试 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 出题：郎燕 审题：蔡明珏 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A B. C. D. 3. 若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知平面向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：） A. 48% B. 37% C. 28% D. 15% 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm 11. 已知，函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 若在上单调递增，则的取值范围是 C. 若函数有2个零点，则的取值范围是 D. 若图象上不存在关于原点对称的点，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 13. 已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______． 14. 郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点，测得塔顶的仰角为，前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，再前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，则塔高_________米.（参考数据：，最终结果保留整数，即结果精确到） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求边上的高. 16. 向量，，，． （1）求； （2）若，，向量的夹角为，求的值． 17. 如图，在中，，边上一点且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 18. 函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值． 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． （1）已知，判断是否满足性质，并说明理由； （2）若满足性质，且定义域为． 已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； 若在上单调递增，判定并证明在上单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 玉溪师院附中2026届高一下学期期中考试 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 出题：郎燕 审题：蔡明珏 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知， “，”的否定是，. 故选：B 2. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，可求出集合，可得出集合的元素个数，即可得出的真子集个数. 【详解】因为， ，则， 所以，的真子集个数为. 故选：C. 3. 若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的运算性质计算出，然后计算出并写出对应点坐标，由此可知对应点所在象限. 【详解】因为， 所以， 在复平面上对应的点为，该点在第三象限. 故选：C 4. 已知平面向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因， 所以，所以， 所以，而，所以， 即向量与的夹角为. 故选：C. 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D. 【详解】因为定义域为， ， 所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B； 因为，，所以，故C错误，D正确， 故选：D. 6. 若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可． 【详解】若两个正实数，满足，则， ，当且仅当时取得等号， 不等式恒成立，等价为， 则，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值问题，难度不大，正确转化恒成立为求最值问题是解决此题的关键． 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得的值，利用两角差的余弦公式即可求得，继而利用二倍角的余弦公式求得答案. 【详解】由于，则， 而，故， 由，可得， 则 ， 故， 故选：D 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：） A. 48% B. 37% C. 28% D. 15% 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以本选项不正确； B：因为， 所以本选项正确； C：因为 所以本选项正确； D：因为， 所以本选项正确， 故选：BCD 10. 某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有（ ） A. 该圆台高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm 【答案】BCD 【解析】 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项. 【详解】 如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误； 圆台的轴截面面积为，B正确； 圆台的体积为，C正确； 将圆台一半侧面展开，如图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm，底面半径为4cm，侧面展开图的圆心角为，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝8，OP＝4＋2＝6，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10cm，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知，函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 若在上单调递增，则的取值范围是 C. 若函数有2个零点，则的取值范围是 D. 若的图象上不存在关于原点对称的点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性判断A，根据函数的单调性列不等式解参数范围判断B，举反例判断C，根据对称函数图象的位置关系列不等式组求解判断D. 【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以当时，，正确； 对于B，由在上单调递增知，解得，正确； 对于C，当时，函数，作出函数的图象，如图： 由图知，直线与函数有两个交点，则方程有两个根， 即函数有2个零点，显然，错误； 对于D，易知函数的图象与函数的图象关于原点对称，作出示意图： 要使若的图象上不存在关于原点对称的点，则，即， 解得，即的取值范围是，正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法可化简所求复数. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论． 【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以． 故答案为：3. 14. 郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点，测得塔顶的仰角为，前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，再前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，则塔高_________米.（参考数据：，最终结果保留整数，即结果精确到） 【答案】63 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合和差角公式即可求解. 【详解】在中，， 在中，由正弦定理得： ，由于为锐角，故， 在Rt中，, 故答案为：63 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求边上的高. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理结合条件有，即，可得，从而得出答案. （2）由余弦定理可得，即，结合条件可求出，设边上的高为，由可得答案. 【详解】（1）由正弦定理知. 即，因为， 所以，故. 因为，所以. （2）由余弦定理及知. 所以，即， 所以即 设边上的高为，则， ， 所以边上的高. 16. 向量，，，． （1）求； （2）若，，向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的四则运算、平行和模长的坐标表示求解即可； （2）根据数量积的坐标表示列式求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为，所以，解得， 所以，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，，， 因为向量的夹角为， 所以， 解得， 所以的值为. 17. 如图，在中，，为边上一点且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 ，，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 18. 函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值. 【小问1详解】 由图可知，， ∵ ， ∴ ， ， 又， ∴ ，， 解得 ，，由可得， ∴． 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，则当时，； 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，∴； 由对称性可知， ∴ ，∴， ∴ . 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． （1）已知，判断是否满足性质，并说明理由； （2）若满足性质，且定义域为． 已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； 若在上单调递增，判定并证明在上的单调性． 【答案】（1）不满足，理由见解析 （2），没有正整数解，理由见解析；上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据性质列式计算验证即可； （2）通过可求得函数的解析式，先假设方程有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；任取，计算判断的正负即可证明． 【小问1详解】 因为不恒成立， 所以不满足性质； 【小问2详解】 当时，， 此时， 又当时，，所以， 所以， 假设方程有正整数解， 则， 要使上式能成立，则必有，，， 所以， 明显为单调递增函数， 又当时，， 当时，， 故方程没有正整数解； 证明：任取，则， 则， 因为在上单调递增，且， 所以， 所以， 即 所以在上单调递增． 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对（1）问求解，然后结合新定义及函数的单调性从而可对（2）问进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$