精品解析：上海市黄浦区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

初三数学 （时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 在中，，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 设为单位向量，那么； B. 如果，那么或； C. 如果，其中，那么； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则和向量的模的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 设为单位向量，那么，说法正确； B. 如果，只能说明向量的模是向量的模的3倍，方向不一定是相同或相反，所以不能说明或，故说法错误； C.∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行，故说法正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，说法正确． 故选：B． 4. 如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，可判定，故A选项正确，不符合题意； B．由可判定，故B选项正确，不符合题意； C．由可得，但没有夹角相等，故C选项错误，符合题意； D． 由可得且，可判定，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 5. 小杰同学对数据进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数定义即可求解，掌握中位数定义是解题的关键． 【详解】解：平均数、众数、方差的计算结果与被涂污数字有关， 计算结果与被涂污数字无关的是中位数，不管被涂污数字是多少，中位数都是， 故选：． 6. 在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质． 先根据两点间的距离公式分别计算出、的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵以点O为圆心，r为半径圆O与直线相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外， ∴， ∴符合要求． 故选D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是，那么另外一个三角形的最大内角是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理可求得三角形的第三个内角，然后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵三角形的两个内角分别是， ∴该三角形的第三个内角为：， ∵两个三角形相似， ∴另外一个三角形的最大内角是． 故答案为． 8. 如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性以及增减性，即可得到m与n的大小关系． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线， 所以点关于对称轴的对称点为， 因为开口向下， 所以当时，随的增大而减小，而， 所以，即， 故答案为：． 9. 如果抛物线的顶点在轴的正半轴上，且这条抛物线在其对称轴的右侧部分是上升的，那么这条抛物线的表达式可以是_______．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线对称轴的右侧部分是上升的，可知抛物线开口向上，即，然后根据抛物线的顶点在轴的正半轴上，可得，，即可取一组a，b，c的值，得到一个答案． 【详解】解：抛物线对称轴的右侧部分是上升的， ， 抛物线的顶点在轴的正半轴上， ，且， ， 取，，则， 这条抛物线的表达式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 先求出抛物线向右平移3个单位后的解析式，再根据对称轴方程即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，得到， ∵对称轴是轴， ∴， ∴， 故答案为：3． 11. 已知锐角，如果，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，根据，画图设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为： 12. 如图，矩形的边在的边上，顶点分别在边上．已知，设，矩形的面积为，那么关于的函数关系式为_______．（不必写出定义域） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质等知识点，运用相似三角形的判定与性质用x表示出是解题的关键． 如图：作交于点P、H，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而得到，再证明可得，进而得到，最后运用矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图：作交于点P、H， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ，即，解得：， ∴， ∴矩形的面积为，即． 故答案为：． 13. 在中，点D、E分别在边上，//，那么_______．（用、表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，，结合向量的基本表示方法求得，，从而求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据已知向量表达未知向量，充分运用相关几何性质，读取图形信息是解题的关键． 14. 为了解全区4000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为_______人． 【答案】1200 【解析】 【分析】本题考查的是频率分布直方图，熟练掌握频率直方图的意义是解题的关键． 先根据频率分布直方图，得到从左至右前四组的频率，进而得出后两组的频率之和，最后根据总数频率，即可得到全区体重不小于60千克的学生人数． 【详解】解：由题意得，其中从左至右前四组的频率为， ∴后两组的频率之和为：， ∴全区体重不小于60千克的学生人数约为：人， 故答案为：1200． 15. 在中，，如果分别以为直径画圆，那么这两个圆的位置关系是_______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔；两圆外切⇔；两圆相交⇔；两圆内切⇔；两圆内含⇔． 设以为直径的圆的圆心为D，以为直径的圆的圆心为E，根据三角形中位线性质得，而的半径为3，的半径为4，所以，然后根据圆与圆的位置关系的判定方法可确定与相交． 【详解】设以为直径的圆的圆心为D，以为直径的圆的圆心为E，则为的中位线， ∴6， ∵的半径为3，的半径为4， ∴， ∴与相交． 故答案为：相交． 16. 如图，在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，那么_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：连接，则，由垂径定理可得，然后根据勾股定理列方程求得即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∵在中，半径垂直于弦，垂足为点， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 17. 在中，，将绕点旋转，点落在直线上，点的对应点分别为点，如果点在一条直线上，那么______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分是锐角和钝角两种情况，分别画出图形，利用旋转和相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当是锐角时，如图， ∵将绕点旋转，点落在直线上，点对应点分别为点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得， 即； 当是钝角时，如图， 由旋转得，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 18. 如图，在中，，点是边上动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点．如果以为圆心，为半径的与有公共点，设的长为，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，分别求出与外切时的值及点与点重合时的值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当与外切于点时，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点与点重合时，此时与重合，则， 综上，的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值、分母有理化、零次幂化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 详解】解： ． 20. 如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． （1）求的半径； （2）连接，求的值． 【答案】（1）的半径为； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由垂径定理、含的直角三角形特征推得且，再结合含的直角三角形特征、勾股定理得到，求解即可得到半径； （2）连接、，由圆周角定理推得，解直角三角形求出，由即可得解． 【小问1详解】 解：连接交于点， 点为弧的中点，即平分， 且， ，，， ， ， ，， ，， 即， ， 的半径为． 【小问2详解】 解：连接、， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、含的直角三角形特征、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程、圆周角定理、解直角三角形、求正切值，解题关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理． 21. 如图，台风中心位于点，并沿北偏东方向移动，已知台风移动的速度为30千米／时，受影响区域的半径为200千米，市位于点的北偏东方向上，距离点千米处． （1）说明本次台风会影响市； （2）求这次台风影响市的时间． 【答案】（1）见解析 （2）这次台风影响市的时间为小时． 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质在实际生活中的运用． （1）作于点D，在中，利用含角的直角三角形的性质求出的长与200千米相比较即可． （2）如图，当时，A市受到影响的路程为的长度，然后由勾股定理求得的长度，进而求出台风影响A市的时间． 【小问1详解】 解：如图，作于点D． 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴本次台风会影响A市． 【小问2详解】 解：如图，当时，A市受到影响的路程为的长度， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这次台风影响市的时间为（小时）． 22. （）在中，点分别在边上，，，点为边上一点，则_______； （）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，均为格点．在的内部有一点，满足，试在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的． 【答案】（）；（）画图见解析，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．（）过点作于交于点，过点作于，由可得，即得，进而即可求解； （）如图与网格相交，得到点，取格点，连接并且延长，与网格相交，得到，连接，与相交于点，点即所求； 【详解】解：（）过点作于交于点，过点作于， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （）如图所示，点即为所求． 理由：∵平行四边形的面积平行四边形的面积平行四边形的面积，的面积平行四边形的面积，的面积平行四边形的面积，的面积的面积的面积平行四边形的面积， ∴． 23. 已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得到，而，则，得到，而，故四边形是平行四边形； （2）可证明， 而，那么，则，代入，得到，而，得到，由，得到，故． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，分两种情况讨论：为平行四边形的一条边，为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求解即可； （3）当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作于点H，则有，证明可得，设点P坐标为，点R坐标为，由相似比得到，进而得，过点Q作轴于点K，设点Q坐标为，由得到关于m的方程求得m，进而完成解答． 【小问1详解】 解：将代得， ∴点A的坐标为， 将，代入，得∶ ，解得∶ ， ∴抛物线：． 【小问2详解】 解：如图，设点P的坐标为， 第一种情况：为平行四边形的一条边， ①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为， 将代入，得： ，解得或， 因为时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为； ②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为， 将代入得∶ ，解得∶或， ∴此时点P的坐标为或； 第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时， ∵， ∴的中点坐标为，得的中点坐标为， 故点Q的坐标为， 将代入得∶ ，解得，或， 因为时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或． 【小问3详解】 解：当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作于点H，则有， 由平分，得，则， ∴， ∴， 设点P坐标为，点R坐标为， 所以有整理得：， 在中，， 过点Q作轴于点K， 设点Q坐标为， 若，则需， 所以， 所以解得∶， 所以点Q坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用所学知识成为解题的关键． 25. 在中，，以为圆心，为半径作弧，分别与边交于点． （1）如图，点是边的中点，联结，当时， ①求的值； ②将弧沿直线翻折，翻折后的弧所在的圆的圆心为点，求到直线的距离； （2）如图，射线与射线相交于点，联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①连接，过点作于点，可得，那么，继而，由三线合一得到，继而由勾股定理求得，求出，再由正切得定义求解； ②过点B作关于对称点，即为点P，过点P作于点，过点T作于点R，则，由翻折得，点T为中点，由，得到，而，，则，，由勾股定理得，那么； （2）先确定等角：，那么当与相似时，有①，可得，再发现，则，求得；②当，时，过D作于点，此时，则，那么，导角发现，设，则，由勾股定理得：，则，解得，那么，再运用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴； ②过点B作关于对称点，即为点P，过点P作于点，过点T作于点R，则， 由翻折得，点T为中点， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到直线的距离为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴当与相似时， ①，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）； ②当，时，过D作于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述：当与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，圆的有关概念，等腰三角形的性质等知识点，正确构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 （时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 下列函数中是二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 设为单位向量，那么； B. 如果，那么或； C. 如果，其中，那么； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 4. 如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ） A. B. C. D. 5. 小杰同学对数据进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 6. 在直角坐标平面内，点是坐标原点，点坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是，那么另外一个三角形的最大内角是_______ ． 8. 如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_______．（填“”，“”或“”） 9. 如果抛物线的顶点在轴的正半轴上，且这条抛物线在其对称轴的右侧部分是上升的，那么这条抛物线的表达式可以是_______．（只需写一个） 10. 将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 11. 已知锐角，如果，那么_______． 12. 如图，矩形的边在的边上，顶点分别在边上．已知，设，矩形的面积为，那么关于的函数关系式为_______．（不必写出定义域） 13. 在中，点D、E分别在边上，//，那么_______．（用、表示）． 14. 为了解全区4000名初中毕业生体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为_______人． 15. 在中，，如果分别以为直径画圆，那么这两个圆的位置关系是_______． 16. 如图，在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，那么_______． 17. 在中，，将绕点旋转，点落在直线上，点的对应点分别为点，如果点在一条直线上，那么______． 18. 如图，在中，，点是边上的动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点．如果以为圆心，为半径的与有公共点，设的长为，那么的取值范围是_______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 20. 如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． （1）求的半径； （2）连接，求的值． 21. 如图，台风中心位于点，并沿北偏东方向移动，已知台风移动的速度为30千米／时，受影响区域的半径为200千米，市位于点的北偏东方向上，距离点千米处． （1）说明本次台风会影响市； （2）求这次台风影响市的时间． 22. （）在中，点分别在边上，，，点为边上一点，则_______； （）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，均为格点．在的内部有一点，满足，试在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的． 23. 已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 25. 在中，，以圆心，为半径作弧，分别与边交于点． （1）如图，点是边的中点，联结，当时， ①求的值； ②将弧沿直线翻折，翻折后的弧所在的圆的圆心为点，求到直线的距离； （2）如图，射线与射线相交于点，联结，当与相似时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $