精品解析：山东省滕州市第一中学2024-2025学年高二下学期3月单元过关考试数学试题

2024-2025学年第二学期3月单元过关考试 高二数学试题 时间：2025年3月24日 命题人：杨列敏 审核：郭德龙 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号分别填写在答题纸和答题卡上. 2.回答第I卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列各式正确的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 2. 一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 42 4. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 5. 函数在处有极大值，则a的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 以上答案都不对 6. 长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的周期为4 D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按比例得分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 元集合的子集共有个 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同的选法的种数为 D. 2160正因数共有40个 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递增 C. 函数最小值为，没有最大值 D. 函数的极小值点为 11. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（ ） A ， B. ，， C ， D. ， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数图像的对称中心为_____. 13. 已知函数在上不单调，则实数的取值范围为______. 14. 【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步） 15. 已知函数，. （1）求曲线在处切线的方程； （2）若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程. 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围． 17. 已知函数在处有极值. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）若函数有两个零点，，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期3月单元过关考试 高二数学试题 时间：2025年3月24日 命题人：杨列敏 审核：郭德龙 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号分别填写在答题纸和答题卡上. 2.回答第I卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列各式正确的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则来进行求导即可作出判断. 【详解】因为当为常数时，，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误； 故选：C. 2. 一质点做直线运动，其位移与时间关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的定义，可分别计算求得，即可得出结果. 【详解】根据平均速度定义可知， 在内的平均速度为； 在时的瞬时速度为； 所以. 故选：B 3. 如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数. 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为； 若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为； 则不同的信号总数为. 故选：A． 4. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B. 5. 函数在处有极大值，则a值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】由函数在处有极大值，求得或，再分类讨论，结函数极值的概念进行判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，则， 因为函数在处有极大值， 则，即，解得或， （1）当时，可得，令，解得或， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值，不符合题意（舍去）； （2）当时，可得，令，解得或， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极大值，符合题意， 综上可得，当时，函数在处有极大值. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的极值的判定及参数求解，其中解答中熟记函数的导数与极值的关系，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6. 长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆锥的高，由圆锥与圆柱的体积公式列式，由导数判断单调性后求解最值， 【详解】设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为， 则该模型的体积， 令，则，由得， 当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 故选：C 7. 已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意原等价于不等式，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解； 【详解】解：不等式，等价于不等式， 构造函数，则， 若对任意实数都有， 则，在上单调递增， 又， 故即， 故不等式的解集是， 故选：B． 8. 已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的周期为4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：B 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按比例得分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 元集合的子集共有个 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同的选法的种数为 D. 2160的正因数共有40个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 元集合的子集共有个判断；B.把h，e，r，o全排列有判断；C.由每个班有5种选法判断.D.由判断. 【详解】A. 元集合的子集共有个，故正确； B.把h，e，r，o全排列有，其中正确的有一个，所以可能出现的错误共有23种，故正确； C. 3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同的选法的种数为，故错误； D. 因为，所以2160的正因数共有个，故正确； 故选：ABD 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递增 C. 函数的最小值为，没有最大值 D. 函数的极小值点为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，注意到可知，由此可判断； 对于B，对求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确； 对于C，举反例排除即可； 对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误； 对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确； 对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误； 对于D，令，得或，所以和上单调递减， 令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确. 故选：BD. 11. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用可得，由知A正确；由知B正确；利用反例可说明C错误；令，利用导数可求得，知D正确. 【详解】对于A，当时，由得：，即； ，A正确； 对于B，由得：，即，，B正确； 对于C，由得：； 当时，，此时， 则，即不成立，C错误； 对于D，令，则， 令，则，在上单调递增， 又，，，使得， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 由得：，，， ，即，，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数图像的对称中心为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求的对称轴，再检验. 【详解】，其对称轴为，而， ， 故图像的对称中心为 故答案为： 13. 已知函数在上不单调，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】 函数在上不单调,转化为在有零点，即有解，研究取值范围即可. 【详解】函数在上不单调, 即在有零点， 即 当，，故 故答案为： 【点睛】本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 14. 【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________. 【答案】18 【解析】 【详解】由题意，要使小明从街道的处出发到处最短，小明需走两纵两横四段路，共有条不同的路，再从处到处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故答案为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步） 15. 已知函数，. （1）求曲线在处切线的方程； （2）若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）根据设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，再利用点斜式写切线方程，将代入切线方程得到即可得到切线方程. 【小问1详解】 ，所以，所以，，所以切线方程为：，整理得. 【小问2详解】 ，所以，设切点坐标为，所以切线斜率为， 则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得. 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， （2） 【解析】 【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间； (2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是 【小问2详解】 由函数在上是减函数，知恒成立， ． 由恒成立可知恒成立，则， 设，则， 由，知， 函数在上递增，在上递减， ∴，∴． 17. 已知函数在处有极值. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由极值点确定，进而确定函数单调性，即可求解； （2）由单调性求得极值，进而可求解 【小问1详解】 因为，该函数的定义域为，且 由已知可得，解得. 所以，， 由，可得或， 由，可得， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则， . 【小问2详解】 解： 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 所以的极大值为，的极小值为 且，，， 若方程有且只有一个实数根，. 则需满足，或. 所以实数的取值范围 18. 已知函数. （1）若函数有两个零点，，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据题目条件分析得出；再利用导数判断函数的单调性和最值以及结合零点存在性定理即可求解. （2）先根据，是函数的两个零点，得出，，；再设，建立方程组得出，，将证明转化为证明；最后构造函数，利用导数判断函数的单调性及最值，即可求证. 【小问1详解】 当时，函数在上单调递增，至多一个零点，不符合题意. . 由可得：. 令，得；令，得， 故在上单调递减，在上单调递增, . 又当时，，， 结合的单调性，要使函数有两个零点，，须满足，解得. 当时，， （证明，令， 则. 令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，即，证得） 由零点的存在性定理可得：在和上各有一个零点 综上可得：当时，有且仅有两个零点，， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 证明：由（1）可知，是函数的两个零点， 所以，，解得，， 则. 设， 则，解得，. 要证， 只要证， 即证. 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 即证得. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $